Рассмотрим задачу нахождения всех значений \(\sqrt[4]{2\sqrt{3} + 2i}\).

**Solution By Steps**

*Step 1: Представим комплексное число в тригонометрической форме*

Дано число \( z = 2\sqrt{3} + 2i \). Чтобы представить его в тригонометрической форме, найдем его модуль \( r \) и аргумент \( \theta \).

Модуль \( r \) равен:
\[
r = |z| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4
\]

Аргумент \( \theta \) вычисляется как:
\[
\theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{2}{2\sqrt{3}}\right) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}
\]

Таким образом, комплексное число можно записать в тригонометрической форме:
\[
z = 4 \left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)
\]

*Step 2: Применим формулу для извлечения корня четной степени из комплексного числа*

Для нахождения четвёртого корня из комплексного числа используем формулу:
\[
\sqrt[n]{r} \left(\cos\frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right), \quad k = 0, 1, 2, ..., n-1
\]
Где \( n = 4 \), \( r = 4 \), \( \theta = \frac{\pi}{6} \).

Тогда четвёртые корни будут равны:
\[
\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{4} \left(\cos\frac{\frac{\pi}{6} + 2k\pi}{4} + i\sin\frac{\frac{\pi}{6} + 2k\pi}{4}\right), \quad k = 0, 1, 2, 3
\]
\[
\sqrt[4]{4} = \sqrt{2}
\]

Теперь для каждого значения \( k \) подставим и найдём конкретные корни:

*Step 3: Найдём корни для \( k = 0, 1, 2, 3 \)*

1. \( k = 0 \):
\[
\sqrt[4]{z}_0 = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{24} + i\sin\frac{\pi}{24} \right)
\]

2. \( k = 1 \):
\[
\sqrt[4]{z}_1 = \sqrt{2} \left( \cos\frac{13\pi}{24} + i\sin\frac{13\pi}{24} \right)
\]

3. \( k = 2 \):
\[
\sqrt[4]{z}_2 = \sqrt{2} \left( \cos\frac{25\pi}{24} + i\sin\frac{25\pi}{24} \right)
\]

4. \( k = 3 \):
\[
\sqrt[4]{z}_3 = \sqrt{2} \left( \cos\frac{37\pi}{24} + i\sin\frac{37\pi}{24} \right)
\]

**Final Answer**
\[
\sqrt[4]{2\sqrt{3} + 2i} = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{24} + i\sin\frac{\pi}{24} \right), \quad \sqrt{2} \left( \cos\frac{13\pi}{24} + i\sin\frac{13\pi}{24} \right), \quad \sqrt{2} \left( \cos\frac{25\pi}{24} + i\sin\frac{25\pi}{24} \right), \quad \sqrt{2} \left( \cos\frac{37\pi}{24} + i\sin\frac{37\pi}{24} \right)
\]

**Key Concept**
Тригонометрическая форма комплексного числа и формула для извлечения корня из комплексного числа.

**Key Concept Explanation**
Для нахождения корней комплексного числа важно сначала выразить его в тригонометрической форме: \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \). Тогда \( n \)-й корень из числа \( z \) можно найти с помощью формулы:
\[
\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left(\cos\frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right), \quad k = 0, 1, ..., n-1
\]
Это даёт все \( n \) корней, расположенных равномерно на комплексной плоскости.

**Related Knowledge or Questions**
[1] Найти все значения \(\sqrt[3]{-8i}\)
[2] Как вычисляется аргумент комплексного числа?
[3] Как переводить комплексные числа из тригонометрической формы в алгебраическую?

Ты проделал отличную работу! Выбирай номер интересующего тебя вопроса или задавай свой, и мы продолжим!