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JoelSjogren

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JoelSjogren
Apr 22nd, 2017
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  1. \documentclass{article}
  2. \usepackage{amsmath}
  3. \usepackage{pdflscape}
  4. \usepackage{float}
  5. \begin{document}
  6. \begin{landscape}
  7. \begin{table}[H]
  8.    \caption{Cayley table for $K_4$.}
  9.    \begin{center} \begin{tabular}{{c|c c c}}
  10.        $\cdot$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ \\ \hline
  11.        $c_{0}$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ \\
  12.        $c_{1}$ & $c_{1}$ & $\frac{1}{3}c_{0}+\frac{2}{3}c_{1}$
  13.    \end{tabular} \end{center}
  14.    \label{table:}
  15. \end{table}
  16.  
  17. \begin{equation*}X=\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & - \frac{1}{3}\end{matrix}\right]\end{equation*}
  18. \begin{equation*}L=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{3}\\1 & \frac{2}{3}\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  19. \begin{equation*}\hat{L}=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 1\\3 & 3\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & - \frac{1}{3}\\-1 & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  20. \begin{equation*}w=[1, 3]\end{equation*}
  21. \[k=[1, 3]\]
  22. \clearpage
  23.  
  24. \begin{table}[H]
  25.    \caption{Cayley table for $K_{33}$.}
  26.    \begin{center} \begin{tabular}{{c|c c c c}}
  27.        $\cdot$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ \\ \hline
  28.        $c_{0}$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ \\
  29.        $c_{1}$ & $c_{1}$ & $\frac{1}{3}c_{0}+\frac{2}{3}c_{2}$ & $c_{1}$ \\
  30.        $c_{2}$ & $c_{2}$ & $c_{1}$ & $\frac{1}{2}c_{0}+\frac{1}{2}c_{2}$
  31.    \end{tabular} \end{center}
  32.    \label{table:}
  33. \end{table}
  34.  
  35. \begin{equation*}X=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\1 & 0 & -1\\1 & - \frac{1}{2} & 1\end{matrix}\right]\end{equation*}
  36. \begin{equation*}L=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{3} & 0\\1 & 0 & 1\\0 & \frac{2}{3} & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1}{2}\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  37. \begin{equation*}\hat{L}=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\3 & 3 & 3\\2 & 2 & 2\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{1}{2}\\0 & 0 & 0\\-1 & 0 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & -1 & 1\\-3 & 3 & -3\\2 & -2 & 2\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  38. \begin{equation*}w=[1, 3, 2]\end{equation*}
  39. \[k=[1, 4, 1]\]
  40. \clearpage
  41.  
  42. \begin{table}[H]
  43.    \caption{Cayley table for the Petersen graph.}
  44.    \begin{center} \begin{tabular}{{c|c c c c}}
  45.        $\cdot$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ \\ \hline
  46.        $c_{0}$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ \\
  47.        $c_{1}$ & $c_{1}$ & $\frac{1}{3}c_{0}+\frac{2}{3}c_{2}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{2}$ \\
  48.        $c_{2}$ & $c_{2}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{2}$ & $\frac{1}{6}c_{0}+\frac{1}{3}c_{1}+\frac{1}{2}c_{2}$
  49.    \end{tabular} \end{center}
  50.    \label{table:}
  51. \end{table}
  52.  
  53. \begin{equation*}X=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\1 & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\end{matrix}\right]\end{equation*}
  54. \begin{equation*}L=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{3} & 0\\1 & 0 & \frac{1}{3}\\0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1}{6}\\0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  55. \begin{equation*}\hat{L}=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\3 & 3 & 3\\6 & 6 & 6\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3}\\1 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3}\\-2 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{6}\\-2 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3}\\1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{6}\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  56. \begin{equation*}w=[1, 3, 6]\end{equation*}
  57. \[k=[1, 5, 4]\]
  58. \clearpage
  59.  
  60. \begin{table}[H]
  61.    \caption{Cayley table for the cubical graph.}
  62.    \begin{center} \begin{tabular}{{c|c c c c c}}
  63.        $\cdot$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ & $c_{3}$ \\ \hline
  64.        $c_{0}$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ & $c_{3}$ \\
  65.        $c_{1}$ & $c_{1}$ & $\frac{1}{3}c_{0}+\frac{2}{3}c_{2}$ & $\frac{2}{3}c_{1}+\frac{1}{3}c_{3}$ & $c_{2}$ \\
  66.        $c_{2}$ & $c_{2}$ & $\frac{2}{3}c_{1}+\frac{1}{3}c_{3}$ & $\frac{1}{3}c_{0}+\frac{2}{3}c_{2}$ & $c_{1}$ \\
  67.        $c_{3}$ & $c_{3}$ & $c_{2}$ & $c_{1}$ & $c_{0}$
  68.    \end{tabular} \end{center}
  69.    \label{table:}
  70. \end{table}
  71.  
