Irena Cieślińska: Co matematycy mogą wiedzieć o epidemii?
- Z perspektywy modelowania najważniejsze dane, na których można się oprzeć, to doniesienia o rosnącej liczbie zidentyfikowanych zakażonych.

Jak koronawirus atakuje nasz organizm

Na ile szybko choroba się rozprzestrzenia, zależy od zakaźliwości samego wirusa i od natury, czy raczej kultury ludzi z danego obszaru – od tego, jak gęsto jest on zaludniony i jakie zwyczaje mają jego mieszkańcy, czy jedzą poza domem, całują się na powitanie, jak daleko stoją od siebie, rozmawiając itd.

Choroba rozprzestrzenia się wtedy, kiedy jeden chory zakaża więcej niż jedną osobę. Łatwo to sobie wyobrazić: jeśli chory zakaża dwóch innych, a każdy z nich zakazi kolejnych dwóch, epidemia szerzy się wykładniczo. Tempo wzrostu zależy jeszcze od okresu inkubacji wirusa, który określa minimalny czas pomiędzy zakażeniem „dawcy” i „biorcy”.

Ponieważ nie możemy zmienić natury samego wirusa, żeby powstrzymać epidemię, musimy ograniczyć liczbę kontaktów międzyludzkich lub szybciej izolować zakażone osoby.
Na jak drastyczne ograniczenia trzeba się zdecydować, żeby odnieść sukces w walce z epidemią?

- Z naszych szacunków wynika, że Chińczycy ograniczyli liczbę kontaktów 30-krotnie. W początkowym okresie w Chinach liczba zidentyfikowanych zakażonych przyrastała o 40 proc. dziennie, czyli podwajała się co dwa dni; 10 dni po wprowadzeniu kwarantanny (23 stycznia) przestała rosnąć.

To były niezwykle surowe zasady, którymi objęto ponad 50 mln ludzi.
- Chińczycy siedzieli w domach przez dwa miesiące, nie chodzili do pracy, jedna osoba z rodziny mogła wyjść raz na dwa-trzy dni, i to tylko po to, żeby zrobić zakupy. Wszyscy w maskach.

Proszę to porównać z tym, co się działo we Włoszech. Tam początkowy przyrost zdiagnozowanych chorych sięgał (od 21 do 28 lutego) 50 proc. dziennie. W efekcie coraz ostrzejszych ograniczeń zaczął maleć i obecnie wynosi poniżej 10 proc. (dane z 22-26 marca), a liczba dziennych przypadków przestała rosnąć.

Matematycznie oznacza to tyle, że Włosi zredukowali średnią liczbę kontaktów ponadsześciokrotnie. Trzeba pamiętać, że kiedy mówimy o zdiagnozowanych chorych, opisujemy tak naprawdę infekcje sprzed trzech-siedmiu dni, a zatem jest prawdopodobne, że wzrost infekcji we Włoszech już wyhamował.

Daleko jednak Włochom do restrykcji przyjętych przez Chińczyków. Cóż, w północnych Włoszech najpierw zamknęli bary, ale... dopiero od godz. 18, teraz ograniczenia są znacznie ostrzejsze, choć nadal nie takie jak w prowincji Wuhan w ciągu ponaddwumiesięcznej kwarantanny.

Nasz model pozwala policzyć, ile razy trzeba ograniczyć liczbę kontaktów, żeby wychodząc z danego wzrostu dziennych zachorowań, doprowadzić do tego, żeby liczba nowych infekcji zaczęła spadać.

Oczywiście to nie nastąpi natychmiast. Ponieważ czas inkubacji wirusa wynosi około pięciu dni, to na efekt kwarantanny trzeba poczekać około dziesięciu dni. Po pierwsze dlatego, że jako chore ujawniają się osoby zakażone trzy-siedem dni przed wprowadzeniem ograniczeń, a po drugie, jeśli ktoś podlega kwarantannie, to nadal może zakazić pozostałych domowników, więc jedną rundę przekazywania infekcji można zrobić w domu.

