//GaussSeidel


function GaussSeidel(A,b,E)
   [n,m]=size(A);
   if n~=m
       disp('Matricea sistemului nu este patratica')
    return
   end
   contor=0;
 % verificarea diagonal dominantei:
     for i=1:n
      suma=0;
     for j=1:n
          suma=suma+abs(A(i,j));
     end
        if(A(i,i)==0)
          disp('Metoda nu se aplica');
          return;
        end
      if suma<abs(A(i,i))
          contor=contor+1;
      end
     end

   if contor==n
       disp('Matricea e diagonal dominanta=> Se poate alpica metoda')
   else
       disp('Matricea NU este diagonal dominanta => NU se poate aplica metoda')
       return;
   end

   P=0;Q=0;
  %metoda iterativa
  X=zeros(n,1);
  error=ones(n,1);
  iteratie=0;
   while max(error)>E %conditia de terminare a procesului
      iteratie=iteratie+1
      Z=X; %salvarea valorii curente pentru a cacula eroarea mai tarziu
      for i=1:n
          P=0;Q=0; % cele 2 sume din formula
           X1=X; %salvam solutiile precedente
             for j=1:(i-1)
                 P=P+A(i,j)*X(j);% prima suma din formula
             end
             for k=(i+1):n % a doua suma din formula
                 Q=Q+A(i,k)*X1(k);
             end
               X(i)=(b(i)-P-Q)/A(i,i); %noile valori ale lui X
      end
         Xsol(:,iteratie)=X;
         error=sqrt((X-Z).^2) %calculul erorilor
      end
   disp('Solutia sistemului:')
   X=Xsol(:,iteratie)

   disp('precizia solutiilor calculate:')
     X_exact=inv(A)*b
    n=norm(X-X_exact);
   end
/////////////////////////////////////////
A=[4 3 -1; -1 1 1;1 0 3];
if det(A)~=0
    b=[2;0;-1];
    X=inv(A)*b
else
    disp('Sistemul nu este compatibil determinat.');
end
//////////////////////////////////////////

//Runge Kutta

Metoda Runge-Kutta de ordin 2 pentru ecuații diferențiale de ordin I
function[x,y]=rk2(f1,y0,n,a,b)
clc;
I=[a b];
h=(I(2)-I(1))/n;
x=zeros(n,1);
y=zeros(n,1);
pas=1;
x(pas)=I(1);
y(pas)=y0(1);

while x(pas)<=I(2)
    k1=feval('f1',x(pas),y(pas));
    k2=feval('f1',x(pas)+h,y(pas)+h*k1);
    y(pas+1)=y(pas)+((k1+k2)/2)*h;
    x(pas+1)=x(pas)+h;
    pas=pas+1;
end;

plot(x,y,'y-');



Metoda Runge-Kutta de ordin 2 pentru sistem de ecuații diferențiale

function [x,y,z]=rk2(f,g,y0,n,a,b)
I=[a b];
h=(I(2)-I(1))/n;
x=I(1):h:I(2);
y=[];
z=[];
x(1)=I(1);
y(1)=y0(1);
z(1)=y0(2);
pas=2;

while pas<=length(x)
    k1=feval('f',x(pas-1),y(pas-1),z(pas-1));
    l1=feval('g',x(pas-1),y(pas-1),z(pas-1));
    k2=feval('f',x(pas-1)+h,y(pas-1)+h*k1,z(pas-1)+h*l1);
    l2=feval('g',x(pas-1)+h,y(pas-1)+h*k1,z(pas-1)+h*l1);
    y(pas)=y(pas-1)+((k1+k2)/2)*h;
    z(pas)=z(pas-1)+((l1+l2)/2)*h;
    pas=pas+1;
end;
x
y
z

plot(x,y,'b-',x,z,'r--');