  72. \begin{equation*}X=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1\\1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -1\\1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1\\1 & 1 & -1 & -1\end{matrix}\right]\end{equation*}
  73. \begin{equation*}L=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{3} & 0 & 0\\1 & 0 & \frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{2}{3} & 0 & 1\\0 & 0 & \frac{1}{3} & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1}{3} & 0\\0 & \frac{2}{3} & 0 & 1\\1 & 0 & \frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3} & 0 & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  74. \begin{equation*}\hat{L}=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1\\3 & 3 & 3 & 3\\3 & 3 & 3 & 3\\1 & 1 & 1 & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1\\-1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -1\\-1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -1\\1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & -1\\1 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & -1\\-1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 1\\-1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & -1 & 1 & -1\\-3 & 3 & -3 & 3\\3 & -3 & 3 & -3\\-1 & 1 & -1 & 1\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  75. \begin{equation*}w=[1, 3, 3, 1]\end{equation*}
  76. \[k=[1, 3, 3, 1]\]
  77. \clearpage
  78.  
  79. \begin{table}[H]
  80.    \caption{Cayley table for the Heawood graph.}
  81.    \begin{center} \begin{tabular}{{c|c c c c c}}
  82.        $\cdot$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ & $c_{3}$ \\ \hline
  83.        $c_{0}$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ & $c_{3}$ \\
  84.        $c_{1}$ & $c_{1}$ & $\frac{1}{3}c_{0}+\frac{2}{3}c_{2}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{3}$ & $c_{2}$ \\
  85.        $c_{2}$ & $c_{2}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{3}$ & $\frac{1}{6}c_{0}+\frac{5}{6}c_{2}$ & $\frac{1}{2}c_{1}+\frac{1}{2}c_{3}$ \\
  86.        $c_{3}$ & $c_{3}$ & $c_{2}$ & $\frac{1}{2}c_{1}+\frac{1}{2}c_{3}$ & $\frac{1}{4}c_{0}+\frac{3}{4}c_{2}$
  87.    \end{tabular} \end{center}
  88.    \label{table:}
  89. \end{table}
  90.  
  91. \begin{equation*}X=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1\\1 & -1 & - \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}\\1 & 1 & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6}\\1 & -1 & \frac{\sqrt{2}}{4} & - \frac{\sqrt{2}}{4}\end{matrix}\right]\end{equation*}
  92. \begin{equation*}L=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{3} & 0 & 0\\1 & 0 & \frac{1}{3} & 0\\0 & \frac{2}{3} & 0 & 1\\0 & 0 & \frac{2}{3} & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1}{6} & 0\\0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{2}\\1 & 0 & \frac{5}{6} & 0\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{1}{4}\\0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\0 & 1 & 0 & \frac{3}{4}\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  93. \begin{equation*}\hat{L}=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1\\3 & 3 & 3 & 3\\6 & 6 & 6 & 6\\4 & 4 & 4 & 4\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & -1 & 1 & -1\\-3 & 3 & -3 & 3\\6 & -6 & 6 & -6\\-4 & 4 & -4 & 4\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & - \frac{\sqrt{2}}{3} & - \frac{1}{6} & \frac{\sqrt{2}}{4}\\- \sqrt{2} & \frac{2}{3} & \frac{\sqrt{2}}{6} & - \frac{1}{2}\\-1 & \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{1}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{4}\\\sqrt{2} & - \frac{2}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{6} & \frac{1}{2}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & \frac{\sqrt{2}}{3} & - \frac{1}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{4}\\\sqrt{2} & \frac{2}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{6} & - \frac{1}{2}\\-1 & - \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{1}{6} & \frac{\sqrt{2}}{4}\\- \sqrt{2} & - \frac{2}{3} & \frac{\sqrt{2}}{6} & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  94. \begin{equation*}w=[1, 3, 6, 4]\end{equation*}
  95. \[k=[1, 1, 6, 6]\]
  96. \clearpage
  97.  
  98. \begin{table}[H]
  99.    \caption{Cayley table for the Pappus graph.}
  100.    \begin{center} \begin{tabular}{{c|c c c c c c}}
  101.        $\cdot$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ & $c_{3}$ & $c_{4}$ \\ \hline
  102.        $c_{0}$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ & $c_{3}$ & $c_{4}$ \\
  103.        $c_{1}$ & $c_{1}$ & $\frac{1}{3}c_{0}+\frac{2}{3}c_{2}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{3}$ & $\frac{2}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $c_{3}$ \\
  104.        $c_{2}$ & $c_{2}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{3}$ & $\frac{1}{6}c_{0}+\frac{1}{2}c_{2}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{3}$ & $c_{2}$ \\
  105.        $c_{3}$ & $c_{3}$ & $\frac{2}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{3}$ & $\frac{1}{6}c_{0}+\frac{2}{3}c_{2}+\frac{1}{6}c_{4}$ & $\frac{1}{2}c_{1}+\frac{1}{2}c_{3}$ \\
  106.        $c_{4}$ & $c_{4}$ & $c_{3}$ & $c_{2}$ & $\frac{1}{2}c_{1}+\frac{1}{2}c_{3}$ & $\frac{1}{2}c_{0}+\frac{1}{2}c_{4}$
  107.    \end{tabular} \end{center}
  108.    \label{table:}
  109. \end{table}
  110.  
