cities

let cities = []
for (let i = 0; i < 10; i++) { // тут лічильник циклу змінна і, вона приймає значення від 0 до 9 (стає 10 - то циклу кінець)
    cities[i] = prompt('name a city' + i) // заповнюємо масив географічними даними
}
console.log()
let hometown = prompt('What is your hometown?') // в цю змінну ви записали строкове значення - назву рідного міста
for (hometown = 0; hometown < cities.length; hometown++) { // тут треба перебирати елементи масиву порівнюючи з рідним,
} // а у вас тіло циклу пусте, крім того hometown = 0 затирає назву рідного міста нулем, а з нею треба порівнювати..
if (hometown == cities.length) { // завжди буде тру, тому що після такого циклу hometown == cities.length. Треба порівнювати
    // в тілі циклу кожен елемент з рідним , ну а лічильник просто як і першому циклі візьміть.
    console.log('I know your hometown')
}
if (hometown != cities.length) {
    console.log('I do not know your hometown')
}
// Гарного коду!