documentclass{book}
usepackage{fullpage}
usepackage[top=2cm, bottom=4.5cm, left=2.5cm, right=2.5cm]{geometry}
usepackage{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb,amscd}
usepackage{lastpage}
usepackage{enumerate}
usepackage{fancyhdr}
usepackage{mathrsfs}
usepackage{mathrsfs}
usepackage{cancel}
usepackage{xcolor}
usepackage{graphicx}
usepackage{pgf,tikz,pgfplots}
 usepackage{varwidth}
usepackage{listings}
usepackage{pstricks-add}
usepackage{hyperref}
usepackage[T1]{fontenc}
usepackage[utf8]{inputenc}
usepackage{tikz,lmodern}
usepackage[most]{tcolorbox}
defcheckmark{tikzfill[scale=0.4](0,.35) -- (.25,0) -- (1,.7) -- (.25,.15) -- cycle;}
definecolor{anti-flashwhite}{rgb}{0.95, 0.95, 0.96}
definecolor{antiquewhite}{rgb}{0.98, 0.92, 0.84}
definecolor{beige}{rgb}{0.96, 0.96, 0.86}
definecolor{burlywood}{rgb}{0.87, 0.72, 0.53}
definecolor{capri}{rgb}{0.0, 0.75, 1.0}
begin{document}

pagecolor{beige}
begin{tcolorbox}[enhanced,title=Nombres Rationnels,attach boxed title to top center=
{yshift=-tcboxedtitleheight/2},boxed title style={size=small,colback=burlywood}]

Les nombres rationnels sont les nombres de la forme $r=dfrac{a}{b}$ où est $ainmathbb{Z}$ et $binmathbb{N}^*$. Il existe une infinité de manière d'écrire un nombre rationnel, par exemple:
\
$dfrac12=dfrac24=dfrac48=cdots$ Cependant, on conviendra d'identifier un rationnel $r$ par son représentant irréductible correspondant à la fraction irréductible $dfrac{a}{b}$.
\

Un nombre $r$ est un rationnel si et seulement si sa partie décimale est finie ou illimitée et périodique.\
Par exemple: $0.25; , 0.6666cdots;, 1.313131cdots$ sont des rationels.
En effet:\
$0.25=dfrac{25}{100}=dfrac{25}{25times4}=dfrac{1}{4}$.
\
de même si $x=0.666cdots$ alors $10x=6.666cdots=6+0.666cdots$ de sorte que: $10x=6+x$ et donc $9x=6$ ou plus simplement $x=dfrac23inmathbb{Q}$
\
boxed{textbf{Exercice}}: Ecris $1.313131cdots$ sous sa forme irréductible.
end{tcolorbox}

begin{tcolorbox}[enhanced,title=Propriétés de Nombres Réels ,attach boxed title to top center=
{yshift=-tcboxedtitleheight/2},boxed title style={size=small,colback=burlywood}]

checkmarkquad Si $a$ et $b$ sont deux nombres réels alors $ab=0$ est équivalent à $a=0$ ou $b=0$.
\Par exemple si $(2x-1)(x-pi)=0$ alors $2x-1=0$ ou bien $x-pi=0$,
\soit: $x=dfrac12$ ou bien $x=pi$.
\
Si $a,b,c$ et $d$ sont quatre réels tels que $b$ et $d$ soient non nuls alors:\
checkmarkquad $dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}$ est équivalent à $ad=bc$\
checkmarkquad $dfrac{a}{b}+dfrac{c}{b}=dfrac{a+c}{b}$\
checkmarkquad $dfrac{a}{b}+dfrac{c}{d}=dfrac{ad+bc}{bd}$\
checkmarkquad $dfrac{a}{b}timesdfrac{c}{d}=dfrac{ac}{bd}$\
checkmarkquad Si de plus $c$ et $d$ sont non nuls alors: $dfrac{{dfrac{a}{b}}}{dfrac{c}{d}}=dfrac{a}{b}timesdfrac{c}{d}$
end{tcolorbox}
begin{tcolorbox}[enhanced,title=Nombres Proportiennels ,attach boxed title to top center=
{yshift=-tcboxedtitleheight/2},boxed title style={size=small,colback=burlywood}]
Soient $a,b,c$ et $d$ quatres nombres réels.
\
checkmarkquad $a$ et $c$ sont proportionnels à $b$ et $d$ signifie que: $dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}$
\ checkmarkquad $a$ $c$ sont inversement proportionnels à $b$ et $d$ signifie que: $ad=bc$.
\
tcbset{colback=blue!5!white,colframe=blue!75!black}
begin{tcolorbox}[top=0mm]
textbf{Exercice}:
Montrer que si $dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}$ alors $dfrac{a}{b}=dfrac{a+c}{b+d}=dfrac{3a+4c}{3b+4d}$ lorsque ces quantités sont définies.
tcbset{colback=green!5!white,colframe=green!75!green}
tcblower
textbf{Corrigé}: On pose $k=dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}$, alors $a=kb$ et $c=kd$ de sorte que: $a+c=kb+kd=k(b+d)$ et donc $k=dfrac{a+c}{b+d}$. Inspire toi de ce qui précède et montre l'égalité suivante.
end{tcolorbox}
end{tcolorbox}
end{document}