Co możemy stwierdzić, kiedy przyłożymy ten model do sytuacji w Polsce?
- Przede wszystkim widać, że w niemal wszystkich krajach europejskich i w Ameryce choroba rozwija się mniej więcej z podobną dynamiką. W Polsce początek jest łagodniejszy, tempo przyrostu chorych jest nieznacznie mniejsze, ale też przyjęte przez nas dotychczasowe ograniczenia nie spowodują, że epidemia się zatrzyma. Będziemy więc prawdopodobnie podążali podobną trajektorią jak Włosi.

A czy ten nasz łagodniejszy, jak to pan ujmuje, początek nie wynika aby z tego, że nie doszacowujemy liczby nowych zakażeń? Mówiąc wprost – wykonujemy ciągle dość mało testów, żeby wykryć wszystkich chorych?

- Dla modelu to nie ma wielkiego znaczenia. To, czego potrzebujemy do naszych obliczeń, to nie tyle sama liczba zakażonych, ile tempo powiększania się tej liczby. Z naszego modelu wynika, że jeśli w fazie wzrostu epidemii jedna osoba zakaża średnio 10 osób, to liczba niezidentyfikowanych przypadków dziewięciokrotnie przekracza liczbę tych mających objawy lub będących po przejściu choroby.

Słowem, to, co wykrywamy, to jest tylko wierzchołek góry lodowej. Ale ten wierzchołek przyrasta w takim samym tempie jak sama góra.
W modelach epidemiologicznych kluczową wielkością jest bazowa liczba reprodukcyjna mówiąca o średniej liczbie osób, które zakaziły się od jednej zainfekowanej osoby. Zależy ona od wirusa, ale też jest tym większa, im więcej kontaktów utrzymuje dana społeczność, i tym mniejsza, im szybciej zakażone osoby poddawane są kwarantannie. I ten drugi czynnik zależy oczywiście od liczby robionych testów.

Więc jak się zacznie robić więcej testów, to faktycznie uda się odizolować dużo osób, ale też dzięki tej izolacji wzrost zachorowań wyhamuje.
Niemożliwa jest jednak sytuacja, w której w dłuższym czasie mamy powolny wzrost zachorowań i bardzo dużo niezidentyfikowanych przypadków.

Czy opierając się na waszym modelu, można stwierdzić, ile jeszcze czasu potrwa pandemia i ile osób zostanie zakażonych?

- Europa patrzy na historię epidemii w Chinach i dochodzi do wniosku, że „u nas skończy się to tak samo”. Ale przecież restrykcje wprowadzone w Chinach były nieporównywalnie ostrzejsze.

Restrykcje w Europie spowalniają wzrost, ale są niewystarczające, aby epidemię zatrzymać, a tym bardziej doprowadzić do znaczącego spadku liczby dziennych zachorowań.
Od stanu, w którym liczba dziennych przypadków nie rośnie, do stanu, w którym spada o 10 proc. dziennie (tak jak spadała w Chinach od 3 lutego przez miesiąc), daleka droga – z naszych wyliczeń wynika, że trzeba jeszcze ograniczyć kontakty trzykrotnie!

Wygląda na to, że w Europie sytuacja wymknęła się spod kontroli. Jest za późno. Cokolwiek by zrobić, w Europie (mniej ludnej niż Chiny) liczba przypadków przekroczy kilka milionów. I nawet jeśli wprowadzi się drastyczną kwarantannę, trzeba będzie ją bardzo długo utrzymywać, prowadząc wspólną europejską politykę, aż epidemia wycofa się na tyle, by można było rozluźnić zakazy (w Chinach część z nich jeszcze obowiązuje).

Skoro zatrzymanie epidemii nie jest możliwe, może wystarczy łagodzić jej postępy?

- Takie rozważania pojawiły się ostatnio w debacie publicznej: że należy łagodzić epidemię tak, by szczyt zachorowań nie przekraczał wydolności służby zdrowia. To jest naszym zdaniem zupełnie nierealistyczne.

Policzyliśmy to dla 50-milionowego kraju. Gdyby liczba nowych zakażeń przyrastała w tempie 10 proc. dziennie, w szczycie epidemii należałoby się spodziewać miliona nowych przypadków jednego dnia! A w bardziej optymistycznym wariancie wypłaszczenia, gdy przyrost wynosi zaledwie 5 proc. – w czasie szczytu będzie dziennie do 300 tys. nowych chorych.

