\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\date{}

\makeatletter
\def\@seccntformat#1{%
  \expandafter\ifx\csname c@#1\endcsname\c@section\else
  \csname the#1\endcsname\quad
  \fi}
\makeatother

\title{Łukasz Maroń zadanie 2}

\begin{document}

\maketitle

\paragraph{1. Wybór parametru}
\large
$\mathbf{\alpha} = 32.3$
\paragraph{2. Równania}
$$
\begin{array}{ll}
a \oplus b = a + b + \alpha & \Rightarrow a \oplus b = a + b + 32.3\\
a \odot b = a + b + \beta ab
\end{array}
$$
\paragraph{3. Działania $\oplus$}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Łączność: $a \oplus (b\oplus c) = (a \oplus b) \oplus c$ \\
$$
L = a \oplus (b\oplus c) = a \oplus (b\oplus c + \alpha) = a + b + c + 2 \alpha = a + b + c + 64.6
$$
$$
P = (a \oplus b) \oplus c = (a \oplus b + \alpha) \oplus c = a + b + c + 2 \alpha = a + b + c + 64.6
$$
$$
L=P
$$

\item Przemienność: $a \oplus b = b \oplus a$
$$
a \oplus b = a + b + 32.3 = b + a + 32.3 = b \oplus a
$$
\item Element neutralny: $a \oplus e = e \oplus a = a$
$$
a \oplus e = a + e + \alpha = a
$$
$$
e = - \alpha
$$
$$
e = -32.3
$$
\item Elementy odwracalne: $a \oplus a' = e$
$$
a \oplus a' = a + a' + 32.3 = -32.3
$$
$$
a' = -64.6 - a
$$
Oznacza to, że każdy element jest odwracalny
\end{enumerate}
\vskip 0.3in
\paragraph{4. Działania $\odot$}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Łączność $a \odot (b \odot c) = (a \odot b) \odot c$
%
\begin{flalign}
\nonumber L &= a \odot (b \odot c) = a \odot (b + c + \beta bc) = a + b + c + \beta bc + \beta ba (b + c + \beta bc) = \\\nonumber
            &= a + b + c + \beta ab + \beta ac + \beta bc + \beta^2 abc
\end{flalign}
%
\begin{flalign}
\nonumber P &= (a \odot b) \odot c = (a + b + \beta ab) \odot c = a + b + \beta ab + c + \beta c(a + b + \beta ab) = \\\nonumber
            &= a + b + c + \beta ab + \beta ac + \beta bc + \beta^2 abc
\end{flalign}

$$
L = P
$$
\item Przemienność: $a \odot b = b \odot a$
$$
a \odot b = a + b + \beta ab = b + a + \beta ba = b \odot a
$$
\item Element neutralny: $a \odot e = e \odot a = a$
$$
a \odot e = a + e + \beta ae = a
$$
$$
e(\beta a + 1) = 0 \Rightarrow e = 0
$$
\item Rozdzielność $\odot$ względem $\oplus$
%
$$
a \odot (b \oplus c) = (a \odot b) \oplus (a \odot c)
$$
%
\begin{flalign}
\nonumber L &= a \odot (b \oplus c) = a \odot (b + c + \alpha) = a + b + c + \alpha + \beta a(b + c + \alpha) = \\\nonumber
            &= a + b + c + \alpha + \beta ab + \beta ac + \alpha \beta a
\end{flalign}
%
\begin{flalign}
\nonumber P &= (a \odot b) \oplus (a \odot c) = (a + b + \beta ab) \oplus(a + c + \beta ac) =  \\\nonumber
            &= a + b + c \alpha + \beta ab + \beta ac + \alpha \beta a
\end{flalign}
%
$$
L = P
$$
$$
\alpha \beta a = a
$$
$$
\alpha \beta = 1
$$
$$
\beta = \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{32.3} = \frac{10}{323}
$$
\item Elementy odwracalne: $a \odot a' = 0$
$$
a \odot a' = a + a' + \beta aa' = 0
$$
$$
a + a'(1 + \beta a) = 0
$$
$$
a'(1 + \beta a) = -a
$$
$$
a' = - \frac{a}{1+ \beta a}
$$
$$
\beta a \neq -1
$$
$$
a \neq - \frac{1}{\beta}
$$
$$
a \neq -1 * \frac{323}{10} \neq = -32.3
$$
Elementy odwracalne, to wszystkie oprócz $a = -32.3$
\end{enumerate}

\paragraph{Wnioski:}
Struktura jest ciałem dla $\beta = \frac{10}{323}$, ponieważ: \\
\begin{enumerate}
\item $(\mathbb{R}, \oplus)$ jest grupą abelową \\
\item $(\mathbb{R}, \odot)$ jest półgrupą  \\
\item $\odot$ jest rozdzielne względem $\oplus$ \\
\item jest pierścieniem przemiennym \\
\item jest pierścieniem z jedynką \\
\item ma dwa elementy \\
\item każdy niezerowy element jest odwracalny
\end{enumerate}

\end{document}