SHARE
TWEET

Untitled

a guest Sep 19th, 2019 109 Never
Not a member of Pastebin yet? Sign Up, it unlocks many cool features!
  1. \documentclass[10pt]{article}
  2. \usepackage[utf8]{inputenc}
  3. \usepackage[russian]{babel}
  4. \usepackage{amsmath}
  5. \usepackage{amsfonts}
  6. \usepackage{amssymb}
  7. \usepackage{latexsym}
  8. \usepackage[left=3cm,right=3cm,
  9.     top=2cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm]{geometry}
  10. \begin{document}
  11. \large{ \begin{center}
  12.     \textbf{Летняя практика}
  13. \end{center}}
  14.     \textit{\textbf{Цель}: доказать, что $dim\ var_{k} P = dim\ var_{n-k} P$, где $var_{k}\ P$ - это векторное подпространство в $\mathbb{R}[x_1, \dots, x_m]_{n-k}$, порожденное всеми частными производными порядка k от P.} \\ \\
  15.     Будем решать нашу задачу пошагово. \\ \\
  16.     \textbf{1.1) Докажем, что $Ann P$ есть векторное пространство.} \\
  17.     Проверим первое условие, если $x,\ y \in Ann P$, то $x + y \in Ann P$ \\
  18.     $(x + y)P = xP + yP = 0 + 0 = 0 \Rightarrow x + y \in Ann P$ \\
  19.     Проверим второе условие, если $x \in AnnP$ и $\lambda \in \mathbb{R}$, где $\mathbb{R}$ - это поле, то $\lambda x \in AnnP$ \\
  20.     $(\lambda x)P = \lambda(xP) = \lambda * 0 = 0 \Rightarrow \lambda x \in AnnP$ \\ \\
  21.     Проверим 8 аксиом векторного пространства : \\
  22.     1) Ассоциативность сложения : $(x + y) + z = x + (y + z),\ \forall\ x, y, z \in AnnP$ \\
  23.     Так как векторы - это многочлены, их сложение ассоциативно \\
  24.     2) Нейтральный элемент : 0 $\in AnnP$, так как $0P = 0$ \\
  25.     3) Обратный элемент : $x^{-1} = -x, \ \forall\ x \in AnnP$,\ $x + (-x) = 0$ \\
  26.     4) Коммутивность сложения : $x + y = y + x \ \forall \ x, y \in AnnP$ выполняется, так векторы - многочлены \\
  27.     5) Нейтральный элемент единица присутствует: $1x = x1 = x \ \forall \ x \in AnnP$ \\
  28.     6) Ассоциативность умножения на скаляр присутствует : $\lambda (\mu x) = (\lambda \mu)x $ \\
  29.     7) Дистрибутивность умножения на скаляп пристуствует : $(\lambda + \mu)x = \lambda x + \mu x$ \\
  30.     8) Дистрибутивное умножение относительно векторов : $\lambda (x + y) = \lambda x + \lambda y$ \\
  31.     Все аксиомы выполнены $\Rightarrow AnnP$ - векторное пространство. \\ \\
  32.     \textbf{1.2) Докажем, что $AnnP$ является идеалом в $\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]$}. \\ \\
  33.     Проверим, что $AnnP$ - абелева группа по сложению \\
  34.     1) Ассоциативность есть \\
  35.     2) Нейтральный элемент - 0 есть \\
  36.     3) Обратный для каждого многочлена есть : $-x$ \\
  37.     4) Коммутативность сложения есть (так как элементы группы - многочлены) \\ \\
  38.     Проверим условие идеала : $\forall x \in \mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m] $ и $\forall y \in AnnP : xy \in AnnP$ \\
  39.     $xyP = x(yP) = x * 0 = 0 \in AnnP$ верно, так как дифференциальные операторы ассоциативны. \\
  40.     Все условия выполнены $\Rightarrow AnnP$ - это идеал. \\ \\
  41.     \textbf{2) Докажем, что $dim(\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]/Ann_kP) = dim\ var_kP$}. \\ \\
