\section{EDP de Black-Scholes}


\subsection{Différences finies explicites}

On part de l'équation aux dérivées partielles du sujet:

\begin{equation*}
    \frac{\partial P}{\partial t} + rS\frac{\partial P}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2\frac{\partial^2 P}{\partial S^2} = rP
\end{equation*}

On utilise ensuite les formules de discrétisation données dans l'énoncé:

\begin{align*}
    \frac{\partial P}{\partial t} (t_n,s_i) &\approx \frac{1}{\Delta T} (P(t_{n+1},s_i) - P(t_n,s_i)) \\
    \frac{\partial P}{\partial S} (t_n,s_i) &\approx \frac{1}{\Delta S} (P(t_n,s_i) - P(t_n,s_{i-1})) \\
    \frac{\partial^2 P}{\partial S^2} (t_n,s_i) &\approx \frac{1}{\Delta S^2}(P(t_n,s_{i+1}) - 2P(t_n,s_i) + P(t_n,s_i-1))
\end{align*}




En remplaçant dans l'équation différentielle on obtient:

\[ \frac{-1}{\Delta T}P(t_{n+1}, s_i) = P(t_n, s_i)(- r - \frac{1}{\Delta T} + \frac{rS_i}{\Delta S} - \frac{\sigma^2S_i^2}{\Delta S^2})
+P(t_n, s_{i-1})(-\frac{rS_i}{\Delta S} + \frac{\sigma^2S_i^2}{2\Delta S^2})
+P(t_n, s_{i+1})(\frac{\sigma^2 S_i^2}{2\Delta S^2})
\]

On note:

\begin{equation*}
    {\left\{
    \begin{aligned}
        a_i &= (- r - \frac{1}{\Delta T} + \frac{rS_i}{\Delta S} - \frac{\sigma^2S_i^2}{\Delta S^2}) \\
        b_i &= (-\frac{rS_i}{\Delta S} + \frac{\sigma^2S_i^2}{2\Delta S^2}) \\
        c_i &= (\frac{\sigma^2 S_i^2}{2\Delta S^2})
    \end{aligned}
    \right.}
\end{equation*}

On transforme cette équation en équation vectorielle. Il faut pour celà gérer les cas particulierrs où $i=1$ et $i=M$:


\begin{equation*}
    \begin{aligned}
        &\frac{-1}{\Delta T}P(t_{n+1}, s_1) = a_1P(t_n, s_1)+b_1P(t_n, s_0) +c_1P(t_n, s_2) \\
        &\frac{-1}{\Delta T}P(t_{n+1}, s_M) = a_MP(t_n, s_M)+b_MP(t_n, s_{M-1})+c_MP(t_n, s_{M+1})
    \end{aligned}
\end{equation*}

Celà nous permet de déterminer l'équation vectorielle suivante:

\[P_{t_{n+1}} = -\Delta T ( M . P_{t_n} + V)\]

Avec:
\[
M=
    \left(
    \begin{array}{ccccc}
    a_1&c_1&0&\dots&0
    \\b_2&a_2&c_2&\ddots&\vdots\\
    0& \ddots&\ddots &\ddots&0\\
    \vdots& \ddots &b_{M-1}& a_{M-1}&c_{M-1}\\
    0&\dots&0&b_M & a_M
    \end{array}
    \right)
\]

\[
P_{t_n}=
    \left(
    \begin{array}{lll}
        P(t_n,s_1) \\ \vdots \\ P(t_n,s_M)
    \end{array}
    \right)
\]

et

\[
V=
\left(
    \begin{array}{lllll}
        b_1P(t_n,s_0)\\0 \\ \vdots \\ 0 \\ c_mP(t_n,s_{M+1})
    \end{array}
    \right)
\]

Au final on a:

\[\boxed{P_{t_n} = M^{-1}((\frac{-1}{\Delta T})P_{t_{n+1}} - V)}\]


\subsection{Différences finies implicites}

Cette fois on remplace:

    \[\frac{\partial P}{\partial t} (t_n,s_i) \approx \frac{1}{\Delta T} (P(t_n,s_i) - P(t_{n-1},s_i))\]

En repartant de l'équation aux dérivées partielles de l'énoncé comme précédemment on obtient:

\[ \frac{1}{\Delta T}P(t_{n-1}, s_i) = P(t_n, s_i)(- r + \frac{1}{\Delta T} + \frac{rS_i}{\Delta S} - \frac{\sigma^2S_i^2}{\Delta S^2})
+P(t_n, s_{i-1})(-\frac{rS_i}{\Delta S} + \frac{\sigma^2S_i^2}{2\Delta S^2})
+P(t_n, s_{i+1})(\frac{\sigma^2 S_i^2}{2\Delta S^2})
\]

Les coefficient $b_i$ et $c_i$ sont inchangés mais on a maintenant:

\[\boxed{a_i = (- r + \frac{1}{\Delta T} + \frac{rS_i}{\Delta S} - \frac{\sigma^2S_i^2}{\Delta S^2})}\]

L'équation vectorielle que l'on obtient est alors avec les mêmes notations que précédemment:

\[\boxed{P_{t_{n-1}} = \Delta T ( M . P_{t_n} + V)}\]