Metoda Runge-Kutta de ordin 3 pentru ecuații diferențiale de ordin I
function [x,y]=rk3(f,y0,n,a,b)
clc;
I=[a b];
h=(I(2)-I(1))/n;
x = zeros(n,1);
y = zeros(n,1);
pas=1;
x(I)=I(1);
y(pas)=y0(1);

while x(pas)<=I(2)
    k1=feval('f',x(pas),y(pas));
    k2=feval('f',x(pas)+0.5*h,y(pas)+0.5*h*k1);
    k3=feval('f',x(pas)+h,y(pas)+2*h*k2-h*k1);
    y(pas+1)=y(pas)+(h*(k1+4*k2+k3))/6;
    x(pas+1)=x(pas)+h;
    pas=pas+1;
end;

plot(x,y,'r-');
Metoda Runge-Kutta de ordin 3 pentru sistem de ecuații diferenţiale

function [x,y,z]=rk3s(g,h,y0,n,a,b)
clc
I=[a b]
h=(I(2)-I(1))/n;
x=I(1):h:I(2);
y=[];
z=[];
x(1)=I(1);
y(1)=y0(1);
z(1)=y0(2);
pas=2;
while pas<=length(x)
    k1=feval('g',x(pas-1),y(pas-1),z(pas-1));
    l1=feval('h',x(pas-1),y(pas-1),z(pas-1));
    k2=feval('g',x(pas-1)+h,y(pas-1)+h*k1,z(pas-1)+h*l1);
    l2=feval('h',x(pas-1)+h,y(pas-1)+h*k1,z(pas-1)+h*l1);
    k3=feval('g',x(pas-1)+h,y(pas-1)+2*h*k2-(h*k1),z(pas-1)+2*h*l2-(h*l1));
    l3=feval('h',x(pas-1)+h,y(pas-1)+2*h*k2-(h*k1),z(pas-1)+2*h*l2-(h*l1));
    y(pas)=y(pas-1)+(h*(k1+4*k2+k3))/6;
    z(pas)=y(pas-1)+(h*(11+4*l2+l3))/6;
    pas=pas+1;
end;
x
y
z
plot(x,y,'b-',x,z,'r--');



Metoda Runge-Kutta de ordin 4 pentru ecuații diferențiale de ordin I
function [x,y]=rk4(f,y0,n,a,b)
clc;
I=[a b]
h=(I(2)-I(1))/n;
x =I(1):h:I(2);
y = [];
x(1)=I(1);
y(1)=y0(1);


for i=1:(length(x)-1)
    k1=feval('f',x(i),y(i));
    k2=feval('f',x(i)+(0.5*h),y(i)+(0.5*h*k1));
    k3=feval('f',x(i)+(0.5*h),y(i)+(0.5*h*k2));
    k4=feval('f',x(i)+h,y(i)+h*k3);
    y(i+1)=y(i)+(h*(k1+2*k2+2*k3+k4))/6;
    x(i+1)=x(i)+h;
end;

plot(x,y,'r-')
Metoda Runge-Kutta de ordin 4 pentru sistem de ecuații diferențiale

function [x,y,z]=rk2(g,h,y0,n,a,b)
clc
I=[a b]
%calculam pasul de integrare
h=(I(2)-I(1))/n;
x=I(1):h:I(2);
y=[];
z=[];
x(1)=I(1);
y(1)=cond(1);
z(1)=cond(2);
pas=2;
while pas<=length(x)
    k1=feval('g',x(pas-1),y(pas-1),z(pas-1));
    l1=feval('h',x(pas-1),y(pas-1),z(pas-1));
    k2=feval('g',x(pas-1)+0.5*h,y(pas-1)+0.5*h*k1,z(pas-1)+0.5*h*l1);
    l2=feval('h',x(pas-1)+0.5*h,y(pas-1)+0.5*h*k1,z(pas-1)+0.5*h*l1);
    k3=feval('g',x(pas-1)+0.5*h,y(pas-1)+0.5*h*k2,z(pas-1)+0.5*h*l2);
    l3=feval('h',x(pas-1)+0.5*h,y(pas-1)+0.5*h*k2,z(pas-1)+0.5*h*l2);
    k4=feval('g',x(pas-1)+h,y(pas-1)+h*k3,z(pas-1)+h*l3);
    l4=feval('h',x(pas-1)+h,y(pas-1)+h*k3,z(pas-1)+h*l3);
    y(pas)=y(pas-1)+(h*(k1+2*k2+2*k3+k4))/6;
    z(pas)=y(pas-1)+(h*(l1+2*l2+2*l3+l4))/6;
    pas=pas+1;
end;
x
y
z
plot(x,y,'b-',x,z,'r--');