  111. \begin{equation*}X=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 0 & -1 & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3}\\1 & - \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & -1 & \frac{\sqrt{3}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{6}\\1 & 1 & 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\end{matrix}\right]\end{equation*}
  112. \begin{equation*}L=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 0\\0 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0\\0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 1\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 0\\0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0\\0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{2}\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 0\\1 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{2}\\0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  113. \begin{equation*}\hat{L}=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\3 & 3 & 3 & 3 & 3\\6 & 6 & 6 & 6 & 6\\6 & 6 & 6 & 6 & 6\\2 & 2 & 2 & 2 & 2\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\-3 & 0 & \frac{3}{2} & 0 & -3\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & -1 & 0 & 2\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & -1 & 1 & -1 & 1\\-3 & 3 & -3 & 3 & -3\\6 & -6 & 6 & -6 & 6\\-6 & 6 & -6 & 6 & -6\\2 & -2 & 2 & -2 & 2\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{6} & - \frac{1}{2}\\- \sqrt{3} & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\sqrt{3} & -1 & 0 & \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2}\\-1 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & - \frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{1}{2}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & - \frac{\sqrt{3}}{6} & - \frac{1}{2}\\\sqrt{3} & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\- \sqrt{3} & -1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\\-1 & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  114. \begin{equation*}w=[1, 3, 6, 6, 2]\end{equation*}
  115. \[k=[1, 4, 1, 6, 6]\]
  116. \clearpage
  117.  
  118. \begin{table}[H]
  119.    \caption{Cayley table for the Coxeter graph.}
  120.    \begin{center} \begin{tabular}{{c|c c c c c c}}
  121.        $\cdot$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ & $c_{3}$ & $c_{4}$ \\ \hline
  122.        $c_{0}$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ & $c_{3}$ & $c_{4}$ \\
  123.        $c_{1}$ & $c_{1}$ & $\frac{1}{3}c_{0}+\frac{2}{3}c_{2}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{3}$ & $\frac{1}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $\frac{2}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{4}$ \\
  124.        $c_{2}$ & $c_{2}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{3}$ & $\frac{1}{6}c_{0}+\frac{1}{6}c_{2}+\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{6}c_{1}+\frac{1}{6}c_{2}+\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{3}c_{2}+\frac{2}{3}c_{3}$ \\
  125.        $c_{3}$ & $c_{3}$ & $\frac{1}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{6}c_{1}+\frac{1}{6}c_{2}+\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{12}c_{0}+\frac{1}{12}c_{1}+\frac{1}{6}c_{2}+\frac{1}{2}c_{3}+\frac{1}{6}c_{4}$ & $\frac{1}{6}c_{1}+\frac{1}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{6}c_{4}$ \\
  126.        $c_{4}$ & $c_{4}$ & $\frac{2}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{3}c_{2}+\frac{2}{3}c_{3}$ & $\frac{1}{6}c_{1}+\frac{1}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{6}c_{4}$ & $\frac{1}{6}c_{0}+\frac{1}{6}c_{1}+\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{4}$
  127.    \end{tabular} \end{center}
  128.    \label{table:}
  129. \end{table}
  130.  
  131. \begin{equation*}X=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{3}\\1 & \frac{1}{6} & - \frac{1}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}\\1 & - \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6}\\1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{1}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{1}{3}\end{matrix}\right]\end{equation*}
  132. \begin{equation*}L=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0\\0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0\\1 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3}\\0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{1}{12} & 0\\0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{12} & \frac{1}{6}\\0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3}\\1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3}\\0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6}\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\\0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\1 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  133. \begin{equation*}\hat{L}=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\3 & 3 & 3 & 3 & 3\\6 & 6 & 6 & 6 & 6\\12 & 12 & 12 & 12 & 12\\6 & 6 & 6 & 6 & 6\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{3}\\2 & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{3}\\-2 & - \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\-2 & - \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3}\\-1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\-2 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3}\\4 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{4}{3} & - \frac{4}{3}\\-2 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{3} & - \frac{1}{6} & \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{1}{3}\\-1 + \sqrt{2} & - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 1 & - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{1}{6} & \frac{\sqrt{2}}{6}\\- 2 \sqrt{2} & - \frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{2}}{3} & \frac{4}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3} & - \frac{2 \sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3}\\-2 & - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3} & \frac{2 \sqrt{2}}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{2}}{3}\\\sqrt{2} + 2 & \frac{\sqrt{2}}{3} & - \frac{2 \sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2}}{6} & \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & - \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3} & - \frac{1}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{1}{3}\\- \sqrt{2} - 1 & \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 1 & - \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{2}}{6} & - \frac{\sqrt{2}}{6}\\2 \sqrt{2} & - \frac{4}{3} - \frac{2 \sqrt{2}}{3} & \frac{4}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{3} & - \frac{2}{3} + \frac{2 \sqrt{2}}{3}\\-2 & \frac{2}{3} + \frac{2 \sqrt{2}}{3} & - \frac{2 \sqrt{2}}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3}\\- \sqrt{2} + 2 & - \frac{\sqrt{2}}{3} & - \frac{2}{3} + \frac{2 \sqrt{2}}{3} & - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{6} & - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 1\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  134. \begin{equation*}w=[1, 3, 6, 12, 6]\end{equation*}
  135. \[k=[1, 8, 7, 6, 6]\]
  136. \clearpage
  137.  
