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\title{\huge{Trabalho Prático 3}}

\author{{\Large{Análise Numérica}} \\ Ciência da Computação \\ \\ \LARGE{Artur Oliveira Rodrigues} \\ \LARGE{Caio Magno Pimenta Rocha} }


\begin{document}

\maketitle

\section {Atividade 1}

Na Atividade 1 foi pedido que fosse desenvolvida uma implementação relacionada ao ajuste de curvas. O método a ser utilizado deveria ser o de Quadrados Mínimos, que representa a melhor alternativa entre os de Regressão Linear Simples. Foi fornecida a seguinte tabela com os valores relacionados à altura e peso:

\begin{table}[h!]
\begin{center}
\begin{tabular}{| p{1.3cm} || p{0.7cm} | p{0.7cm} | p{0.7cm} | p{0.7cm} | p{0.7cm} | p{0.7cm} | p{0.7cm} | p{0.7cm} | p{0.7cm} | | p{1cm} |}
\hline
\textbf{Altura} & 183 & 173 & 168 & 188 & 158 & 163 & 193 & 163 & 178 & \textbf{cm} \\
\hline
\textbf{Peso} & 79 & 69 & 70 & 81 & 61 & 63 & 79 & 71 & 73 & \textbf{kg} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Sabe-se que $b_1 = \dfrac{\sum x_i \sum y_i  -  n\sum x_i y_i}  {(\sum x_i)^2  -  n\sum x^2_i}$ e $b_0 = \dfrac{\sum y_i  -  b_1\sum x_i}  {n}$.

\subsection{Parte A}

Os resultados obtidos estão mostrados abaixo:

\begin{footnotesize}
\begin{verbatim}
 x  =

    183.    173.    168.    188.    158.    163.    193.    163.    178.

 y  =

    79.    69.    70.    81.    61.    63.    79.    71.    73.

 n  =

    9.

Somaxi: 1567.000000
Somayi: 646.000000
Somax2i: 274021.000000
Somaxiyi: 113103.000000

 u = -20.078037 + 0.527570x
 b1  =

    0.5275701
 b0  =

  - 20.078037
\end{verbatim}
\end{footnotesize}

\subsection{Parte B}

Para tal basta aplicarmos a altura que desejamos na função encontrada no exercício anterior. Assim obtemos:

\begin{footnotesize}
\begin{verbatim}
 u = -20.078037 + 0.527570x
 x = 175
 u = 72.246713
\end{verbatim}
\end{footnotesize}


O valor buscado é \textbf{\textit{72.246713 kg}}.

\section{Atividade 2}

Na Atividade 2 foi pedida a codificação dos métodos da Bisseção, de Pégaso e de Newton para aproximar uma única raiz da equação de Legendre no intervalo $[1/2,1]$ com tolerância de $0,00001$ ou no máximo $100$ iterações.

\subsection{Parte A}

Após a execução dos três métodos encontramos o seguinte resultado:

\begin{footnotesize}
\begin{verbatim}
Bisseção:
 Funcao nao muda de sinal nos extremos do intervalo dado

Pégaso:
 Interp =

 	5

 Raizp =

 	0.5384693

Newton:
 Intern =

 	5

 Raizn =

 	0.9061798

\end{verbatim}
\end{footnotesize}

Como podemos ver, o método da Bisseção não pode ser executado, pois o intervalo dado não atende à condição $Fa * Fb <= 0$. Porém os métodos de Pégaso e Newton convergem com o mesmo número de iterações, porém o resultado da Bisseção foi melhor que o do Newton, que ficou muito diferente.