To jest całkowicie poza możliwościami jakiejkolwiek służby zdrowia. Przy czym należy pamiętać, że wyhamowywanie epidemii odsuwa też moment, w którym szczyt przychodzi. I jeśli chcemy się nastawić na ten wolniejszy wzrost, to na szczyt epidemii czekać trzeba by osiem miesięcy. Ale żeby taki wolny, pięcioprocentowy wzrost utrzymać, przez cały czas trwać musi kwarantanna.

Osiem miesięcy kwarantanny, tak?

- Tak, osiem miesięcy ograniczeń porównywalnych do tych, które są aktualnie we Włoszech, gdzie tempo wzrostu spadło poniżej 10 proc. Możemy też się starać  przewidzieć, ilu ludzi będzie zakażonych w najgorszym tygodniu i w najgorszym miesiącu, sumarycznie. Przy wzroście 10-proc. jest to połowa społeczeństwa.

Jak na dłoni widać, że nie stoimy przed wyborem, czy nasza służba zdrowia temu podoła, czy nie. Widać, że to jest nie do ogarnięcia.
Ale te modele, o których w tej chwili rozmawiamy, nie biorą pod uwagę pewnego ważnego dla ludzkich społeczeństw czynnika, mianowicie czynnika strachu.

Strachu?

- Zaproponowaliśmy takie dwa scenariusze, w których uwzględniamy to, że ludzie w pewnym momencie niezależnie od zakazów zaczynają się też po prostu bać. Bo na początku, kiedy zakażeń jest mało, są tacy, którzy myślą sobie: „Cóż, szansa, że coś mi się stanie, jeśli wyskoczę z kolegami na piwo, jest żadna”. I idą na to piwo, co powoduje wykładniczy wzrost epidemii. Ale od pewnego momentu, gdy widzą, że tu i tam ktoś umiera, stwierdzają: „Kurczę, robi się faktycznie niebezpiecznie, trzeba siedzieć w domu albo przynajmniej kontaktować się tylko z dwoma osobami, i to na Skypie”.

Przyjęliśmy zatem, że istnieje pewna liczba dziennych zachorowań H, przy której dobrowolnie ograniczamy kontakty dwukrotnie.

Model strachu sprawdza się we Włoszech?

- Przyjęliśmy w poglądowej symulacji, że H = 10 tys. Na razie nowych zachorowań dziennie jest tam jeszcze ciągle mniej, około 5 tys. Ale może już Włosi zaczynają się trochę bać, ulice na webkamerach wydają się opustoszałe.

Nie znam też dobrze Włochów, choć dwoje pracuje w moim laboratorium. Mój znajomy Franco, który mieszka w małej miejscowości w prowincji Emilia-Romania, w czasie gdy kwarantanna była już niby-ścisła, pojechał kupić sobie płyn do e-papierosa. Zatrzymali go na blokadzie i wtedy Franco stwierdził, że jeśli się przyzna, po co naprawdę jedzie, to go nie puszczą, bo to nie jest żaden poważny powód, a w dodatku w takiej sytuacji najlepiej jest przestać palić. Powiedział więc, że jedzie po dobrą rybę, bo w sklepie obok żadnej porządnej nie można kupić, więc konieczna jest wyprawa do portu. No to go puścili.

Oczywiście to, kiedy ludzie zaczynają się bać, zależy od kraju. Są takie, w których akceptuje się większe ryzyko. Liczba zabójstw w Brazylii jest w przeliczeniu na mieszkańca przynajmniej 50 razy wyższa niż w Polsce. Gdybyśmy w Polsce nagle osiągnęli taki poziom, tobyśmy przestali wychodzić z domu. A Brazylijczycy wychodzą.

Patrzę na wasze symulacje i widzę, że liczba dziennych zachorowań się stabilizuje, a potem wolno opada w ciągu kilku lat. Jakoś nie potrafię sobie wyobrazić pięciu lat strachu i zamknięcia w domu.

