<form name="sentMessage" id="contactForm" class="form" novalidate>
  <div class="row">
    <div class="col-xs-6 col-md-6 form-group">
      <input type="text" id="name" class="form-control" placeholder="Nombre" required="required">
      <p class="help-block text-danger"></p>
    </div>
    <div class="col-xs-6 col-md-6 form-group">
      <input type="email" id="email" class="form-control" placeholder="Email" required="required">
      <p class="help-block text-danger"></p>
    </div>
  </div>
  <div class="form-group">
    <textarea name="message" id="message" class="form-control" rows="5" placeholder="Escriba su comentario o sugerencia." required></textarea>
    <p class="help-block text-danger"></p>
  </div>
  <div id="success"></div>
  <button class="btn btn btn-lg" type="submit">Enviar Mensaje</button>
</form>

<form action="mailto:mi@email.com" enctype="text/plain" name="sentMessage"  id="contactForm" class="form" novalidate>

   <!-- Resto de código -->
</form>

<form action="https://formspree.io/mi@email.com">
    <input type="text" name="name">
    <input type="email" name="_replyto">
    <input type="submit" value="Send">
</form>

<?php
$to      = 'mi@email.com';
$subject = 'Mi formulario';

$name    = $_POST['name'];     // name="name"
$email   = $_POST['email'];    // name="email"
$message = $_POST['message'];  // name="message"

// Aquí compones el cuerpo del mail
$bodyMail  = "Haz recibido un email de {$name}".PHP_EOL;
$bodyMail .= "El mensaje es:".PHP_EOL;
$bodyMail .= $message;

// Configurar Content-type
$headers  = 'MIME-Version: 1.0'.PHP_EOL;
$headers .= 'Content-type:text/html;charset=UTF-8'.PHP_EOL;

// Enviado desde el email del usuario
$headers .= 'From: '.$email.PHP_EOL;

// Adicional
$headers .= 'Cc:   <ejemplo@email.com>'.PHP_EOL;
$headers .= 'Bcc:  <ejemplo@email.com>'.PHP_EOL;

// Enviar email
if ( mail($to, $subject, $bodyMail, $headers) ) {

    $mensaje = 'Email se ha enviado con éxito.';
}
else {

    $mensaje = 'Fallo al enviar el Email.';
}

<-- incluimos los atributos action y method -->
<form action="enviar.php" method="post" name="sentMessage"  id="contactForm" class="form" novalidate>

      <-- incluimos el atributo name -->
      <input type="text" id="name" name="name" class="form-control" placeholder="Nombre" required="required">

      ....

      <-- incluimos el atributo name -->
      <input type="email" id="email" name="email" class="form-control" placeholder="Email" required="required">

    ....

    <textarea name="message" id="message" class="form-control" rows="5" placeholder="Escriba su comentario o sugerencia." required></textarea>
    ....
</form>