  138. \begin{table}[H]
  139.    \caption{Cayley table for the Tutte graph.}
  140.    \begin{center} \begin{tabular}{{c|c c c c c c}}
  141.        $\cdot$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ & $c_{3}$ & $c_{4}$ \\ \hline
  142.        $c_{0}$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ & $c_{3}$ & $c_{4}$ \\
  143.        $c_{1}$ & $c_{1}$ & $\frac{1}{3}c_{0}+\frac{2}{3}c_{2}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{3}$ & $\frac{1}{3}c_{2}+\frac{2}{3}c_{4}$ & $c_{3}$ \\
  144.        $c_{2}$ & $c_{2}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{3}$ & $\frac{1}{6}c_{0}+\frac{1}{6}c_{2}+\frac{2}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{6}c_{1}+\frac{5}{6}c_{3}$ & $\frac{1}{2}c_{2}+\frac{1}{2}c_{4}$ \\
  145.        $c_{3}$ & $c_{3}$ & $\frac{1}{3}c_{2}+\frac{2}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{6}c_{1}+\frac{5}{6}c_{3}$ & $\frac{1}{12}c_{0}+\frac{5}{12}c_{2}+\frac{1}{2}c_{4}$ & $\frac{1}{4}c_{1}+\frac{3}{4}c_{3}$ \\
  146.        $c_{4}$ & $c_{4}$ & $c_{3}$ & $\frac{1}{2}c_{2}+\frac{1}{2}c_{4}$ & $\frac{1}{4}c_{1}+\frac{3}{4}c_{3}$ & $\frac{1}{8}c_{0}+\frac{3}{8}c_{2}+\frac{1}{2}c_{4}$
  147.    \end{tabular} \end{center}
  148.    \label{table:}
  149. \end{table}
  150.  
  151. \begin{equation*}X=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & - \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{3} & -1\\1 & \frac{1}{6} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 1\\1 & \frac{1}{6} & 0 & - \frac{1}{6} & -1\\1 & - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} & 1\end{matrix}\right]\end{equation*}
  152. \begin{equation*}L=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0\\0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0\\1 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{2}\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{5}{6} & 0\\0 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{1}{12} & 0\\0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{4}\\0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{5}{12} & 0\\1 & 0 & \frac{5}{6} & 0 & \frac{3}{4}\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{2} & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{8}\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0\\0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{3}{8}\\0 & 1 & 0 & \frac{3}{4} & 0\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  153. \begin{equation*}\hat{L}=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\3 & 3 & 3 & 3 & 3\\6 & 6 & 6 & 6 & 6\\12 & 12 & 12 & 12 & 12\\8 & 8 & 8 & 8 & 8\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{4}\\-2 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{2}\\1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{4}\\2 & - \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{2}\\-2 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{2}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\-3 & 0 & \frac{3}{2} & 0 & - \frac{3}{4}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & -1 & 0 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{4}\\2 & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{2}\\1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{4}\\-2 & - \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{2}\\-2 & - \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{2}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & -1 & 1 & -1 & 1\\-3 & 3 & -3 & 3 & -3\\6 & -6 & 6 & -6 & 6\\-12 & 12 & -12 & 12 & -12\\8 & -8 & 8 & -8 & 8\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  154. \begin{equation*}w=[1, 3, 6, 12, 8]\end{equation*}
  155. \[k=[1, 9, 10, 9, 1]\]
  156. \clearpage
  157.  
  158. \begin{table}[H]
  159.    \caption{Cayley table for the dodecahedral graph.}
  160.    \begin{center} \begin{tabular}{{c|c c c c c c c}}
  161.        $\cdot$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ & $c_{3}$ & $c_{4}$ & $c_{5}$ \\ \hline
  162.        $c_{0}$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ & $c_{3}$ & $c_{4}$ & $c_{5}$ \\
  163.        $c_{1}$ & $c_{1}$ & $\frac{1}{3}c_{0}+\frac{2}{3}c_{2}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{1}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{3}$ & $\frac{1}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $\frac{2}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{5}$ & $c_{4}$ \\
  164.        $c_{2}$ & $c_{2}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{1}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{3}$ & $\frac{1}{6}c_{0}+\frac{1}{6}c_{1}+\frac{1}{6}c_{2}+\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{6}c_{4}$ & $\frac{1}{6}c_{1}+\frac{1}{3}c_{2}+\frac{1}{6}c_{3}+\frac{1}{6}c_{4}+\frac{1}{6}c_{5}$ & $\frac{1}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $c_{3}$ \\
  165.        $c_{3}$ & $c_{3}$ & $\frac{1}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{6}c_{1}+\frac{1}{3}c_{2}+\frac{1}{6}c_{3}+\frac{1}{6}c_{4}+\frac{1}{6}c_{5}$ & $\frac{1}{6}c_{0}+\frac{1}{6}c_{1}+\frac{1}{6}c_{2}+\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{6}c_{4}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{1}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{3}$ & $c_{2}$ \\
  166.        $c_{4}$ & $c_{4}$ & $\frac{2}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{5}$ & $\frac{1}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{1}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{3}$ & $\frac{1}{3}c_{0}+\frac{2}{3}c_{2}$ & $c_{1}$ \\
  167.        $c_{5}$ & $c_{5}$ & $c_{4}$ & $c_{3}$ & $c_{2}$ & $c_{1}$ & $c_{0}$
  168.    \end{tabular} \end{center}
  169.    \label{table:}
  170. \end{table}
  171.  