  42.     Для начала поймем, что $\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]/Ann_kP$ - это фактор пространство, где элементы имеют вид : $x + Ann_kP$, где $ x \notin Ann_kP$, они являются линейными многообразиями, если говорить на языке линейной алгебры \\ \\ \\
  43.     Введем такое отображение, у которого $Im\phi = var_kP$, а $Ker\phi = Ann_kP$, наше отображение будет действовать на многочлен $P$ так, что будет браться производная $k$ - ого порядка от многочлена $P$, поэтому образом этого отображения как раз будут все многочлены порядка $n - k$, полученные взятием производной порядка $k$ от многочлена $P$, а это по определению $var_kP$, ядром же будут многочлены состовляющие аннигилятор $P$, тогда по известой нам формуле:
  44.     $$ dim(Im\phi) + dim(Ker\phi) = dim(\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m])$$ Заменим ядро и образ в этой формуле: $$dim(var_kP) + dim(Ann_kP) = dim(\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]) $$
  45.     \textbf{Теперь докажем утверждение: если $S$ - векторное пространство, $P$ - его подпространство, то $dim(S/P) = dim(S) - dim(P)$}. \\ \\
  46.     Пусть $e_1 \dots e_m$ - базис $S$, $e1 \dots e_z$ - базис $P$, тогда введем отношение эквивалентности на $S$ : $x \sim y(P)$, если $x - y \in P$. \\
  47.     1) Рефлексивность выполняется : $x - x = 0 \in P$ \\
  48.     2) Симметричность выполняется : $x - y \in P \Rightarrow y - x \in P$, так как $P$ - векторное пространство \\
  49.     3) Транзитивность выполняется : $x - y \in P $ и $y - z \in P \Rightarrow x - y + y - z = x - z \in P$ \\
  50.     Заметим, что если $x \in P$, то $x \equiv 0(P)$, так как $x - x \in P$. \\
  51.     Любой вектор $x$ представим в виде линейной комбинации базисных векторов, тогда $x = a_1e_1 + \dots + a_me_m$, возьмем по модулю P, тогда все базисные векторы, которые порождают $P$ обнулятся, тогда $\forall x \in S$, который $\notin P$ представляется в виде линейной комбинации $a_{z+1}e_{z+1} \dots + a_me_m$, значит факторпространство $S/P$ порождено векторами $e_{z+1}, \dots, e_m$, значит $dim(S/P) = dim(S) - dim(P)$. \\
  52.     Применим полученный результат:
  53.     \begin{equation*}
  54.     \begin{cases}
  55.     dim(var_kP) + dim(Ann_kP) = dim(\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m])
  56.     \\
  57.     dim(\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]/Ann_kP) + dim(Ann_kP) = dim(\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m])
  58.     \end{cases}
  59.     \end{equation*}
  60.     Отсюда видно, что $dim(\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]/Ann_kP) = dim(var_kP)$ \\ \\
  61.     \textbf{3) Докажем, что $\tilde{l}p$ задает корректное отображение $l_p$}. \\ \\
  62.     Зададим наше отображение $l_p$ так : $(x + Ann_kP) \times (y + Ann_{n-k}P) \to xyP$, $x \in \mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]_k,\ x \notin Ann_kP,\ y \in \mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]_{n-k},\ y \notin Ann_{n-k}P$, проверим его корректность: \\
  63.     Возьмем $h_1 \in Ann_kP$ и $h_2 \in Ann_{n-k}P$, тогда перемножим по нашему отображению и посмотрим, что получится : \\
