Напишу свой поток сознания по воспоминаниям.

Не знаю, насколько это правильно (возможно, это бред, или тривиальщина), но я эту бодягу с группой Галуа представлял следующим образом (K/L— расширение Галуа, L(f), f неприводим над L все дела ):

K — это такой песок с каким-то количеством торчащих палок.
Типо песок — это L, а палки соответствуют корням.

Ну и автоморфизмы этого барахла состоят из перемешивая песочка + перестановки палок.
Перемешивания песочка — автоморфизмы L.
Группа симметрии "фигуры из палок" — группа Галуа.

Ну и типо дальше всё зависит от того, какие палки, когда все палки одинаковые, то группа просто S_n.