\chapter{Grundlagen}
\section{Dunkle Materie}
Über dunkle Materie ist bisher noch nicht viel bekannt. Falls Dunkle Materie existiert, so zeigt diese keine Wechselwirkung mit Licht auf. Folglich ist sie unsichtbar, und nur gravitativ messbar.
Die dunkle Materie wird unter anderem als Erklärung dafür verwendet, dass man bei Rotationsmessungen in der Milchstraße mehr Masse findet, als eigentlich zu vermuten wäre. Nahe zum galaktischen Zentrum verhält sich diese nämlich annähernd wie ein starrer Körper, radial nach außen gehend dann zwischenzeitlich wie bei einer Keplerrotation, und mit zunehmendem Radius bleibt die Rotationsgeschwindigkeit dann nahezu konstant.
Diese Erkenntnis ist allerdings nur sinnvoll zu erklären, falls signifikant mehr Masse am äußeren Rand der Galaxie ist, als man erkennen kann. Die vermutete dunkle Materie.
Aufgrund der gravitativen Wechselwirkung vermutet man, dass dunkle Materie auch maßgeblich an Galaxieformung beteiligt ist. So wird vermutet, dass sich damit beispielsweise die Spiralarmbildung besser erklären lässt.
Mittlerweile ist bekannt, dass dunkle Materie viel häufiger Auftritt, als konventionell sichtbare Materie. Letztere berechnet sich fast zu 5\% des Universums, erstere zu fast 25\%.
Für die dunkle Materie gibt es nun mehrere mögliche Kandidaten.
\subsection{WIMPs}
\textit{WIMPs} oder \textit{weakly interacting massive particles} sind hypothetische Teilchen und mögliche Kandidaten, um dunkle Materie zu beschreiben. Hierbei würden die WIMPs nur über schwache Wechselwirkung und Gravitation wechselwirken. Folglich würden diese Teilchen unsichtbar sein. Hierbei ist auf die vermutete Masse der WIMPs hinzuweisen. Diese liegt zwischen zehn und mehreren Tausend $\frac{\textup{GeV}}{c^2}$ und wäre damit um ein Faktor zwischen $10^1$ und $10^3$ schwerer als konventionelle Nukleonen. Trotzdem wären sie in der Lage, ähnlich wie Neutrinos, herkömmliche Materie größenteils ungestört zu durchqueren. Deswegen sind sie, falls sie existieren, nur schwer nachzuweisen.
\subsection{MACHOs}
Ein alternativer Erklärungsversuch für dunkle Materie sind die sogenannten \textit{MACHOs} oder \textit{massive astrophysical compact halo objects}. Diese beschreiben schwach leuchtende Objekte herkömmlicher Materie im Halo einer Galaxie. In Frage kämen also Braune Zwerge, Schwarze Löcher, Objekte planetarer Masse oder andere ähnlich schwach leuchtende Objekte. Diese könnten insgesamt bis zu einem Fünftel der dunklen Materie in der Milchstraße erklären, allerdings ist auch diese Hypothese noch umstritten. Da sie nur schwach leuchten, sind auch die MACHOs nur sehr schwer mit Teleskopen nachweisbar.
\subsection{MOND-Hypothese}
Die \textit{MOND-Hypothese} (\textit{modified newtonian dynamics}) ist ebenfalls ein Modell zum erklären der unerwarteten Beobachtungen. Hierbei geht man davon aus, dass die bisher bekannten Gesetze der Gravitation nur Grenzfälle sind, und bei astronomischen Größenordnungen Korrekturterme von Nöten sind, die dann die Rotationskurven besser erklären könnten.