  64.     $(x + h_1) \times (y + h_2) \to ((x + h_1) \times (y + h_2))P = (xy + xh_2 + h_1y + h_1h_2)P = xyP + h_1yP + xh_2P + h_1h_2P = xyP$, все члены, где есть $h_i$ обнуляются, так как умножение ассоциативно и коммутативно и $h_i \in Ann_iP$, поэтому отображение корректно. Так же стоит сказать, что мы должны получить $a \in \mathbb{R}$, мы это получаем, так как при умножении многочлена $P$ на и на $x$, и на $y$(взятие производной $n$ - ого порядка) мы получаем либо ненулевое число, либо ноль. \\ \\
  65.     Докажем, что отображение билинейно: \\
  66.     Рассмотрим для одного аргумента, так как для второго аналогично, $((\lambda x_1 + h_{11} + \mu x_2 + h_{12}) \times (y + h_2))P = (\lambda x_1y + \lambda x_1h_2 + h_{11}y + h_{11}h_2 + \mu x_2y + \mu x_2h_2 + h_{12}y + h_{12}h_2)P = \lambda x_1yP + \mu x_2yP = ((\lambda x_1 + h_{11}) \times (y + h_2))P + ((\mu x_2 + h_{12}) \times (y + h_2))P$, значит билинейно по каждому аргументу. \\
  67.     Теперь докажем, что это отображение невырождено: \\
  68.     Берем $x \in \mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]_k$, такой что $x \notin Ann_kP$(условие того что $v \neq 0$), умножаем $v + Ann_kP$ на $P$, получаем многочлен $R \in var_kP$, для которого мы можем подобрать такой дифференциальный оператор $y \in \mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]_{n-k}$, такой что $y \notin Ann_{n-k}P$ и $yR = const \neq 0$, аналогично со вторым аргументом, поэтому отображение $l_p$ невырождено. \\ \\
  69.     \textbf{4) Докажем, если $\exists$ невырожденное билинейное отображение $F$ : $V \times W \to \mathbb{R}$, то $dim\ V = dim\ W$ }. \\ \\
  70.     Пусть $v_1, \dots, v_n $ - базис в пространстве $V$, а $w_1, \dots, w_k $ - базим в пространстве $W$, тогда матрица билинейной формы $F$ будет выглядеть так:
  71.     \begin{equation*}
  72. A_F = \left(
  73. \begin{array}{cccc}
  74. F(v_1, w_1) & F(v_1, w_2) & \ldots & F(v_1, w_k)\\
  75. F(v_2, w_1) & F(v_2, w_2) & \ldots & F(v_2, w_k)\\
  76. \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
  77. F(v_n, w_1) & F(v_n, w_2) & \ldots & F(v_n, w_k)
  78. \end{array}
  79. \right)
  80. \end{equation*}
  81. Допустим, что $n \neq k$ и без ограничения общности $k > n$, тогда наша матрица билинейной формы $A_F$ $\in Mat_{n \times m}(\mathbb{R})$. Пусть $\exists $ \begin{equation*}
  82. \alpha = \left(
  83. \begin{array}{c}
  84. \alpha_1\\
  85. \alpha_2\\
  86. \vdots\\
  87. \alpha_k
  88. \end{array}
  89. \right) \neq
  90. \left(
  91. \begin{array}{c}
  92. 0\\
  93. 0\\
  94. \vdots\\
  95. 0
  96. \end{array}
  97. \right)
  98. \end{equation*}
  99. $\alpha$ таков, что $A_F * \alpha = 0$ (такой $\alpha$ всегда найдется, так как матрица прямоугольная), перемножим и применим свойство билинейности : \\
  100. \begin{equation*}
  101. \left(
  102. \begin{array}{cccc}
  103. F(v_1, w_1) & F(v_1, w_2) & \ldots & F(v_1, w_k)\\
  104. F(v_2, w_1) & F(v_2, w_2) & \ldots & F(v_2, w_k)\\
  105. \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
  106. F(v_n, w_1) & F(v_n, w_2) & \ldots & F(v_n, w_k)
  107. \end{array}
  108. \right)
  109. \left(
  110. \begin{array}{c}
  111. \alpha_1\\