  172. \begin{equation*}X=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3} & - \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{\sqrt{5}}{3}\\1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3}\\1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3} & \frac{\sqrt{5}}{3} & - \frac{\sqrt{5}}{3}\\1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1\end{matrix}\right]\end{equation*}
  173. \begin{equation*}L=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0\\0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0\\0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0 & 0\\0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & 0 & 0\\1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 1\\0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0\\0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 1\\1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & 0 & 0\\0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 1\\0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0\\1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0\\0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  174. \begin{equation*}\hat{L}=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3\\6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6\\6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6\\3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\-3 & 0 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & 0 & 3\\3 & 0 & - \frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 0 & -3\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\-1 & 0 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 1\\1 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 1\\-2 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & -2\\-2 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & -2\\1 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 1\\1 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{2}{3} & 1\\-2 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} & -2\\1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{2}{3} & 1\\1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{2}{3} & 1\\-2 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} & -2\\1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{2}{3} & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & - \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{5}}{3} & -1\\- \sqrt{5} & \frac{5}{3} & - \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{\sqrt{5}}{3} & - \frac{5}{3} & \sqrt{5}\\2 & - \frac{2 \sqrt{5}}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & \frac{2 \sqrt{5}}{3} & -2\\-2 & \frac{2 \sqrt{5}}{3} & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{2 \sqrt{5}}{3} & 2\\\sqrt{5} & - \frac{5}{3} & \frac{\sqrt{5}}{3} & - \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{5}{3} & - \sqrt{5}\\-1 & \frac{\sqrt{5}}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{\sqrt{5}}{3} & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{\sqrt{5}}{3} & -1\\\sqrt{5} & \frac{5}{3} & \frac{\sqrt{5}}{3} & - \frac{\sqrt{5}}{3} & - \frac{5}{3} & - \sqrt{5}\\2 & \frac{2 \sqrt{5}}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & - \frac{2 \sqrt{5}}{3} & -2\\-2 & - \frac{2 \sqrt{5}}{3} & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2 \sqrt{5}}{3} & 2\\- \sqrt{5} & - \frac{5}{3} & - \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{5}{3} & \sqrt{5}\\-1 & - \frac{\sqrt{5}}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{5}}{3} & 1\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  175. \begin{equation*}w=[1, 3, 6, 6, 3, 1]\end{equation*}
  176. \[k=[1, 4, 5, 4, 3, 3]\]
  177. \clearpage
  178.  
  179. \begin{table}[H]
  180.    \caption{Cayley table for the Desargues graph.}
  181.    \begin{center} \begin{tabular}{{c|c c c c c c c}}
  182.        $\cdot$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ & $c_{3}$ & $c_{4}$ & $c_{5}$ \\ \hline
  183.        $c_{0}$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ & $c_{3}$ & $c_{4}$ & $c_{5}$ \\
  184.        $c_{1}$ & $c_{1}$ & $\frac{1}{3}c_{0}+\frac{2}{3}c_{2}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{3}$ & $\frac{2}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $\frac{2}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{5}$ & $c_{4}$ \\
  185.        $c_{2}$ & $c_{2}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{3}$ & $\frac{1}{6}c_{0}+\frac{1}{2}c_{2}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{1}{2}c_{3}+\frac{1}{6}c_{5}$ & $\frac{2}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $c_{3}$ \\
  186.        $c_{3}$ & $c_{3}$ & $\frac{2}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{1}{2}c_{3}+\frac{1}{6}c_{5}$ & $\frac{1}{6}c_{0}+\frac{1}{2}c_{2}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{3}$ & $c_{2}$ \\
  187.        $c_{4}$ & $c_{4}$ & $\frac{2}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{5}$ & $\frac{2}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{3}$ & $\frac{1}{3}c_{0}+\frac{2}{3}c_{2}$ & $c_{1}$ \\
  188.        $c_{5}$ & $c_{5}$ & $c_{4}$ & $c_{3}$ & $c_{2}$ & $c_{1}$ & $c_{0}$
  189.    \end{tabular} \end{center}
  190.    \label{table:}
  191. \end{table}
  192.  
  193. \begin{equation*}X=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -1\\1 & \frac{1}{6} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & 1\\1 & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{6} & -1\\1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3} & 1\\1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1\end{matrix}\right]\end{equation*}
  194. \begin{equation*}L=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 0 & 0\\0 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 0\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0 & 0\\0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 1\\0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0\\0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 1\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0\\0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 1\\0 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 0 & 0\\1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0\\0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  195. \begin{equation*}\hat{L}=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3\\6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6\\6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6\\3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{2}{3} & 1\\-2 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} & -2\\1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{2}{3} & 1\\1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{2}{3} & 1\\-2 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} & -2\\1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{2}{3} & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -1\\-1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1\\-2 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & 2\\2 & - \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & -2\\1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -1\\-1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 1\\1 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 1\\-2 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & -2\\-2 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & -2\\1 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 1\\1 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & - \frac{2}{3} & -1\\2 & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} & -2\\1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & - \frac{2}{3} & -1\\-1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & 1\\-2 & - \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{4}{3} & 2\\-1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1\\-3 & 3 & -3 & 3 & -3 & 3\\6 & -6 & 6 & -6 & 6 & -6\\-6 & 6 & -6 & 6 & -6 & 6\\3 & -3 & 3 & -3 & 3 & -3\\-1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  196. \begin{equation*}w=[1, 3, 6, 6, 3, 1]\end{equation*}
  197. \[k=[1, 4, 5, 5, 4, 1]\]
  198. \clearpage
  199.  
