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Gem"aß der Voraussetzung in (a) müssen $({G}_{1},*)$ und $({G}_{2},*)$ beliebige Gruppen sein. Hingegen ist ($\mathbb{R}\times \mathbb{R},*)$ mit\\ $({x}_{1},{x}_{2})*({y}_{1},{y}_{2}):= ({x}_{1}{y}_{1},{x}_{2}{y}_{2})$ keine Gruppe, da kein inverses Element existiert.\\
Beispiel:
Wir setzen voraus, dass Assoziativität und Abgeschlossenheit gegeben sind. \\
Neutrales Element:
	$$({x}_{1},{x}_{2})*(n,n)\; und \;(n,n)*({x}_{1},{x}_{2}) = (1,1) $$
	$$(n,n) = (1,1)$$
	Inverses Element:
	$$({x}_{1},{x}_{2})*\overline{({x}_{1},{x}_{2})} \; und \; \overline{({x}_{1},{x}_{2})}*({x}_{1},{x}_{2})=(n,n)$$
	Bei:
	$$({x}_{1} = 0,{x}_{1} = 0) \; und \;({y}_{2} = 1,{y}_{2} = 1)$$
	entsteht für das inverse Element (0,0) anstelle von (1,1). Daher ist es keine Gruppe.
\\ Daher stehen G1(c) und H2(a) nicht im Widerspruch.

\section{}
\begin{labeling}[]{a)   }
	\item[a)   ]Nach Definition ist eine Gruppe assoziativ. \\
	Die bedeutet das neutrale Element: $$ \tilde{e}*\tilde{a} = \tilde{a}*\tilde{e} = \tilde{a}$$ \\
	Somit ist gegeben, dass das neutrale Element auch ein linksneutrales Element ist.\\
	Genauso ist gegeben, dass das inverse Element assoziativ ist. $$ \tilde{a} * \tilde{\bar{a}} = \tilde{\bar{a}}*\tilde{a} = \tilde{e}$$
	Damit ist gezeigt, dass das inverse Element, ebenfalls assoziativ ist und somit auch ein linksinverses Element ist.
	\item[b)   ] Erf"ulle eine beliebige Gruppe $(G,*)$ die Axiome einer schwachen Gruppe, dann gibt es zu einem beliebigen $Element\; a \in G$ ein beliebiges linksinverses $Element \; b \in G$, zu dem es wiederum ein linksinverses $Element \; c \in G$ gibt. Daher gilt:$$ a*b=e*(a*b)=(c*b)*(a*b)=c*((b*a)*b)=c*(e*b)=c*b=e$$ Daher ist $b$ auch ein rechtsinverses $Element$ zu $a$.//
	Analog dazu gilt das rechtsneutrale $Element \; e$
	$$a*e=a*(b*a)=(a*b)*a=e*a=a$$
	Daraus folgt, dass die schwache Gruppe $(G,*)$ auch eine Gruppe ist.

\end{labeling}