  112. \alpha_2\\
  113. \vdots\\
  114. \alpha_k
  115. \end{array}
  116. \right) =
  117. \end{equation*}
  118. \begin{equation*}
  119. \left(
  120. \begin{array}{c}
  121. F(v_1, w_1)\alpha_1 + F(v_1, w_2)\alpha_2 + \ldots + F(v_1, w_k)\alpha_k\\
  122. F(v_2, w_1)\alpha_1 + F(v_2, w_2)\alpha_2 + \ldots + F(v_2, w_k)\alpha_k\\
  123. \vdots\\
  124. F(v_n, w_1)\alpha_1 + F(v_n, w_2)\alpha_2 + \ldots + F(v_n, w_k)\alpha_k
  125. \end{array}
  126. \right) =
  127. \left(
  128. \begin{array}{c}
  129. F(v_1, \alpha_1 w_1 + \alpha_2 w_2 + \ldots + \alpha_k w_k)\\
  130. F(v_2, \alpha_1 w_1 + \alpha_2 w_2 + \ldots + \alpha_k w_k)\\
  131. \vdots\\
  132. F(v_n, \alpha_1 w_1 + \alpha_2 w_2 + \ldots + \alpha_k w_k)
  133. \end{array}
  134. \right)
  135. \end{equation*}
  136. Вектор $x = \alpha_1 w_1 + \alpha_2 w_2 + \ldots + \alpha_k w_k \neq 0 \in W$ (Не равен 0, так как все коэффициенты оновременно не равны нулю и $w_i$ - вектор базиса $W$. \\
  137. Получили, что $\forall\ y = \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \ldots + \beta_n v_n\in V$ : \\
  138. $F(y, x) = \beta_1 F(v_1, x) + \dots + \beta_n F(v_n, x) = 0$, получили противоречие с условием невырожденности формы, значит матрица должна быть квадратной, значит $dim\ V = dim\ W$. \\ \\
  139. \textbf{5) Докажем, что $\mathcal{A}(P) = \mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]/AnnP$ является алгеброй с двойственностью Пуанкаре.} \\ \\
  140. Для начала докажем, что $\mathcal{A}(P)$ является алгеброй: \\
  141. Мы можем воспринимать $\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]$ - $AnnP$ как векторное пространство - подпространство, так и кольцо - идеал, поэтому у нас получается $\mathcal{A}(P)$ является одновременно и факторкольцом и факторпространством, значит оно является факторалгеброй. \\ \\
  142. Теперь дадим определение \textbf{градуированной алгебры}:
  143. Алгебра $A$ называется градуированной, если $A$ можно градуировать так, что, $A = \bigoplus_{i=0}^{\infty}A_i = A_0 \oplus A_1 \oplus A_2 \oplus \dots$, где $i$ - это степень всех элементов, входящих в $A_i$, причем если $a \in A_i$, $b \in A_j$, то $ab \in A_{i+j}$. \\ \\
  144. Дадим определение \textbf{алгебры с двойственностью Пуанкаре} - это такая алгебра $A$, которая удовлетворяет трем условиям : \\
  145. 1) $A$ можно градуировать на конечное количество $A_i$, то есть $A = \bigoplus_{i=0}^{n}A_{i}$, число $n$ называется формальной размерностью $A$ \\
  146. 2) $dimA_0 = 1$ и $dimA_n = 1$, причем $A_n \cong \mathbb{Q}$ \\
  147. 3) Умножение $A_i \times A_{n-i} \to A_n \cong \mathbb{Q}$ задает билинейную форму, причем эта форма невырождена \\ \\
  148. Докажем, что $\mathcal{A}(P)$ является алгеброй с двойственностью Пуанкаре:\\
  149. 1) Градуировать $\mathcal{A}(P)$ мы можем, в каждый $A_i$ войдут мономы степени $i$, $A_i$ будет конечно, так как степень $P = n$ \\
  150. 2) $dimA_0 = 1$, так как это будут $const$, а их пораждает $1$, $dimA_n = 1$, так как есть лишь один многочлен $Z \in \mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m]$ степени $n$, такой что $Z \notin AnnP$ и $ZP = const$ \\
