123123

Первым делом покажем равенствj выражений C_(n-k+1)^k- C_(n – k-1)^(k-2) = C_(n-k)^n*n/(n-k)
Распишем левую часть уравнения, раскрыв биномиальные коэффициенты:
(n-k+1)!/((n-2*k+1)!*k!)-((n-k-1))/((k-2)!*(n-2*k+1)!)=(n-k)!/((n-2*k)!*k!)*((n-k+1)/(n-2*k+1)-(k*(k-1))/((n-k)*(n-2*k+1) ))=C_(n-k)^k*1/(n-2*k+1)*((n-k+1)*(n-k)-(k-1)*k)/(n-k)=C_(n-k)^k*1/(n-k)*(n^2-2*n*k+n)/(n-2*k+1)= C_(n-k)^k*n/(n-k)
Для решения данной задачи заметим, что в силу того, что жёны сидят через одну, то, пронумеруем их числами от 1 до n. Тогда место слева от i-ой будет иметь номер i, а место справа будет иметь номер (i + 1)/ Получим, что для выполнения условия о том, что муж не сидит рядом с женой, нужно, чтобы он сидел на любом месте кроме мест с номерами i и (i + 1).
Введём свойства A_0 (i)  и A_1 (i), обозначающие, что i-ый муж сидит на месте i и месте             (i + 1) соответственно, тогда A_0 (n)=n и A_1 (n)=1(в силу того, что стол круглый).
Тогда для решения задачи, нужно использовать формулу включений и исключений, для всех таких перестановок, в которых выполняется ровно r свойств A_0 (i) или A_1 (i). Для того, чтобы посчитать это количество, выпишем подряд все свойства в порядке возрастания i: A_0 (1),A_1 (1),A_0 (2),A_1 (2)… A_0 (n) 〖,A〗_1 (n). Заметим, что общее количество таких свойств в точности 2*n. Тогда, когда мы фиксируем ровно r свойств(рассаживаем к своим жёнам ровно r мужей), остальных (n – r) мужей мы можем рассадить (n - r)! способами. Далее заметим, что в нашей последовательности из свойств мы не можем взять 2 подряд идущих элемента (так как это будет означать, что, либо мы посадили одного мужа на 2 стула,  либо два мужа сели на один стул, что противоречит условию и здравому смыслу), значит выбирать свойства из этой последовательности нужно таким образом, чтобы не были выбраны 2 подряд идущих свойства. Присмотревшись, увидим, что это в точности то количество, которое м считали в предыдущем пункте, то есть для подсчёта количества таких подмножеств мы будем использовать формулу C_(n-k)^k*n/(n-k)  , а как было сказано выше, каждому такому выбранному подмножемству из k элементов соответствует (n - k)! перестановок. Тогда формула для подсчёта количества элементов, обладающих как минимум r свойствами выглядит так: C_k^(k-r)*C_(n-k)^k*n/(n-k)* (n - k)!.(Обратите внимание, что в этой формуле мы пока никак не учитываем то, что среди этих (n - k)! перестановок, встречаются и те, в которых рядом с жёнами сидит более r мужей, таким образом, эта формула верна лишь для перестановок, обладающих как минимум r свойствами!!!).Для того, чтобы учесть те элементы, которые обладают более, чес r свойствами, нам нужно использовать формулу включений и исключений. Таким образом, конечная формула для количества перестановок, обладающих ровно r свойствами, будет иметь вид:
∑_(k=r)^n▒〖〖(-1)〗^(k-r) C_k^r*C_(n-k)^k*n/(n-k)* (n - k)!〗