EDC 27/03/2012

   # # # # # # # # # # # # #
  # EDC                     #
  # Gastão                  #
  # notasdogarcia.blog.com  #
   # # # # # # # # # # # # #

  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/d t^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)
    - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
    - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Aula passada falamos de tudo que faltava sobre EDOs de 2° Ordem Lineares Homogeneas.

  Já sabemos resolver EDOs homogeneas com coeficientes constantes, com coeficientes não constantes e sabemos obter a solução geral com basse nessas soluções.

  Certo?

  Na aula de hoje vamos começar a falar de EDOs Lineares Não-Homogeneas de 2° Ordem,

  ou seja EDOs lineares de 2° Ordem =], sem mais restrições.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  EDOs Lineares de 2° Ordem (ñ homogeneas), são da forma:

    (1) x'' + p(t) x'+ q (t) x = g(t)

  Onde g(t) != 0.

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

// Interrompendo para jogar um novo conceito:

CONCEITO:
  A "Equação Homogenea Associada" é uma equação identica à não homogenea porém com g(t) = 0.

  Ou seja no caso de (1) a Homogenea Associada seria:

    x'' + p(t) x'+ q (t) x = 0

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

TEOREMA:
  Se x1 e x2 são soluções da EDO acima então a diferença é solução da EDO homogenea associada!

  Assim podemos dizer que:
  // (Vou tentar usar x para as soluções da não-homogenea, e xh para as da homogenea, para diferenciar)

    x1 - x2 = xh

  ou

    x1 = xh + x2

  E isso vale para qualquer xh, e isso dá um resultado diferente para cada xh, ou seja, voce consegue uma solução geral para x1 !!!

  Isso é interessante não?

  Motivo (de forma mais abstrata, faça o teste se voce quiser entender melhor):

  Dadas as equações:

    x1'' + p x1' + q x1 = g
    x2'' + p x2' + q x2 = g

  Podemos dizer que ambas são iguais à g, e portanto a diferença deve ser = 0.

  Ou seja a diferença acaba solucionando a Homogenea Associada =D,
  vale a pena fazer o teste no papel, se tiver paciencia.
  // O que vai acontecer no teste é que os termos vão acabar se cortando, e vai dar tudo 0.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  ENTÃO ACABAMOS DE VER:

  Como achar a solução geral das não-homogeneas !

  Porém notem que a fórmula:

    x1 = xh + x2

  Só funciona se voce já conhecer previamente x2, que é uma solução especifica da Equação.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  FIM DO MÉTODO DE SOLUÇÃO GERAL
  VAMOS FALAR AGORA DAS SOLUÇõES ESPECIFICAS

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Vamos então falar agora de dois métodos para encontrar soluções especificas para as EDOs de 2° Ordem Linares não-homogeneas!:

  Método 1: Coeficientes a determinar.

    - Funciona se p(t) e q(t) são constantes.
    - As vezes não dá pra fazer, pq depende da simplicidade de g(t) =/

  Método 2: Variação de parâmetros (prox. aula)

    - Funciona se já se conhece duas soluções L.I. da eq. homogenea.
    // Vamos falar mais dessa na próx aula.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  1) Método dos Coeficientes à Determinar:

  Esse método pode ser usado em formulas do tipo:

    a x'' + b x' + c x = g(t)

  Onde a, b e c são constantes, como já disse acima.

  A brincadeira desse método é uma adivinhação.
  Baseado na aparencia de g(t), nós podemos chutar alguns valores parecidos com g(t) para serem soluções da EDO.

  Assim se g(t) é um exponencial, provavelmente a solução não vai envolver, senos, cossenos e etc,
  e sim uma exponencial, faz sentido não?

