Если данных в указанной таблице немного, то гораздо удобнее будет копировать таблицу целиком,
нежели проверять какие данные изменились и после их отдельно копировать в другую таблицу.
SQL Запрос будет выглядеть следующим образомЖ

INSERT INTO Doctors_copy
SELECT *
FROM Doctors;

Либо копировать по столбцам:

INSERT INTO Doctors_copy (`a1_2`, `a2_2`, `a3_2`, `a4_2`)
SELECT `a1`, `a2`, `a3`, `a4`
FROM Doctors;

Но на мой взгляд правильнее будет создать реплику базы Doctors.
Внутри, при репликации, запросы, которые изменяют данные, направляются на основной сервер, там копируются и направляются на реплики
и там повторяются.
Создание реплики позволит держать обе базы (Doctors and Doctors_copy) в актуальном,
синхронизированном виде, а также позволит решить такие проблемы как:
Масштабируемость:
Один сервер может не справляться с нагрузкой, вызываемой одновременными операциями чтения и записи в БД.
Выгода от создания реплик будет тем больше, чем больше операций чтения приходится на одну операцию записи.
Отказоустойчивость:
В случае отказа реплики, все запросы чтения можно безопасно перевести на мастера.
Если откажет мастер, запросы записи можно перевести на реплику.
Резервирование данных:
Реплику можно «тормознуть » на время, чтобы выполнить dump, а мастер — нет.
Отложенные вычисления:
Тяжелые и медленные SQL-запросы можно выполнять на отдельной реплике,
не боясь помешать нормальной работе всей системы.
При этом изменяющие данные запросы адресуем master-серверу, а запросы на чтение к slave-серверу,
при увеличении нагрузки на чтение можно создать несколько slave-серверов и распределить между ними нагрузку.

Из баз данных я бы выбрал или MySQL или PostgreSQL, обе базы поддерживают возможности репликации.
В качестве ОС использовал бы Linux Ubuntu, Red Hat, Debian
которые используются на большинстве серверов и отлично себя зарекомендовали бесперебойной работой.

Далее будет приведен примерный список команд для установки и настройки PostgreSQL для работы master-slave:

Для начала установим PostgreSQL на две машины:
$ sudo apt install postgresql-9.6

Запускаем его и добавляем в автозагрузку:
$ systemctl start postgresql-9.6
$ systemctl enable postgresql-9.6

Авторизуемся под пользователем:
$ sudo su - postgres
Входим в psql:
$ psql
Задаем пароль:
$ \password postgres

Разрешаем компьютерам общаться:
$ sudo ufw allow postgresql/tcp
$sudo ufw allow 5432/tcp
$ sudo ufw allow 5433/tcp

Далее настраиваем отдельно мастер и отдельно slave:
Для настройки master-сервера:
Изменяем содержимое файла postgresql.conf в папке /etc/postgresql/9.6/main/ - устанавливаем нужные настройки, адреса серверов и т.д.

Для настройки slave-сервера:
Останавливаем работу slave-сервера, далее копируем данные с master-сервера.
После этого меняем настройки /etc/postgresql/9.6/main/postgresql.conf.
И снова запускаем службу.
На этом настройка закончена. Тестируем все ли работает верно, если нет разбираемся и исправляем.
Если все верно, наслаждаемся)


При асинхронной репликации данные на slave-сервере могут появится с небольшой задержкой.
Поэтому, в последовательных операциях необходимо использовать чтение с master-сервера, чтобы получить актуальные данные.
При синхронной репликации запрос исполняется на master-сервере, затем пересылается на slave-сервер,
которые в свою очередь уже отвечает на поступивший запрос. Таким образов обе базы в актуальном состоянии.