\subsection{Parte B}

Nessa parte da atividade foram utilizados dois métodos em conjunto para um melhor resultado. Foram utilizados o método da Bisseção, seguido do método de Newton, variando o número de iterações máximas do método da Bisseção para os seguintes valores $2, 4, 6, 8$. Para tal, foi necessário alterar o intervalo para $[1/2,4/5]$. Assim, obtemos o seguinte resultado:

\begin{footnotesize}
\begin{verbatim}
Questão 2 - Letra b

  Bissecao
0.000000 0.500000 0.089844 0.800000 -0.399520 0.650000 -0.270490 0.150000
1.000000 0.500000 0.089844 0.650000 -0.399520 0.575000 -0.090350 0.075000

  Newton
0.000000 0.537500 -2.422283 0.002350
1.000000 0.538470 -2.425892 -0.000002 0.000970
 Iter2  =

    2.
 Raiz  =

    0.5384693




Questão 2 - Letra b

  Bissecao
0.000000 0.500000 0.089844 0.800000 -0.399520 0.650000 -0.270490 0.150000
1.000000 0.500000 0.089844 0.650000 -0.399520 0.575000 -0.090350 0.075000
2.000000 0.500000 0.089844 0.575000 -0.399520 0.537500 0.002350 0.037500
3.000000 0.537500 0.002350 0.575000 -0.399520 0.556250 -0.043634 0.018750

  Newton
0.000000 0.546875 -2.453781 -0.020513
1.000000 0.538515 -2.426058 -0.000112 -0.008360
2.000000 0.538469 -2.425889 -0.000000 -0.000046
 Iter2  =

    3.
 Raiz  =

    0.5384693



Questão 2 - Letra b

  Bissecao
0.000000 0.500000 0.089844 0.800000 -0.399520 0.650000 -0.270490 0.150000
1.000000 0.500000 0.089844 0.650000 -0.399520 0.575000 -0.090350 0.075000
2.000000 0.500000 0.089844 0.575000 -0.399520 0.537500 0.002350 0.037500
3.000000 0.537500 0.002350 0.575000 -0.399520 0.556250 -0.043634 0.018750
4.000000 0.537500 0.002350 0.556250 -0.399520 0.546875 -0.020513 0.009375
5.000000 0.537500 0.002350 0.546875 -0.399520 0.542188 -0.009045 0.004688

  Newton
0.000000 0.539844 -2.430866 -0.003338
1.000000 0.538471 -2.425894 -0.000003 -0.001373
 Iter2  =

    2.
 Raiz  =

    0.5384693


Questão 2 - Letra b

  Bissecao
0.000000 0.500000 0.089844 0.800000 -0.399520 0.650000 -0.270490 0.150000
1.000000 0.500000 0.089844 0.650000 -0.399520 0.575000 -0.090350 0.075000
2.000000 0.500000 0.089844 0.575000 -0.399520 0.537500 0.002350 0.037500
3.000000 0.537500 0.002350 0.575000 -0.399520 0.556250 -0.043634 0.018750
4.000000 0.537500 0.002350 0.556250 -0.399520 0.546875 -0.020513 0.009375
5.000000 0.537500 0.002350 0.546875 -0.399520 0.542188 -0.009045 0.004688
6.000000 0.537500 0.002350 0.542188 -0.399520 0.539844 -0.003338 0.002344
7.000000 0.537500 0.002350 0.539844 -0.399520 0.538672 -0.000491 0.001172

  Newton
0.000000 0.538086 -2.424472 0.000930
1.000000 0.538469 -2.425889 -0.000000 0.000383
 Iter2  =

    2.
 Raiz  =

    0.5384693
\end{verbatim}
\end{footnotesize}

Todos os testes encontraram a mesma raiz do método de Pégaso no item anterior. Abaixo vemos uma tabela relacionando o número de iterações de cada teste:

\begin{table}[h!]
\begin{center}
\begin{tabular}{| p{3.5cm} | p{3.5cm} | p{3.5cm} |}
\hline
\textbf{Iterações Bisseção} & \textbf{Iterações Newton} & \textbf{Iterações Totais} \\
\hline
2 & 2 & \textbf{4} \\
\hline
4 & 3 & \textbf{7} \\
\hline
6 & 2 & \textbf{8} \\
\hline
8 & 2 & \textbf{10} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

A tabela acima nos mostra que a união desses dois métodos se tornou muito eficiente quando utilizamos um número baixo de iterações para a Bisseção, porém a media que aumentamos suas iterações o resultado continua igual, porém o processo fica mais lento, ou seja, tornam-se desnecessárias as iterações a mais.

\end{document}