\section{Die 21-cm Linie}
Um Rotationsgeschwindigkeiten der Milchstraße zu untersuchen, macht man sich oft die Eigenschaften der 21-cm Strahlung zu Nutze.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{21cm}
\caption{Hyperfeinstrukturübergang am HI Atom, entnommen aus [Keudell Skript]}
\label{fig:HypFine}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{SpinFlip}
\caption{Schematische Darstellung des Spinflips im HI Atom, entnommen aus https://de.wikipedia.org/wiki/HI-Linie}
\label{Fig:SpinFlip}
\end{figure}
Betrachtet man neutralen HI-Wasserstoff, so kann dieser entweder in einem $|\uparrow \ \uparrow \ >$ Zustand oder in einem $|\uparrow \ \downarrow \ >$ Zustand sein. Dies bedeutet, dass Kernspin und Elektronenspin entweder parallel oder antiparallel orientiert sind. Zwischen diesen beiden Zuständen existiert eine Energiedifferenz von ca. $5,9 \cdot 10^{-6}$ eV. Es wird folglich ein Photon mit einer Frequenz von ca. 1420 MHz bzw. einer Wellenlänge von ungefähr 21 cm ausgesandt. Dies ist einmal als Termschema in \ref{fig:HypFine} und einmal schematisch in \ref{Fig:SpinFlip} dargestellt.
Rein quantenmechanisch ist dieser Übergang \textit{verboten}. Dies bedeutet schlicht, dass der angeregte $|\uparrow \ \uparrow \ >$ Zustand nur sehr unwahrscheinlich in den $|\uparrow \ \downarrow \ >$ Zustand zerfällt, er hat eine mittlere Lebensdauer von fast 10 Millionen Jahren, und stoßinduziert von ca. 400 Jahren. Dennoch ist besonders in HI-Regionen hinreichend viel Wasserstoff vorhanden, so dass diese Strahlung als Messinstrument verwendet werden kann.
Die HI-Strahlung bietet sich zusätzlich noch als Messinstrument an, da sie fast komplett ungefiltert durch die Erdatmosphäre gelangt. Diese ist nämlich für elektromagnetische Strahlung zwischen 10 MHz bis 100 GHz durchlässig. Dies entspricht einem Wellenlängenspektrum von ca. 30 m bis 3 mm.
\section{Milchstraße}
Galaxien im allgemeinen sind große Ansammlungen an Materie, die gravitativ an ein Zentrum gebunden sind und um dieses rotieren. Galaxien bestehen aus Staub, Gas und Sternensystemen mit Planeten.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{HubbleSequenz}
\caption{Hubble-Sequenz zur Kategorisierung von Galaxien, entnommen aus https://de.wikipedia.org/wiki/Hubble-Sequenz}
\label{HubbleSeq}
\end{figure}
Die Hubble-Sequenz, wie sie in Abbildung \ref{HubbleSeq} dargestellt ist, ordnet Galaxien gemäß ihrer Struktur in Kategorien ein. Diese sind einmal die \textit{elliptischen Galaxien}(E0-E7), die \textit{Spiralgalaxien}(Sa-Sc) und die \textit{Balkenspiralgalaxien}(SBa-SBc). Hiebei ist erwähnenswert, dass die Hubble-Sequenz kein Entwicklungsschema darstellt, (Balken-)Spiralgalaxien entwickeln sich nicht aus den elliptischen Galaxien, es ist lediglich eine Kategorisierung.
Die Milchstraße lässt sich zu den Balkenspiralgalaxien ordnen.
Sie hat einen Durchmesser von ca. 30 kpc [5]. Allerdings variiert sie in der Dicke. Zwischen 0.8 und 5 kpc ist sie dick, wobei sie tendenziell dicker wird wenn man sich dem Zentrum nähert.
Im Zentrum befindet sich Saggitarius A*, ein supermassives schwarzes Loch mit einer Masse von ca. $4,1 \cdot 10^6$ M\textsubscript{\(\odot\)}. Es ist erwähnenswert, dass solche supermassiven schwarzen Löcher bei den meisten Galaxien im Zentrum vermutet wird.
Am äußersten Rand der Milchstraße befindet sich der \textit{Halo} der Milchstraße. Halos sind massereiche Bereiche um Galaxien, die meist größer als die eigentliche Galaxie sind. Dort befinden sich dann einzelne Sterne, Kugelsternhaufen und die oben erwähnten MACHOs. In den Halos wird ein signifikanter Teil der dunklen Materie einer Galaxie vermutet.