- Chciałbym zastrzec, że to nie jest coś, co proponuję. To jest z naszej strony tylko próba zrozumienia i opisania tego, co się dzieje i może się stać. I proszę zauważyć, że to wcale nie jest sytuacja beznadziejna w tym sensie, że przy uwzględnieniu czynnika strachu nie mamy już do czynienia z milionem nowych chorych dziennie, tylko z 20 tys. A po jakimś czasie ludzie przechodzą przez chorobę i stają się odporni, stąd ten wolny spadek liczby zachorowań.

Ale i tak służby medyczne nie są w stanie sobie z tym poradzić w żaden sposób.
- A jak może być inaczej? W Polsce mamy 38 mln ludzi, jeśli połowa miałaby zachorować, a dziennie zakażałoby się 50 tys. ludzi, to trwałoby to trochę ponad rok. Zatem nawet gdyby rozciągnąć epidemię na cały rok, to wciąż jest to poza możliwościami służby zdrowia. Jak spłaszczymy szczyt epidemii do 10 tys. przypadków dziennie, to z kolei rozciągniemy stan epidemiczny wymagający kwarantanny na pięć lat! Jest jednak duża szansa, że w tym czasie zostanie wymyślona i rozpowszechniona szczepionka.

Pięciu lat to ja w zamknięciu na pewno nie wytrzymam.

- To też biorą pod uwagę nasze modele! Można sobie powiedzieć tak: ludzie się przestraszyli i przestali wychodzić. Ale siedzą w domu miesiąc, drugi, trzeci i mówią: „Jest beznadziejnie, ale nie wygląda, żeby cokolwiek miało się zmienić, a jakoś trzeba żyć i zarabiać!”. Innymi słowy, zagrożenie powszednieje.

Z jednej strony mamy więc czynnik strachu, a z drugiej - ludzie zaczynają akceptować coraz wyższy poziom ryzyka. Tak było z hiszpanką i to prowadziło do kolejnych fal epidemii. Już się wydawało, że przygasa, ludzie się ośmielali, zaczynali mieć więcej kontaktów i epidemia wracała. I tak to trwało dwa lata, póki znaczna część populacji jej nie przechorowała i się nie uodporniła.

Dlatego najbardziej prawdopodobny scenariusz jest taki, że strach powstrzyma tempo epidemii, ale będzie ona nawracać falami po tym, jak ludzie i rządy będą się oswajać z ryzykiem. Młodzi ludzie, którzy mają najwięcej kontaktów, będą też najbardziej skłonni do podejmowania ryzyka, co dodatkowo uodporni populację, bo ci, którzy potencjalnie mogą przekazać wirusa największej liczbie znajomych, po przechorowaniu staną się odporni.

Prawdę mówiąc, umawiając się na tę rozmowę, liczyłam, że usłyszę coś optymistycznego.
- Może powinniśmy spojrzeć na to z innej perspektywy. Z danych włoskich można aktualnie obliczyć, że śmiertelność wynosi 10 proc. (na dzień 26 marca - 8 tys. śmierci na 80 tys. przypadków), ale prawdopodobnie liczba zakażeń jest znacznie większa (co zmniejsza rzeczywistą śmiertelność), tylko część ludzi albo wcale nie ma objawów, albo ma, ale niezagrażające życiu, i po paru próbach rezygnuje z dzwonienia do szpitala.

Te osoby po przejściu choroby nabywają odporność, co przyczynia się do spowolnienia epidemii. Nikt nie wie zatem, jaka część populacji umrze, ale prawdopodobnie dużo mniej niż 10 proc.

Jeśli w ciągu dwóch lat epidemii z powodu koronawirusa umrze 2 proc. populacji, będzie to oznaczało podwojenie całkowitej śmiertelności, bo w większości krajów europejskich po prostu ze starości umiera prawie 1 proc. populacji rocznie (w Polsce w zeszłym roku 405 tys.). Zatem w czasie epidemii zgonów może być dwa razy więcej niż normalnie.

To jest oczywiście straszne, ale to jeszcze nie jest zapaść demograficzna. Chociaż przy takim poziomie zachorowań służba zdrowia byłaby sparaliżowana i jedyne, co byłaby pewnie w stanie robić, to wystawiać akty zgonu.

