var $selectCountry = $('select[name="country"]')
  , $selectRegion = $('select[name="region"]').hide()
  , $selectCity = $('select[name="city"]').hide();

$selectCountry.change(function(){

 $.ajax({
  type: 'post',
  url: '/getRegions.php',
  data: {
    countryId : $(this).val()  //код страны
  },
  success: function(regions){
    //строим список регионов
    var options = '';
    for(i = 0, region; region = regions[i]; i++){
       options += '<option val="' + region.id + '">' + region.title + '</otion>';
    }
    $selectCity.html(options).show();
  }
 })
});

$selectRegion.change(function(){
   //подгрузить города выбранного региона
});

<?php

# данные для подключения к MySQL
$servername = "localhost";
$username = "username";
$password = "password";
$dbname = "myDB";

# подключаемся к базе
$conn = new mysqli($servername, $username, $password, $dbname);
# проверяем соединение
if ($conn->connect_error) {
  die("Connection failed: " . $conn->connect_error);
}

# получить все регионы нужной страны и отсортировать их в алфавитном порядке
$countryId = isset($_POST['countryId']) ? $_POST['countryId'] : null;
$sql = "SELECT id, title FROM regions WHERE country_id = " . $countryId . " ORDER BY title";
$result = $conn->query($sql);

#собираем регионы в массив
$regions = [];
while($row = $result->fetch_assoc()) {
   $regions[] = $row;
}

# не забываем отключиться от базы
$conn->close();

header('Content-Type: application/json; carset=utf-8');
echo json_encode($regions);