\section{Galaktisches Koordinatensystem}
Möchte man Richtungsmessungen innerhalb der Milchstraße machen oder andere Messungen einer bestimmten Richtung zuordnen, so ist es sinnvoll die \textit{galaktischen Koordinaten} zu verwenden.
Die galakatischen Koordinaten beziehen sich auf die Ebene der Milchstraße. Dabei ist der Nullpunkt die Sonne, da alle Messungen und Beobachtungen in unserem Sonnensystem stattfinden.
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{Galactic_coordinates}
\caption{Galaktischen Koordinaten schematisch dargestellt, entnommen aus https://de.wikipedia.org/wiki/Galaktisches$\_$Koordinatensystem}
\label{GalCoord}
\end{figure}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.25]{Galactic_longitude}
\caption{Die galaktischen Längen, entnommen aus https://de.wikipedia.org/wiki/Galaktisches$\_$Koordinatensystem}
\label{GalLong}
\end{figure}
Dargestellt sind die galaktischen Koordinaten in den Abbildungen \ref{GalCoord} und \ref{GalLong}. Anhand dieser Abbildungen lassen sich diese Koordinaten auch gut erklären. Die \textit{galaktische Länge} $l$ bezeichnet hierbei den Auslenkungswinkel zwischen gemessenem Objekt und galaktischem Zentrum in der galaktischen Ebene, während die \textit{galaktische Breite} $b$ die Auslenkung außerhalb der galaktischen Ebene senkrecht zu $l$ ist. Folglich bedeutet eine galaktische Breite $b=0$, dass ein Objekt in der galaktischen Ebene ist, eine Breite $b \neq 0$, dass das gemessene Objekt über oder unter der galaktischen Ebene liegt. Sowohl $l$ als auch $b$ werden in mathematischer Konvention gegen den Uhrzeigersinn gemessen Das galaktische Zentrum ist dabei bei $l=b=0$.

\section{Rotationskurven und Massenverteilung}
Rotation in der Milchstraße lässt sich abhängig vom radialen Abstand mit verschiedenen Modellen beschreiben.
Betrachtet man die Rotation eines starren Körpers, so lässt sich die Rotationsgeschwindigkeit berechnen zu \begin{equation}
\Theta = \omega R
\end{equation}
wobei $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit und $R$ den Abstand zum (galaktischen) Zentrum. Allerdings sind Galaxien keine starren Körper.
Aus der klassischen Mechanik ist bekannt, dass die Gravitationskraft einer kugelförmigen Massenverteilung auf eine Masse mit Abstand $R$ durch die vom Radius $R$ eingeschlossene Masse $M$ sich zu \begin{equation}
F_G = G \dfrac{mM}{R^2}
\end{equation}
errechnen. Nimmt man nun die Zentripetalkraft einer Drehung $F_{Z_{P}}$ dazu, so findet man folgenden Zusammenhang:
\begin{equation}
F_{Z_{P}} = \dfrac{m\Theta^2}{R} = G \dfrac{mM}{R^2}
\label{Theta}
\end{equation}.
Für die Rotationsgeschwindigkeit ergibt sich dann:
\begin{equation}
\Theta = \sqrt{G \dfrac{M}{R}}
\end{equation}
Der $\Theta \propto \sqrt{R}$ Zusammenhang ist bekannt als \textit{Kelper-Rotation}. Dies ist auch die Rotation, mit der man unser Sonnensystem modellieren muss.
Zusätzlich lässt sich die Milchstraße auch als ein gravitativ gebundenes System mit kugelsymmetrischer Massenverteilung betrachten, so dass \begin{equation}
\dfrac{dM}{dr} = 4 \pi \rho (r) r^2
\label{dM}
\end{equation}
gilt. Stellt man nun \ref{Theta} nach $\Theta$ um, und leitet nach $r$ ab, so findet man:
\begin{align}
M & =  \Theta^2(r) \dfrac{r}{G} \\
\left(\dfrac{dM}{dr} \right) \Big|_{r=R} & =  \left. \left( \dfrac{\Theta^2(r)}{G} + \dfrac{2 \Theta(r)r \frac{d\Theta(r)}{dr}}{G} \right) \right|_{r=R} = \dfrac{\Theta^2(R)}{G} = \dfrac{\Theta_R^2}{G}
\label{ThetaR}
\end{align}
für ein konstantes R.
