Task 44

\documentclass{article}
\usepackage{cmap}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{euscript}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools}
\usepackage{esvect}

\begin{document}
\setlength{\oddsidemargin}{1cm}
 \pagenumbering{arabic}

  %Вопрос 44%
  \section{Докажите лемму о вложенных отрезках.}
   \begin{enumerate}
       \item\textbf{Лемма о вложенных отрезках(принцип Коши-Кантора).} Пусть $\{[a_n,b_n]\}_1^\infty$ - последовательность вложенных друг в друга отрезков: $$[a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset  ...\supset [a_n,b_n]\supset ...  (1)$$ И пусть длины этих отрезков стремятся к нулю: $$\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0  (2)$$ Тогда пересечение этих отрезков непусто и состоит из одной точки $c$: $$c=\overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}}[a_n,b_n],$$ Причем $c=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n$
       \\\textbf{Доказательство.} Из условия (1) следует, что последовательность $\{a_n\}$ неубывающая, а $\{b_n\}$ - невозрастающая. Кроме того, обе они являются ограниченными, что следует из неравенств $a_1\le a_n<b_n\le b_1$. По теореме Вейерштрасса эти последовательности сходятся, то есть существуют пределы $a=\lim_{n\to\infty}a_n$ и $b=\lim_{n\to\infty}b_n$. Из (2) следует, что: $$b-a=\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0,$$ то есть $a=b=c$. Поскольку $c$ является пределом монотонных последовательностей, то $a_n\le c \le b_n$, то есть $c\in[a_n,b_n]$ для всех $n$. Точка, принадлежащая всем отрезкам, единственна. В самом деле, допустим, есть еще точка $c'\in [a_n,b_n](n\in\mathbb{N})$, тогда $|c-c'|\le b_n-a_n$ для всех $n$, что может быть только при $|c-c'|=0$. $\blacksquare$

   \end{enumerate}

\end{document}