  Vamos agora listar os valores que g(t) pode assumir:

  g(t) { - Exponencial
       { - senos e cossenos
       { - polinômios
       { - produtos
       { - somas de produtos

  Para todos esses formatos acima, esse método de adivinhação até funciona bem.
  Mas não funciona bem quando g(t) é algo como: 1/seno + ln(t), sei lá =P

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Ex:

  Pense no modelo do oscilador novamente, um bloco ligado a uma mola e com seu peso depositado sobre o chão.
  A mola oscila com certa frequencia, há um atrito pelo contato com o chão e há uma massa m do objeto.

  Lembrando que na equação abaixo x é a posição do objeto, x' é a velocidade e x'' é a aceleração.

  Digamos que sabendo disso temos a equação que descreve um certo sistema:

    x'' + 4x = e ^(-t) sen(2t), t>0

  Isso daria para resolver com o método acima, pois é um produto dos métodos que dão pra adivinhar.

  Mas vamos começar com um exercicios mais simples, para entender:

 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

  Exemplo 1:

    x'' + x = e^(-t)

  Chutando uma solução podemos esperar algo envolvendo e^(-t) já que g(t) tem esse formato.
  Vamos tentar então x = A e^(-t), onde A é uma constante.

    x  =  A e^(-t)
    x' = -A e^(-t)
    x''=  A e^(-t)

  Substituindo na equação original temos:

    x''      + x        = e^(-t)
    A e^(-t) + A e^(-t) = e^(-t)

  Isolando fica fácil de ver que A deve ser igual a 1/2.

  Assim uma solução especifica da EDO não Homogenea acima é:

    x = 1/2 e^(-t)!

  Lembram-se do teorema de mais cedo que dizia que x1 = xh + x2?

  Sendo xh, a solução geral da homogenea associada?

  Com base nisso podemos escrever:

    x1 = xh + 1/2 e^(-t)

  Assim basta encontrar xh!, que já aprendemos como fazer nas últimas aulas =].

  Não vou falar terminar o cálculo de xh na questão, mas ele seria da forma:

    xh = c1 xh1 + c2 xh2

  Onde xh1 e xh2 poderiam ser encontradas usando o método da equação característica.
  Já que os coeficientes são constantes =].

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Exemplo 2:

  seja a EDO:

    x'' + x = t

  Fazendo o mesmo processo vamos chutar uma solução x1 que pareça razoavel, usando como base para isso o valor de g(t).

  Um valor razoavel considerando g(t) = t seria um polinomio de grau 1, vamos considera-lo na forma:

    x1 = A t + B

  É um valor razoavel, vamos então substitui-lo na Equação original
  e descobrir os valores de Possíveis de A e B.

    x1  = A t + B
    x1' = A
    x1''= 0

  Substituindo em:

    x'' + x = t

  Temos:

    0   + A t + B = t

  Isolando vemos que para tudo funcionar:

    A = 1, e
    B = 0

  E portanto x1 = t é uma solução da EDO (super fácil essa né?)
  // Note que agora que temos essa solução bastaria encontrarmos uma solução para a homogenea associada, e usar o sistema: x1 = xh + x2

  Vamos continuar, acompanhando o professor.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  // Agora vamos tentar uma função com g(t) na forma seno, ou cosseno:

  Exemplo 3:

    x'' + x' = sen t

  Chutando uma solução na forma sen t claramente daria errado, pois a derivada primeira de "sen t" é "cos t"
  O que certamente não ia cortar com nada.

  Qual seria um palpite melhor? Um palpite melhor seria algo que envolvesse seno e cosseno veja:

    x1 = A sen t + B cos t

  Ou seja:

    x1  =  A sen t + B cos t
    x1' =  A cos t - B sen t
    x1''= -A sen t - B cos t

  Subtituindo na original temos:

    x''                  + x'                  = sen t
    (-A sen t - B cos t) + (A cos t - B sen t) = sen t

  Escrevendo de outra forma:

    (-A - B)sen t + (A - B)cos t = sen t

  Como seno não pode sumir e o cosseno tem que sumir,
  sabemos que:

     A - B = 0
    -A - B = 1

  Ou seja A = B = -1/2

  E a solução x1 seria da forma:

    x1 = sen(t)/2 + cos(t)/2

  Usando a solução geral:

    x1 = xh + x2

  Poderiamos encontrar as demais soluções (bastando para isso descobrir o valor da solução geral da Homogenea Associada xh =].