Durch Gleichsetzen und umstellen von \ref{dM} und \ref{ThetaR} lässt sich dann
\begin{equation}
\rho_R = \rho(r) \big|_{r=R} = \dfrac{\Theta_R^2}{4\pi G R^2}
\end{equation}
finden, womit man insbesondere einen Zusammenhang gefunden hat, um aus der Rotationsgeschwindigkeit bei konstantem Radius $\Theta_R$ Rückschluss auf die Massendichte ziehen zu können.

\section{Tangentialmethode}
Betrachtet man nun Abbildung \ref{GalLong}, so stellt man fest, dass Objekte mit $l \in \left[270°,360°\right]$ oder $l \in \left[0°,90°\right]$ sich uns nähern bzw. sich von uns entfernen. Dies ist insofern nützlich, als dass gemessene HI-Strahlung durch den Dopplereffekt verschoben ist.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{Tangentialmethode}
\caption{Geometrischer Zusammenhang zwischen gemessenem Spektrum und astronomischen Objekten, entnommen aus [Anleitung]}
\label{fig:TangMeth}
\end{figure}
Anhand von Abbildung \ref{fig:TangMeth} lässt sich der Zusammenhang klarer verdeutlichen. Dort wurde Beispielhaft ein (Doppler-verschobenes) HI-Spektrum gemessen. Eingetragen in der Figur sind vier HI-Regionen A, B, C, D. Diese sind unterschiedlich nah am Zentrum der Galaxie, unterschiedlich groß und haben unterschiedliche Rotationsgeschwindigkeiten $\Theta$. In dem HI-Spektrum sieht man dann die gemessene Intensität bei unterschiedlich starker Doppler-Verschiebung($\hat{=}$ verschiedenen Radialgeschwindigkeiten). Hierbei hat das dem galaktischen Zentrum nächste Objekt die höchste Geschwindigkeit, und ist demnach auch am meisten von der ursprünglichen Frequenz $\nu_0$ von 1420.4 MHz verschoben. Für diesen minimalen Abstand $R_{min}$ existiert dann ein Rechter Winkel so, dass dann
\begin{equation}
R_{min} = R_{\odot} \textup{sin} (l)
\label{eq:Rmin}
\end{equation}
gilt. Hierbei ist $R_{\odot}$ der Abstand der Sonne zum galaktischen Zentrum ($\approx 8,5 kpc$).
Für HI-Regionen, die sich uns nähern, folgt dann mit dem Doppler-Effekt für die Geschwindigkeit:
\begin{equation}
v_r = c \left(1 - \dfrac{\nu}{\nu_0} \right)
\label{eq:Doppler}
\end{equation}
Hierbei ist $\nu$ die gemessene, verschobene Frequenz, $v$ die Radialgeschwindigkeit zum Beobachter, $\nu_0$ die unverschobene Frequenz von 1420,4 MHz und $c$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Analog gilt für sich entfernende Objekte:
\begin{equation}
v_r = c \left(\dfrac{\nu}{\nu_0} - 1 \right)
\end{equation}
Schlussendlich lässt sich dann die Rotationsgeschwindigkeit $\Theta (R_{min})$ dann ermitteln, indem man die Eigenbewegung der Sonne um das galaktische Zentrum noch berücksichtigt. Ihre Komponente ist nach geometrischen Betrachtungen $\Theta_0 \textup{sin} (l)$, mit $\Theta_0 = 220 km/s $. Folglich ergibt sich $\Theta (R_{min})$ zu:
\begin{equation}
\Theta (R_{min}) = v_{r,max} + \Theta_0 \textup{sin} (l)
\label{eq:Theta}
\end{equation}