  200. \begin{table}[H]
  201.    \caption{Cayley table for the Foster graph.}
  202.    \begin{center} \begin{tabular}{{c|c c c c c c c c c c}}
  203.        $\cdot$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ & $c_{3}$ & $c_{4}$ & $c_{5}$ & $c_{6}$ & $c_{7}$ & $c_{8}$ \\ \hline
  204.        $c_{0}$ & $c_{0}$ & $c_{1}$ & $c_{2}$ & $c_{3}$ & $c_{4}$ & $c_{5}$ & $c_{6}$ & $c_{7}$ & $c_{8}$ \\
  205.        $c_{1}$ & $c_{1}$ & $\frac{1}{3}c_{0}+\frac{2}{3}c_{2}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{3}$ & $\frac{1}{3}c_{2}+\frac{2}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{3}c_{3}+\frac{2}{3}c_{5}$ & $\frac{2}{3}c_{4}+\frac{1}{3}c_{6}$ & $\frac{2}{3}c_{5}+\frac{1}{3}c_{7}$ & $\frac{2}{3}c_{6}+\frac{1}{3}c_{8}$ & $c_{7}$ \\
  206.        $c_{2}$ & $c_{2}$ & $\frac{1}{3}c_{1}+\frac{2}{3}c_{3}$ & $\frac{1}{6}c_{0}+\frac{1}{6}c_{2}+\frac{2}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{6}c_{1}+\frac{1}{6}c_{3}+\frac{2}{3}c_{5}$ & $\frac{1}{6}c_{2}+\frac{1}{2}c_{4}+\frac{1}{3}c_{6}$ & $\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{2}c_{5}+\frac{1}{6}c_{7}$ & $\frac{2}{3}c_{4}+\frac{1}{6}c_{6}+\frac{1}{6}c_{8}$ & $\frac{2}{3}c_{5}+\frac{1}{3}c_{7}$ & $c_{6}$ \\
  207.        $c_{3}$ & $c_{3}$ & $\frac{1}{3}c_{2}+\frac{2}{3}c_{4}$ & $\frac{1}{6}c_{1}+\frac{1}{6}c_{3}+\frac{2}{3}c_{5}$ & $\frac{1}{12}c_{0}+\frac{1}{12}c_{2}+\frac{1}{2}c_{4}+\frac{1}{3}c_{6}$ & $\frac{1}{12}c_{1}+\frac{1}{4}c_{3}+\frac{1}{2}c_{5}+\frac{1}{6}c_{7}$ & $\frac{1}{6}c_{2}+\frac{1}{2}c_{4}+\frac{1}{4}c_{6}+\frac{1}{12}c_{8}$ & $\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{2}c_{5}+\frac{1}{6}c_{7}$ & $\frac{2}{3}c_{4}+\frac{1}{3}c_{6}$ & $c_{5}$ \\
  208.        $c_{4}$ & $c_{4}$ & $\frac{1}{3}c_{3}+\frac{2}{3}c_{5}$ & $\frac{1}{6}c_{2}+\frac{1}{2}c_{4}+\frac{1}{3}c_{6}$ & $\frac{1}{12}c_{1}+\frac{1}{4}c_{3}+\frac{1}{2}c_{5}+\frac{1}{6}c_{7}$ & $\frac{1}{24}c_{0}+\frac{1}{8}c_{2}+\frac{1}{2}c_{4}+\frac{1}{4}c_{6}+\frac{1}{12}c_{8}$ & $\frac{1}{12}c_{1}+\frac{1}{4}c_{3}+\frac{1}{2}c_{5}+\frac{1}{6}c_{7}$ & $\frac{1}{6}c_{2}+\frac{1}{2}c_{4}+\frac{1}{3}c_{6}$ & $\frac{1}{3}c_{3}+\frac{2}{3}c_{5}$ & $c_{4}$ \\
  209.        $c_{5}$ & $c_{5}$ & $\frac{2}{3}c_{4}+\frac{1}{3}c_{6}$ & $\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{2}c_{5}+\frac{1}{6}c_{7}$ & $\frac{1}{6}c_{2}+\frac{1}{2}c_{4}+\frac{1}{4}c_{6}+\frac{1}{12}c_{8}$ & $\frac{1}{12}c_{1}+\frac{1}{4}c_{3}+\frac{1}{2}c_{5}+\frac{1}{6}c_{7}$ & $\frac{1}{24}c_{0}+\frac{1}{8}c_{2}+\frac{1}{2}c_{4}+\frac{7}{24}c_{6}+\frac{1}{24}c_{8}$ & $\frac{1}{12}c_{1}+\frac{1}{4}c_{3}+\frac{7}{12}c_{5}+\frac{1}{12}c_{7}$ & $\frac{1}{6}c_{2}+\frac{2}{3}c_{4}+\frac{1}{6}c_{6}$ & $\frac{1}{2}c_{3}+\frac{1}{2}c_{5}$ \\
  210.        $c_{6}$ & $c_{6}$ & $\frac{2}{3}c_{5}+\frac{1}{3}c_{7}$ & $\frac{2}{3}c_{4}+\frac{1}{6}c_{6}+\frac{1}{6}c_{8}$ & $\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{2}c_{5}+\frac{1}{6}c_{7}$ & $\frac{1}{6}c_{2}+\frac{1}{2}c_{4}+\frac{1}{3}c_{6}$ & $\frac{1}{12}c_{1}+\frac{1}{4}c_{3}+\frac{7}{12}c_{5}+\frac{1}{12}c_{7}$ & $\frac{1}{12}c_{0}+\frac{1}{12}c_{2}+\frac{2}{3}c_{4}+\frac{1}{12}c_{6}+\frac{1}{12}c_{8}$ & $\frac{1}{6}c_{1}+\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{5}+\frac{1}{6}c_{7}$ & $\frac{1}{2}c_{2}+\frac{1}{2}c_{6}$ \\
  211.        $c_{7}$ & $c_{7}$ & $\frac{2}{3}c_{6}+\frac{1}{3}c_{8}$ & $\frac{2}{3}c_{5}+\frac{1}{3}c_{7}$ & $\frac{2}{3}c_{4}+\frac{1}{3}c_{6}$ & $\frac{1}{3}c_{3}+\frac{2}{3}c_{5}$ & $\frac{1}{6}c_{2}+\frac{2}{3}c_{4}+\frac{1}{6}c_{6}$ & $\frac{1}{6}c_{1}+\frac{1}{3}c_{3}+\frac{1}{3}c_{5}+\frac{1}{6}c_{7}$ & $\frac{1}{6}c_{0}+\frac{1}{3}c_{2}+\frac{1}{3}c_{6}+\frac{1}{6}c_{8}$ & $\frac{1}{2}c_{1}+\frac{1}{2}c_{7}$ \\
  212.        $c_{8}$ & $c_{8}$ & $c_{7}$ & $c_{6}$ & $c_{5}$ & $c_{4}$ & $\frac{1}{2}c_{3}+\frac{1}{2}c_{5}$ & $\frac{1}{2}c_{2}+\frac{1}{2}c_{6}$ & $\frac{1}{2}c_{1}+\frac{1}{2}c_{7}$ & $\frac{1}{2}c_{0}+\frac{1}{2}c_{8}$
  213.    \end{tabular} \end{center}
  214.    \label{table:}
  215. \end{table}
  216.  
  217. \begin{equation*}X=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -1 & - \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{3}\\1 & \frac{1}{6} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\1 & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{6} & -1 & - \frac{\sqrt{6}}{12} & \frac{\sqrt{6}}{12}\\1 & - \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0 & - \frac{1}{4} & 1 & 0 & 0\\1 & \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & -1 & \frac{\sqrt{6}}{24} & - \frac{\sqrt{6}}{24}\\1 & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{4}\\1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & 0 & - \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & -1 & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{6}}{6}\\1 & 1 & - \frac{1}{2} & 1 & - \frac{1}{2} & 1 & 1 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\end{matrix}\right]\end{equation*}