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Agora vamos falar de exceções à esse método de adivinhação.
  // Finalmente alcancei o professor :D

  Seja:

    y''-y = e^t

  Devemos determinar a solução geral
  Para isso precisamos então de:
    1 - Solução geral da equação Homogenea Associada.
    2 - Solução particular da não homogenea.

  1) y''-y = 0

  Pelo metodo da equação caracteristica, ou seja supondo a solução na forma e^(rt)
  teremos a equação de 2° grau: r² - 1 = 0 com solução = +-1

  Assim a solução geral da homogenea (já considerando que tenhamos feito o Wroskiano) é:

    xh = c1 e^t + c2 e^-t

  Feito!

  2) Agora para descobrir a solução particular da não homogenea vamos chutar um valor para a solução de:

    y''-y = e^t

  Se fizermos como sempre temos feito chutariamos x1 = A e^t porém já sabemos que isso vai dar errado, porque e^t é solução da homogenea onde g(t) = 0.

  Uhm chegamos numa excessão, vamos ter que encontrar outro valor para x1 qual poderiamos tentar?

  Vamos tentar colocar um t multiplicando o exponencial (viva o improviso :D).

    x1 = t A e^t

  Ou seja:

    x1  = t A e^t
    x1' = t A e^t +   A e^t
    x1''= t A e^t + 2 A e^t

  Substituindo na original teremos:

    uma coisa que funciona :D

  Fiquei pra traz do professor vou pro próximo exemplo.

  Mas o resumo disso fica: Se der errado o chute comum, multiplique o chute por t :D

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Exemplo 4:

    x''- 2x' + x = e^t

  Solução geral da homogenea:

    xh = c1 e^t + c2 t e^t

  Solução particular da não homogenea:

    x2 = A e^t funciona?

  não

    x1 = t A e^t funciona?

  também não isso também é uma combinação linear das soluções da homogenea.

    x1 = t² A e^t funciona?

  Bem não sei, mas não há motivos para dizer que não funcionaria, vamos testar?

  Bem tentando o professor nos garantiu que conseguiriamos, ou seja:

    x1 = t² A e^t,

  É uma solução da EDO Acima para algum valor de A =].

  Não continuamos esse exemplo, e pulamos para o próximo.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Novo exemplo onde o caso fica mais complicado:

    y''+ y = sen t

  Sol. Geral da homogenea:
  // Usando o método da Eq. Característica, o delta é < 0 então
  // a solução fica na forma:

    yh = c1 cos t + c2 sen t

  Agora tentaremos descobrir a particular da não homogenea:

    y''+ y = sen t

  Tentando o caso mais básico chutariamos uma solução na forma:

    y1 = A sen t + B cos t

  Porém isso é solução da homogenea pra qualquer valor de A e B =/.

  Vamos tentar multiplicar tudo por t, e ver se dá certo:

    y1 = t(A sen t + B cos t)

  Bem o professor não terminou também.

  O que deveriamos fazer é substituir isso na original e ver se funciona =P.

  Esse seria o macete, eu acho =P.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Nota do Professor:

    Se voce Tentou o primeiro chute e não deu certo, depois tentou multiplicar por t e também não deu certo, e nem por t², desconfie da sua conta.
    Dá uma verificada refaz as contas porque pode ser um problema desse tipo.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Exercicios:

    pg 141 - 1, 7, 9, 10, 12, 18, 27, 28 // Coefs a determinar
    pg 146 - 1, 3, 5, 11, 12, 13, 15     // Variação de parametros

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  // Prox aula, será variação de parametros em equação não homogeneas, o último método antes da prova.

  // Fim da aula!