  151. 3) С умножением мы разобрались в прошлых пунктах и доказали, что требуемое билинейное отображение действительно является корректным и невырожденным \\
  152. \\
  153. Разберем пример алгебры с двойственностью Пуанкаре: \\
  154. Возьмем фактор алгебру $A = \mathbb{Q}[v_1, v_2, v_3]/(v_1^2 + v_2v_3, v_2 + v_3, v_1v_2v_3)$, видно что идеал, по которому берем фактор - однородный, значит алгебра, которая получится в результате фактора - будет градиентной. Построим таблицу для удобства : \\ \\
  155. \begin{tabular}{ | c | c | c | }
  156. \hline
  157. $i$ & базис $\mathbb{Q}[v_1, v_2, v_3]_i$ & $dim\ \mathbb{Q}[v_1, v_2, v_3]_i$ \\ \hline
  158. 0 & $1$ & 1 \\
  159. 1 & $v_1, v_2, v_3$ & 3 \\
  160. 2 & $v_1^2, v_2^2, v_3^2, v_1v_2, v_2v_3, v_1v_3$ & 6 \\
  161. 3 & $v_1^3, v_2^3, v_3^3, v_1v_2^2, v_1v_3^2, v_1^2v_2, v_1^2v_3, v_2^2v_3, v_3^2v_2, v_1v_2v_3$ & 10 \\
  162. \hline
  163. \end{tabular} \\ \\
  164. Не сложно заметить, что $dim\ \mathbb{Q}[v_1, v_2, v_3]_i = \binom{2 + i}{2}$. \\ Теперь попытаемся понять какова будет размерность $A_i$. \\
  165. 1) $dimA_0 = 1$, по условию двойственности, и это правда, базисом будет $1$. \\
  166. 2) $dimA_1$. В нашем идеале $v_2 + v_3 = 0 \Rightarrow v_2 = v_3$, значит $A_1$ порождена $v_1$ и $v_2 \Rightarrow dimA_1 = 2$ \\
  167. 3) $dimA_2$. $v_1^2 + v_2v_3 = 0 \Rightarrow v_1^2 = v_2v_3$, можем так же используя многочлен из идеала меньшего порядка вывести еще несколько равенст чтобы сократить количество векторов в базисе. \begin{equation*}
  168.     \begin{cases}
  169.     v_1(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_1v_2 = v_1v_3 \\
  170.     v_2(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_2^2 = v_2v_3 \\
  171.     v_3(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_3v_2 = v_3^2
  172.     \end{cases}
  173.     \end{equation*}
  174. Получили, что $A_2$ порождают только $v_2v_3$ и $v_1v_2 \Rightarrow dimA_2 = 2$ \\
  175. 4) $dimA_3$. $v_1v_2v_3 = 0$, выведем остальные равенства.
  176. \begin{equation*}
  177.     \begin{cases}
  178.     v_1^2(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_1^2v_2 = v_1^2v_3 \\
  179.     v_2^2(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_2^3 = v_2^2v_3 \\
  180.     v_3^2(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_3^2v_2 = v_3^3 \\
  181.     v_1v_2(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_1v_2^2 = 0 \\
  182.     v_1v_3(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_1v_3^2 = 0 \\
  183.     v_2v_3(v_2 + v_3) = 0 \Rightarrow v_3v_2^2 = v_2v_3^2 \\
  184.     v_1(v_1^2 + v_2v_3) = 0 \Rightarrow v_1^3 = 0 \\
  185.     v_2(v_1^2 + v_2v_3) = 0 \Rightarrow v_1^2v_2 = v_2^2v_3 \\
  186.     v_3(v_1^2 + v_2v_3) = 0 \Rightarrow v_1^2v_3 = v_2v_3^2 \\
  187.     \end{cases}
  188. \end{equation*} \\
  189. Из равенств находим, что $A_3$ порождает только $v_2v_3^2 \Rightarrow dimA_3 = 1$ \\
  190. Если рассматривать большие $i$, то таким же методом придем к тому, что $dimA_i = 0$, при $i > 3$. Пришли к тому, что наша алгебра $A = \bigoplus_{i=0}^3A_i$, $dimA_i = 1$, при $i = 0, 3$. Можем наблюдать некую симмеричность в размерностях, этим свойством обладают все алгебры с двойственностью Пуанкаре.