  218. \begin{equation*}L=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{2}{3} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{2}{3} & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & \frac{1}{12} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{12} & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{12} & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{2}{3} & 0\\0 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{12} & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{24} & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{12} & 0 & \frac{1}{12} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{8} & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0\\0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{3} & 0\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 1\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{2}{3} & 0\\0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{12} & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{24} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{12} & 0 & \frac{1}{12} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{8} & 0 & \frac{1}{6} & 0\\0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{2}\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{2}{3} & 0\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{7}{12} & 0 & \frac{1}{2}\\0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{7}{24} & 0 & \frac{1}{6} & 0\\0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{12} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{12} & 0 & \frac{1}{24} & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{12} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{12} & 0 & \frac{1}{6} & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{12} & 0 & \frac{1}{2}\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{2}{3} & 0 & 0\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{7}{12} & 0 & \frac{1}{3} & 0\\1 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{12} & 0 & \frac{1}{2}\\0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{12} & 0 & \frac{1}{6} & 0\\0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{12} & 0 & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{2}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0\\0 & \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{3} & 0\\1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0 & \frac{1}{2}\\0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  219. \begin{equation*}\hat{L}=\left [ \left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3\\6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6\\12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12\\24 & 24 & 24 & 24 & 24 & 24 & 24 & 24 & 24\\24 & 24 & 24 & 24 & 24 & 24 & 24 & 24 & 24\\12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12 & 12\\6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6\\2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{2}{3} & 1\\-2 & \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} & -2\\1 & - \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{2}{3} & 1\\2 & - \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} & 2\\-6 & 4 & -1 & -1 & \frac{3}{2} & -1 & -1 & 4 & -6\\4 & - \frac{8}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & -1 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{8}{3} & 4\\2 & - \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} & 2\\-4 & \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & -4\\2 & - \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} & 2\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{2}\\-1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & \frac{1}{2}\\-2 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1\\4 & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{4}{3} & 0 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & -2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\-4 & \frac{4}{3} & \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} & 0 & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & 2\\2 & - \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -1\\1 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{2}\\-1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & \frac{1}{2}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} & 0 & - \frac{1}{2} & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\-3 & 0 & \frac{3}{2} & 0 & - \frac{3}{4} & 0 & \frac{3}{2} & 0 & -3\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\6 & 0 & -3 & 0 & \frac{3}{2} & 0 & -3 & 0 & 6\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\-6 & 0 & 3 & 0 & - \frac{3}{2} & 0 & 3 & 0 & -6\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & -1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & -1 & 0 & 2\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{2}\\1 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{2}\\-2 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 1\\-4 & - \frac{4}{3} & \frac{4}{3} & \frac{4}{3} & 0 & - \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & 2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\4 & \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} & 0 & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & -2\\2 & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & -1\\-1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{2}\\-1 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{2}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & 1\\2 & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{4}{3} & 2\\1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & 1\\-2 & - \frac{4}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} & -2\\-6 & -4 & -1 & 1 & \frac{3}{2} & 1 & -1 & -4 & -6\\-4 & - \frac{8}{3} & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & 1 & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & - \frac{8}{3} & -4\\2 & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{4}{3} & 2\\4 & \frac{8}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{2}{3} & -1 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{8}{3} & 4\\2 & \frac{4}{3} & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{4}{3} & 2\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1\\-3 & 3 & -3 & 3 & -3 & 3 & -3 & 3 & -3\\6 & -6 & 6 & -6 & 6 & -6 & 6 & -6 & 6\\-12 & 12 & -12 & 12 & -12 & 12 & -12 & 12 & -12\\24 & -24 & 24 & -24 & 24 & -24 & 24 & -24 & 24\\-24 & 24 & -24 & 24 & -24 & 24 & -24 & 24 & -24\\12 & -12 & 12 & -12 & 12 & -12 & 12 & -12 & 12\\-6 & 6 & -6 & 6 & -6 & 6 & -6 & 6 & -6\\2 & -2 & 2 & -2 & 2 & -2 & 2 & -2 & 2\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & - \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{6}}{12} & 0 & \frac{\sqrt{6}}{24} & - \frac{1}{4} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{1}{2}\\- \sqrt{6} & 2 & - \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} & -1 & \frac{\sqrt{6}}{2}\\3 & - \sqrt{6} & \frac{3}{2} & - \frac{\sqrt{6}}{4} & 0 & \frac{\sqrt{6}}{8} & - \frac{3}{4} & \frac{\sqrt{6}}{2} & - \frac{3}{2}\\- \sqrt{6} & 2 & - \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} & -1 & \frac{\sqrt{6}}{2}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\sqrt{6} & -2 & \frac{\sqrt{6}}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} & - \frac{\sqrt{6}}{4} & 1 & - \frac{\sqrt{6}}{2}\\-3 & \sqrt{6} & - \frac{3}{2} & \frac{\sqrt{6}}{4} & 0 & - \frac{\sqrt{6}}{8} & \frac{3}{4} & - \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{3}{2}\\\sqrt{6} & -2 & \frac{\sqrt{6}}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} & - \frac{\sqrt{6}}{4} & 1 & - \frac{\sqrt{6}}{2}\\-1 & \frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{6}}{12} & 0 & - \frac{\sqrt{6}}{24} & \frac{1}{4} & - \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{1}{2}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}1 & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{6}}{12} & 0 & - \frac{\sqrt{6}}{24} & - \frac{1}{4} & - \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{1}{2}\\\sqrt{6} & 2 & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{4} & - \frac{\sqrt{6}}{4} & -1 & - \frac{\sqrt{6}}{2}\\3 & \sqrt{6} & \frac{3}{2} & \frac{\sqrt{6}}{4} & 0 & - \frac{\sqrt{6}}{8} & - \frac{3}{4} & - \frac{\sqrt{6}}{2} & - \frac{3}{2}\\\sqrt{6} & 2 & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & - \frac{1}{4} & - \frac{\sqrt{6}}{4} & -1 & - \frac{\sqrt{6}}{2}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\- \sqrt{6} & -2 & - \frac{\sqrt{6}}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} & 1 & \frac{\sqrt{6}}{2}\\-3 & - \sqrt{6} & - \frac{3}{2} & - \frac{\sqrt{6}}{4} & 0 & \frac{\sqrt{6}}{8} & \frac{3}{4} & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{3}{2}\\- \sqrt{6} & -2 & - \frac{\sqrt{6}}{2} & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} & 1 & \frac{\sqrt{6}}{2}\\-1 & - \frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{6}}{12} & 0 & \frac{\sqrt{6}}{24} & \frac{1}{4} & \frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]\right ]\end{equation*}
  220. \begin{equation*}w=[1, 3, 6, 12, 24, 24, 12, 6, 2]\end{equation*}
  221. \[k=[1, 9, 18, 10, 18, 9, 1, 12, 12]\]
  222. \clearpage
  223. \end{landscape}\end{document}
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