half_cycle_model

% 质点离开竖直光滑半圆轨道的轨迹
% 如运行有问题，建议使用R2020a或较新版本
% R2016a或较旧版本请将微分方程函数、事件函数单独存为脚本函数
% 如需转载此脚本请注明出处：
% @YBH、ssrs@bilibili - https://space.bilibili.com/9943102
clc;clear
close all
path=char('.\pic_seqs\');% 生成的图片序列所在文件夹
if exist(path,'dir')==7
    rmdir(path,'s')% 删除旧文件
end
mkdir(path)
dpi=1.25;% 系统缩放125%
scr=[1920 1080];% 屏幕分辨率
res=[1280 720];% 图像分辨率
R=1;%轨道半径
L=4*R;%水平轨长
g=10;%重力加速度
vu=sqrt(g*R);%单位速度
tu=sqrt(R/g);%单位时间
T=100*tu;%模拟时间上限
%半圆轨道
tht=-0.5*pi:0.01:0.5*pi;
xc=R*cos(tht);yc=R+R*sin(tht);
%圆轨道
tht=-pi:0.01:pi;
xo=R*cos(tht);yo=R+R*sin(tht);
% 此脚本目的为生成演示动画，
% 常见视频分辨率为1920x1080或1280x720等等
% 一个像素点以下的误差几乎不能察觉,故精度在1e-3即可
% 考虑到误差积累,保守起见至少设为1e-4 /
% 实测至少x_0=0 --> 1e-5;x_0=-L --> 1e-6
odest=odeset('RelTol',1e-7,'AbsTol',1e-7,'NormControl','on',...
    'MaxStep',tu*1e-2,'InitialStep',tu*1e-2,...
    'Stats','off','Events',@(t,y) luodi_evns(t,y,R));
v1=sqrt(2);%恰好到达圆轨道半高的速度
v2=sqrt(5);%恰好经过圆轨道顶点的速度
v3=sqrt(7/2);%恰好落在圆轨道底部的速度
% 恰好通过最高点轨迹
v=v2*vu;
[~,yd] = ode45(@(t,y) half_c(t,y,g,R),[0 T],[0 0 -0.5*pi v v 0]',odest);
% 恰好落至圆轨道底部轨迹
v=v3*vu;
[~,yb] = ode45(@(t,y) half_c(t,y,g,R),...
    [0 T],[0 0 -0.5*pi v v 0]',odest);
sizem=0;tmax=0;
N1=1;N=16;%小球个数
% 微分方程数值计算
for ii=N1:N
    v0=sqrt(ii/2)*vu;%初速度
    eval(['[t,y',num2str(ii),']',...
        ' = ode45(@(t,y) half_c(t,y,g,R),',...
        '[0 T],[0 0 -0.5*pi v0 v0 0]'',odest);']);
    eval(['t',num2str(ii), ' = t;']);
    tmax=max(tmax,max(t));%终止模拟时间
    sizem=max(sizem,size(t,1));%最大数组长度
end
% 最大数组不一定对应最大时间!!!
% 数组填充对齐/与最大的数组对齐
tmaxp=tmax*1.1;sizemp=fix(1.1*sizem);
for ii=N1:N
    % 计算每个size(y_ii,1)=sizei
    eval(['sizei=size(y',num2str(ii),',1);']);
    % 计算每个max(t_ii)=tim
    eval(['tim=max(t',num2str(ii),');']);
    % t对齐t-->tf / 线性填充
    eval(['tf',num2str(ii),'=[t',num2str(ii),...
        '(1:sizei-1);linspace(tim,tmaxp,sizemp-sizei+1)''];']);
    % y对齐y-->yf / 拖尾填充
    eval(['yf',num2str(ii),'=[y',num2str(ii),...
        ';zeros(sizemp-sizei,6)+y',num2str(ii),'(sizei,:)];']);
end
% 按基准时间线插值
fps=120;%帧率
frames=fix(fps*tmaxp);%总帧数
ti=linspace(0,tmaxp,frames)';% 等间隔的基准时间线
% yi=interp1(tf,yf,ti)
for ii=N1:N
    eval(['yi',num2str(ii),'=interp1(tf',num2str(ii),...
        ',yf',num2str(ii),',ti,''linear'');']);
end
% 模型绘图
for n=1:frames
    %半圆轨道
    plot(xc,yc,'Color','k','LineWidth',4)
    hold on
    axis equal
    axis tight
%     axis off
    % 圆轨道
    plot(xo,yo,'-.','Color','k','LineWidth',0.5)
    %水平轨道
    line([-L 0],[0 0],'linestyle','-','Color','k','LineWidth',4)
    % 小球位置及运动轨迹
    for kk=N:-1:N1
        eval(['plot(yi',num2str(kk),'(n,1),yi',num2str(kk),...
            '(n,2),''.'',''markersize'',40)'])% 小球位置
        eval(['plot(yi',num2str(kk),'(1:n,1),yi',num2str(kk),...
            '(1:n,2),''-'',''LineWidth'',2)'])% 小球轨迹
    end
    % 恰好通过最高点轨迹
    pd=plot(yd(:,1),yd(:,2),...
        '--','Color','#444444','LineWidth',1.5);
    % 恰好落至圆轨道底部轨迹
    pb=plot(yb(:,1),yb(:,2),...
        '-','Color','#444444','LineWidth',1);
    legend([pd,pb],{'恰好通过最高点轨迹','恰好落至圆轨道底部轨迹'},...
        'FontSize',16,'FontName','黑体','Location','northwest');
    legend('boxoff')
    hold off
    set(gcf,'Color','w');% 设置白色背景
    fig=gcf;
    fig.Units = 'pixel';
    fig.Position = [(scr-res)/2,res]/dpi;% 居中显示
    m(n)=getframe(fig);% 获取当前图像
    imwrite(m(n).cdata,[path,num2str(n),'.png']);% 保存图像为png
end
% 微分方程
function dydt = half_c(~,y,g,R)
a=y(4)^2/R;% 向心加速度
if y(2)==0 && y(1)<0
    dx=y(4);
    dy=0;
    dtheta=0;
    dv=0;
    dvx=0;
    dvy=0;
else
    if y(1)>=0 && g*sin(y(3))<a
        dx=-y(4)*sin(y(3));
        dy=y(4)*cos(y(3));
        dtheta=y(4)/R;
        dv=-g*cos(y(3));
        dvx=-a*cos(y(3))-dv*sin(y(3));
        dvy=-a*sin(y(3))+dv*cos(y(3));
    else
        dx=y(5);
        dy=y(6);
        dtheta=0;%记录脱离时角度,同dv=0
        dv=0;%不再计算v,v保持脱离时的速度,同dtheta=0
        dvx=0;
        dvy=-g;
    end
end
dydt=[dx dy dtheta dv dvx dvy]';% 需为列向量
end
% 事件函数
function [position,isterminal,direction] = luodi_evns(~,y,R)
if y(1)>0 && y(2)<R && y(3)>0
    position = y(2)+sqrt(R^2-y(1)^2)-R;% 落在圆轨道
else
    position = y(2);% 落回水平面
end
isterminal = 1;
direction = -1;
end