  191. \\ \\  
  192. \textbf{6) Покажем, что любой фактор кольца многочленов, являющийся алгеброй с двойственностью Пуанкаре, может быть получен как $\mathcal{A}(P) = \mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m] / AnnP$ для некоторого однородного многочлена $P$, это утверждение называется двойственностью Маколея.} \\ \\
  193. Дадим определение \textbf{алгебры, порожденной компонентной:} \\
  194. Говорят, что алгера $A = \bigoplus_{i=0}^{\infty}A_i$ порождена компонентой $A_1$, если $\exists v_1, \dots, v_s \in A_1$, такие что любой элемент алгебры $A$ представляется как многочлен от $v_1, \dots, v_s$. \\
  195. Будем рассматривать нашу алгебру $\mathcal{A}(P)$ со стороны сложения как векторное пространство, покажем что из любого однородного многочлена $P$ степени $n$ можно получить алгебру с двойственностью Пуанкаре, и наоборот имея алгебру $A$ и ее порождающие $v_1, \dots, v_s$ можно получить многочлен $P$ : \\
  196. 1) $\Rightarrow$ : Пусть есть многочлен $P,\ dimP = n$. Мы знаем что $AnnP$ - идеал в кольце многочленов дифференцальных операторов, более того этот идеал однородный, так его можно породить однородными дифференциальными многочленами, поэтому при взятии фактора по однородному идеалу, мы получаем градуированную алгебру с двойственностью Пуанкаре $\mathbb{R}[\partial_1, \dots, \partial_m] / AnnP$, ее порождающими будут $\partial_1, \dots, \partial_m$ (так как любой элемент алгберы сможем представить как многочлен от этих порождающих). \\
  197. 2) $\Leftarrow$ : Пусть дана алгебра с двойственностью Пуанкаре, ее порождающие $v_1, \dots v_s$. \\
  198. Докажем лемму : $\frac{1}{n!}(c_1\partial_1 + \dots + c_m\partial_m)^nP(x_1, \dots, x_m) = P(c_1, \dots, c_m)$, $n$ - степень каждого монома в $P$. \\
  199. Суть леммы заключатеся в том, что если мы возьмем линейную комбинацию порождающих алгебры с формальной размерностью $n$, то при действии дифференциального оператора $\frac{1}{n!}(c_1v_1 + \dots + c_mv_m)^n$ на многочлен $P(x_1, \dots, x_m)$ мы получим значение этого многочлена, просто подставив в него наши коэффициенты из поля. \\
  200. Доказательство простое, можно заметить, что моном из дифференциального многочлена не обнулит только соотвествующий моном из $P$ (то есть у мономов степени соотвестующих переменных с индексом $i$ равны), факториал в знаменателе нужен для того чтобы убрать факториалы которые появляются при взятии производной от переменной. Так как мы берем производную $n$ - ого порядка, то многочлен $P$ станет числом, получим сумму чисел, каждая и которых получается при подстановке в моном из $P$ чисел $c_1 \dots, c_m$. \\
  201. Посмотрим пример : \\
  202. $\frac{1}{2!}(2\partial_1 + 3\partial_2 + \partial_3)^2(x_1^2 + 3x_1x_2 + 4x_1x_3 + 2x_3^2)$ = \\ $\frac{1}{2}(4\partial_1^2 + 12\partial_1\partial_2 + 4\partial_1\partial_3 + 9\partial_2^2 + 6\partial_2\partial_3 + \partial_3^2)(x_1^2 + 3x_1x_2 + 4x_1x_3 + 2x_3^2)$ = \\ $\frac{1}{2}(4 * 2 + 2 * 2 + 12 * 3 + 4 * 4)$ = $(4 + 2 + 6 * 3 + 2 * 4) = (2^2 + 3 * (2 * 3) + 4 * (2 * 1) + 2 * (1^2))$ - могли получить то же самое, подставив вместо $x_i$ соотвествующий $c_i$.\\
  203. Доказали то, что $\forall$ алгебры с двойственносью Пуакаре, являлющейся фактором кольца $\exists$ многочлен $P$. \\
  204.  