Rezolvarea ecuațiilor diferențiale folosind funcțiile „ode23”  și „ode45”
         ode23
% conditia initiala
tic23=tic;
y0=1;
% domeniul (intervalul)
I=[1,2];
% rezolvarea ecuatiei diferentiale
[xval,yval]=ode23('f1',I,y0)
t23=toc(tic23)
% reprezentarea grafica a solutiei
plot(xval,yval)

	ode45
% conditiile initiale
tic45=tic;
y0=[0.1; 1];
% domeniul (intervalul)
I=[0,1];
% rezolvarea ecuatiei diferentiale
[xval,yval]=ode45('f1',I,y0)
t45=toc(tic45)
% reprezentarea grafica a solutiei
plot(xval,yval(:,1),'b',xval,yval(:,2),'r--')
legend('y1','y2')





MetodaRunge-Kutta de ordin 2 pentru ecuații diferențiale de ordin I
function[x,y]=rk2(f1,y0,n,a,b)
clc;
I=[a b];
%calculăm pasul de integrare
h=(I(2)-I(1))/n;

x=zeros(n,1);
y=zeros(n,1);

pas=1;
%începutul invervalului
x(pas)=I(1);
%setăm condiţia iniţială
y(pas)=y0(1);

%folosim metoda Runge-Kutta de ordinul 2
while x(pas)<=I(2)
    k1=feval('f1',x(pas),y(pas));
    k2=feval('f1',x(pas)+h,y(pas)+h*k1);
    y(pas+1)=y(pas)+((k1+k2)/2)*h;
    x(pas+1)=x(pas)+h;
    pas=pas+1;
end;

%reprezentarea grafică a soluţiei
plot(x,y,'y-');

Metod aRunge-Kutta de ordin 3 pentru ecuații diferențiale de ordin I
function [x,y]=rk3(f,y0,n,a,b)
clc;
I=[a b];
%calculăm pasul de integrare
h=(I(2)-I(1))/n;

%alocam spaţiu pentru îmbunătăţirea timpului de execuţie
x = zeros(n,1);
y = zeros(n,1);
pas=1;
%începutul intervalului
x(I)=I(1);
%setarea condiţiei iniţiale
y(pas)=y0(1);

%folosim Runge-Kutta de ordin 3
while x(pas)<=I(2)
    k1=feval('f',x(pas),y(pas));
    k2=feval('f',x(pas)+0.5*h,y(pas)+0.5*h*k1);
    k3=feval('f',x(pas)+h,y(pas)+2*h*k2-h*k1);
    y(pas+1)=y(pas)+(h*(k1+4*k2+k3))/6;
    x(pas+1)=x(pas)+h;
    pas=pas+1;
end;

%reprezentarea grafică
plot(x,y,'r-');

Metoda Runge-Kutta de ordin 4 pentru ecuații diferențiale de ordin I
function [x,y]=rk4(f,y0,n,a,b)
clc;
I=[a b]
%calculăm pasul de integrare
h=(I(2)-I(1))/n;

%alocare spaţiu pentru îmbunătăţirea timpului de execuţie
x =I(1):h:I(2);
y = [];

%începutul intervalului
x(1)=I(1);
%setarea condiţiei iniţiale
y(1)=y0(1);

%folosim Runge-Kutta de ordin 4
for i=1:(length(x)-1)
    k1=feval('f',x(i),y(i));
    k2=feval('f',x(i)+(0.5*h),y(i)+(0.5*h*k1));
    k3=feval('f',x(i)+(0.5*h),y(i)+(0.5*h*k2));
    k4=feval('f',x(i)+h,y(i)+h*k3);
    y(i+1)=y(i)+(h*(k1+2*k2+2*k3+k4))/6;
    x(i+1)=x(i)+h;
end;

%reprezentare grafică
plot(x,y,'r-')