Najwyraźniej jesteśmy diametralnie odmienni w ocenie tego, czym jest optymizm! Odniosłam wrażenie, że prognozy innych zespołów nie są tak przygnębiające jak wasza.

- Różnica między naszymi symulacjami a wieloma innymi, które zebrane są na stronie Gabgoh.github.io/COVID/index.html, gdzie jest kalkulator pozwalający symulować rozwój epidemii przy różnych parametrach, jest taka, że my nieco inaczej i moim zdaniem bardziej realistycznie modelujemy rozkład czasu inkubacji wirusa, po którym zakażona osoba sama może zakażać innych.

Wszyscy są zgodni, że to zajmuje jakieś pięć dni.

- To prawda. Ale to, z czego ludzie nie do końca zdają sobie sprawę, to to, że dynamika epidemii bardzo silnie zależy od rozkładu tego czasu. Nie jest tak, że wszyscy zaczynają zakażać piątego dnia. Niektórzy zaczynają zakażać trzeciego dnia, inni po tygodniu. I ważne jest zarówno uwzględnienie średniej wartości czasu inkubacji, jak i jego rozkładu. Przyjęliśmy taki rozkład, dla którego nie ma prawie zupełnie szans, że ktoś przekaże wirusa w ciągu pierwszych dwóch dni po zakażeniu.

To się wydaje zgodne z danymi epidemiologicznymi. Inne modele na skutek pewnego uproszczenia dopuszczają możliwość niemal natychmiastowego zakażenia i to zmienia dynamikę epidemii. W rezultacie z tych samych danych epidemiologicznych my otrzymujemy dwukrotnie wyższe oszacowanie liczby ludzi zakażanych przez jednego chorego.

Pamiętam – to jest bazowa liczba reprodukcyjna. Gdy jest większa niż jeden – liczba chorych rośnie. Mniejsza niż jeden – epidemia wygasa.

- Otóż to. Wiedząc, ile osób zakaża jeden chory, można oszacować, jak mocno trzeba ograniczyć kontakty międzyludzkie, żeby ten wskaźnik spadł poniżej jedności. Z naszych szacunków wynika, że dla swobodnie rozwijającej się epidemii, czyli gdy liczba zachorowań rośnie o 40 proc. dziennie, tj. podwaja się co dwa dni, liczba reprodukcyjna jest bliska 10.

W Polsce w ciągu ostatniego tygodnia (19-26 marca) liczba zachorowań wzrosła z 355 do 1221, co oznacza średnie tempo wzrostu 23 proc. dziennie i daje aktualny współczynnik reprodukcji ok. czterech. Przy czym aktualny, to znaczy trzy-siedem dni temu, gdy zakażane były osoby, które dziś mają objawy.

Oznacza to konieczność dalszej kilkukrotnej redukcji kontaktów w celu powstrzymania epidemii i jeszcze większej redukcji, aby ją wygasić. Czyli w tym sensie faktycznie nasza prognoza jest mniej optymistyczna.

Ale może się okazać bardziej realistyczna.

- Wartość podstawowej liczby reprodukcyjnej to kluczowa informacja dla władz wskazująca, jak drastyczne środki trzeba podjąć. W Polsce naukowcy mają trudność z dotarciem do rządzących, ale Polska kopiuje to, co robią inni.

W Anglii czy Niemczech specjaliści od epidemiologii mają większy wpływ na to, co robi władza. I jeśli ci specjaliści są przekonani, że wystarczy obniżyć liczbę kontaktów pięciokrotnie, to proponują tylko takie środki, żeby to osiągnąć, jako że bardziej drastyczne są zabójcze dla gospodarki.

Zatem nie wykluczałbym, że ograniczenia, które wprowadzili Włosi, a które za nimi zastosowała Europa, były zbyt łagodne właśnie dlatego, że błędnie wyliczono podstawową liczbę reprodukcyjną.

Nie możemy oczekiwać, że przebieg pandemii będzie u nas taki jak w Chinach, nie podejmując równie drastycznych środków, jakie podjęły Chiny. To jest myślenie magiczne. Ale sam mam trochę nadziei, że nie mam racji.