  205. \textbf{7) Приведем пример алгебры с двойственностью Пуанкаре, где $d_i$ будут меняться не унимодально.} \\ \\
  206. Пусть $S$ - $G$-алгебра(градуированная), $E = Hom_K(S, K)$ - множество линейных функций из $S$ в кольцо $K$, введем $R = S \times E$ - прямое произведение, элементы которого выглядят так : $(x, \phi)$, где $x \in S$, $\phi \in E$. На $R$ введена операция умножения : $(x, \phi) * (y, \psi) = (xy, x\psi + y\phi) $, операция корректна, так как сумма двух отображений - это отображение и $x\phi(y) = \phi(xy)$, где $x, y \in S$, а $\phi \in E$, по сложению $R$ является векторным пространством, так сумма двух элементов - это покомпонентное сложение, умножение на скаляр так же корректно, а с введенным умножением $R$ является алгеброй. $R$ является $k$-алгеброй(алгеброй над кольцом). Важное замечание, что $R$ может быть стандартно градуирована тогда и только тогда, когда может быть стандартно градуирована алгебра $S$, так как $S$ - это $G$-алгебра, то $R$ можно градуировать, причем градуировать так, чтобы ее функция Гильберта удовлетворяла таким равенствам:
  207. \begin{equation*}
  208.     \begin{cases}
  209.     H(R, n) = H(S, n) + H(S, s + 1 - n),\ if\ 0 \leqslant n \leqslant s + 1\\
  210.     H(R, n) = 0, \ if\ n > s + 1 \\
  211.     \end{cases}
  212. \end{equation*}
  213. Теперь возьмем $S = K[x_1, x_2, x_3]/(x_1, x_2, x_3)^4$(идеал состоит из всех мономов от переменных $x_1, x_2, x_3$ степени 4), если провести ее градуировку, и посчитать первые 4 размерности ее компонент $S_i$(как мы проделали в примере в пункте 5), то можно ввести ее функциональнальный ряд Пуанкаре с переменной $\lambda$ : $1 + 3\lambda + 6\lambda^2 + 10\lambda^3 +0\lambda^4$, коэффициенты при $\lambda^{i}$ - это $dimS_i$. Тогда функциональный ряд Пуанкаре алгебры $R$ можем посчитать, используя функцию Гильберта, получится что мы как бы перевернем функциональный ряд Пуанкаре алгебры $S$ и покомпонентно сложим с исходным рядом, (1, 3, 6, 10, 0) + (0, 10, 6, 3, 1), получим функциональный ряд $R$ : $1 + 13\lambda + 12\lambda^2 + 13\lambda^3 + 1\lambda^4$. Так как мы ввели нашу алгебру через k-алгебру, которая является градуированной, то $R$ так же градуирована и удовлетворяет условиям двойственности Пуанкаре, этот пример показывает, что не для любого идеала размерности компонент факторалгебры будут изменяться унимодально.
  214. \end{document}
RAW Paste Data
We use cookies for various purposes including analytics. By continuing to use Pastebin, you agree to our use of cookies as described in the Cookies Policy. OK, I Understand
 
Top