EDC 06/03/2012

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  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/dt^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)

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// A aula começou com uma introdução sobre a máteria, quem é o professor, bibliogra etc.
// Coloquei isso na pagina do notasdogarcia referente ao curso =].
// Depois começamos a falar sobre o que é uma Equação Diferencial:

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CONCEITO:
  Equação diferencial (ED) é uma relação entre as derivadas de uma função e a própria função.
  Ou seja, a sua variável (áquela a ser isolada), é na verdade uma função do tipo "y(x) = x² + x"

  Exemplos:

  Ex 1:
    y´t = y

  Ex 2:
    y´´t = -w0² y // onde w0 é uma constante qualquer.

  Ex 3:
    Se u = u(x,t) (função de duas variáveis)

    u´t = u´´x

CONCEITO:
  Equações diferenciais Ordinárias são EDs onde a função é função de uma única variável (como no Ex 1 e 2).

CONCEITO:
  EDs Parciais são EDs onde a função é função de mais de uma variável (como no Ex 3).

CONCEITO:
  Ordem é o número de vezes que uma função é derivada.
  Então uma função do tipo y´t tem ordem 1.
        uma função do tipo y´´t tem ordem 2. E assim por diante.
        uma função sem ser derivada no entanto tem Ordem 0, obviamente.

CONCEITO:
  Uma ED de primeira Ordem é uma ED cuja função derivada mais vezes foi derivada uma única vez, ou seja ordem 1.
  Se o maior número de derivações for 2 então a ordem é 2.

  Exemplos:
    No Ex 1 a ordem é 1.
    No Ex 2 a ordem é 2.
    No Ex 3 a ordem é 2 também.

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CONCEITO:
  Solução de uma ED é uma função. Note que nos exemplos acima nós não conhecemos o valor de y = y(x) a solução é encontrar uma função em x que
  cumpra os requesitos da equação.

  Uma solução é da forma: y(x) = x² + x

  Exemplos de solução:
    Ex 4: dada a ED: " y´t = y " uma solução é: y(t) = e^t

    Ex 5: Uma solução do Ex2 é y(t) = sen(w0 t)
          pois note que a derivada de sen(w0 t) = w0 cos(w0 t) e derivando a segunda vez temos: -w0² sen(w0 t)
          E isso satisfaz o que foi requero pela ED.

          Perceba também que o mesmo vale para cos(w0 t) ou seja, uma mesma ED pode ter mais de uma solução! Isso não acontece em equações comuns (Não diferenciais).

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(1) F(t, y, y') = 0, expressa uma relação entre os 3 elementos de F, ou seja, uma ED ordinária de primeira ordem.

CONCEITO:
  A ED (1) é linear se F é uma função linear de y e y', ou seja não há um produto entre y e y' e todos estão na potencia 1.

  Ex 6: y'=y é uma ED Ordinária (EDO) Linear de Primeira Ordem.

  Ex 7: y'= y² é uma EDO de primeira ordem, mas é não linear.

  Ex 8: y*y' = 1 é não linear.
        pode-se pensar que isso é o mesmo que:
        y = y'^(-1) como a potencia não é 1 ela é não linear.

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  Forma mais geral de se escrever uma EDO linear de primeira ordem é:

    (2) y' + p(t) y = g(t)

  Onde "p" e "g" são funções quaisquer de t.

  No Ex 1: "y' = y" qual o valor de p e de g?
            y' + -1 y = 0
            Ou seja p = -1 e g = 0.

  Vamos trabalhar muito sobre esse tipo de equação na primeira parte do curso.

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FIM DA PARTE INTRODUTORIA, Decore bem os conceitos que falei aqui pois serão amplamente usados.

INICIO DOS METODOS DE SOLUÇÃO

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CONCEITO:
  Fator integrante, é uma função µ(t) que quando multiplicada pela equação (nos dois lados) o lado esquerdo da equação (no formato "y' p y = g")
  torna-se uma derivada total.

  ou seja:
    dado y' + p y = g
    se multiplico tudo por µ(t) tenho:

    (3) µ y' + µ p y = µ g

    Agora o lado esquerdo deve ser a derivada em x de uma função H(x,y) que devemos inventar, para isso eu tenho que escolher um valor de µ que permita isso.

    Qual valor permitiria?

    Uma derivada que gera uma soma como resultado é a derivada de um produto ou seja:
      (y * µ)'
    se torna:
      µ y' + µ' y

    Tentando encaixar isso no lado esquerdo do modelo "µ y' + µ p y = µ g" teriamos:
      (4) µ p = µ'

    E perceberiamos que (4) é uma outra equação diferencial =/.
    Porém é uma fácil de resolver =].

    O professor deu pra gente a solução que é:
      µ(t) = e^(int p(t) dt)
    // Isso vale para qualquer EDO linear de primeira ordem.

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  Exercicio:

    Resolva: y' - y = 0
    Note que: p = -1 e g = 0.

    se µ = e^(int -1 dt)
       µ = e^-t

    Multiplicando ambos os lados por µ temos:

    e^-t * y' - e^-t y = e^-t * 0
    e^-t * y' - e^-t y = 0

    assim podemos concluir que o lado esquerdo é a derivada de e^-t * y.

    Se integrarmos ambos os lados, podemos substituir isso no lado esquerdo,
    e integrar 0 no lado direito e fica assim:

      e^-t * y = C // C é uma constante qualquer

    E por fim isolando y temos: y(t) = C*e^t
    Que é a solução da EDO linear ordinária.

    fácil? Esse inicio é facinho mesmo, decore isso ein!

    FATOR INTEGRANTE SÓ FUNCIONA PARA EDOs LINEARES DE 1° ORDEM (eu acho :D)

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  As duas próximas aulas serão sobre EDs Ordinárias de 1° Ordem.

  // Fim da aula.