\documentclass[12pt,a4paper,notitlepage]{article}

\usepackage{mathtools}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{geometry}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[makeroom]{cancel}
\usepackage{soul}
\linespread{1.5}

\newgeometry{tmargin=2.5cm, bmargin=2.5cm, lmargin=3.5cm, rmargin=2.5cm}
\usepackage{graphics}
\usepackage{listings}
\usepackage{color} %red, green, blue, yellow, cyan, magenta, black, white
\definecolor{mygreen}{RGB}{28,172,0} % color values Red, Green, Blue
\definecolor{mylilas}{RGB}{170,55,241}

\usepackage{polski}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}



\author{Autor}
\title{Tytuł pracy}

\begin{document}
\lstset{language=Matlab,%
    %basicstyle=\color{red},
    breaklines=true,%
    morekeywords={matlab2tikz},
    keywordstyle=\color{blue},%
    morekeywords=[2]{1}, keywordstyle=[2]{\color{black}},
    identifierstyle=\color{black},%
    stringstyle=\color{mylilas},
    commentstyle=\color{mygreen},%
    showstringspaces=false,%without this there will be a symbol in the places where there is a space
    numbers=left,%
    numberstyle={\tiny \color{black}},% size of the numbers
    numbersep=9pt, % this defines how far the numbers are from the text
    emph=[1]{for,end,break},emphstyle=[1]\color{red}, %some words to emphasise
    %emph=[2]{word1,word2}, emphstyle=[2]{style},
}


\begin{titlepage}
\pagestyle{empty}

% \vfill
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale = 0.2]{w_uwb_kolor.eps}
\end{figure}
\begin{center}\textsc{Uniwersytet w Białymstoku}\end{center}
\begin{center}\textsc{Wydział Matematyki i Informatyki}\end{center}
% \vfill
\begin{center}
\Huge
\textsc{Metody Modelowania i Symulacji Komputerowej\\ Temat 8. Układ szeregowy R,C}
\end{center}
% \vfill\vfill
\vfill
\begin{center}
\Large
\textsc{Wykonawcy:}\\
\LARGE
\textsc{Tomasz Matuk, Paweł Moskal}
\end{center}
\vfill
\vfill
\begin{center}
\large
\textsc{Białystok, 22 maja 2019}
\end{center}
\newpage
\end{titlepage}
\newpage
\tableofcontents
\newpage

\section{Część teoretyczna}
\subsection{Wstęp}
\indent Praca dotyczy modelowania procesów i zjawisk opisanych równaniami różniczkowymi I rzędu. Układ, na którym przeprowadzono badanie jest typu wejście--stan. Wymuszenia są postaci wymuszenia skokowego i wymuszenia sinusoidalnego. Sprawozdanie zostało podzielone na dwie części. Część teoretyczną, która zawiera obliczenia dotyczące tematu pracy i część praktyczną, w której przeprowadzono model symulacyjny układu w programie Matlab(lub chuj wie jaki), a także wykresy i wnioski podsumowujące pracę.\\
\indent \textbf{Dane:} \\
Wymuszenie w postaci: $u(t) = \textbf{1}(t)$ oraz $u(t) = U_m sin(\omega t)$,\\
R = const, \\
C = var (przyjąć 3 różne wartości parametru $C: C_{1}, C_{2}, C_{3}$.\\
\indent \textbf{Szukane:}\\
$i(t), u_R (t), u_C (t)$ - przeprowadzić symulację przebiegów dla 3 różnych wartości parametru C.

\subsection{Model fizyczny}
\begin{center}
\includegraphics{modelfizyczny.eps}
\end{center}



\newpage
\indent Zmienne modelu fizycznego: \\
$i(t)$ --- natężenie prądu płynącego w obwodzie\\
$U(t)$ --- napięcie przyłożone do obwodu\\
$R$ --- rezystancja opornika\\
$C$ --- pojemność kondensatora\\
$U_R (t)$ --- napięcie na oporniku\\
$U_C (t)$ --- napięcie na kondensatorze\\


\newpage
\subsection{Model matematyczny}
Korzystając z prawa Kirchhoffa wyznaczamy model matematyczny:\\
\begin{center}
$U(t) = U_R (t) + U_C (t)$\\
\end{center}
Spadek napięcia na rezystorze:\\
\begin{center}
$U_R (t) = i_R (t) * R$\\
\end{center}
Spadek napięcia na kondensatorze:\\
\begin{center}
$U_C (t) = \frac{1}{C}\int i_C (t) dt$\\
\end{center}
\begin{center}
Po podstawieniu do równania pierwszego otrzymujemy:\\
$U(t) = i_R (t) * R + \frac{1}{C}\int i_C (t) dt$\\
\end{center}

\subsubsection{Rozwiązanie modelu matematycznego z wykorzystaniem rachunku operatorowego}
\indent Dla wymuszenia $u(t) = U_m \sin(\omega t)$\\
\begin{center}
$U*\frac{\omega}{s^2 + \omega^2} = R*I(s)+\frac{1}{s*C}*I(s)$\\
$I(s)*(R+\frac{1}{s*C})=U*\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}  |:(R + \frac{1}{s*C})$\\
$I(s)=\frac{\frac{U*\omega}{s^2 + \omega^2}}{R+\frac{1}{s*C}}=\frac{U*\omega*s}{(s^2 + \omega^2)(s*R+\frac{1}{C})}=\frac{U\omega}{R}*s\left(\frac{1}{(s^2 + \omega^2)(s+\frac{1}{RC})}\right)$\\
\end{center}
Wykorzystujemy wzór z tablicy transformat Laplace'a:\\
\begin{center}
$\frac{1}{(s^2 + \omega^2)(s + \frac{1}{\tau})} \Longleftrightarrow \frac{1}{\omega \sqrt{(\frac{1}{\tau})^2 + \omega^2}}*\left[e^\frac{-t}{\tau} \sin\theta + \sin(\omega t - \theta)\right]$\\
, gdzie $\theta = \arcsin\left(\frac{\omega}{\sqrt{\frac{1}{T}^2 + \omega^2}}\right)$ i $\tau = R * C$\\
\end{center}
Korzystamy z zależności: \\
\begin{center}
$s * F(s) \Longleftrightarrow \frac{df}{dt}$\\
\end{center}
\newpage
Prąd płynący w układzie: \\
\begin{center}
$i(t) = \frac{U\omega}{R}*\frac{df}{dt}=\frac{U\omega}{R}*\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\omega\sqrt{\frac{1}{\tau}^2 + \omega^2}}*\left[e^\frac{-t}{\tau} * \sin\theta + \sin(\omega t - \theta)\right]   \right) =$\\
$=\frac{U}{R} *\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\tau}^2 +\omega^2}} *\left[-e^\frac{-t}{\tau} *\frac{1}{\tau} \sin(\omega t- \theta) *\omega \right]=$\\
$=\frac{U}{R} *\frac{1}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}}*\left[-e^\frac{-t}{\tau} *\sin\theta+\cos(\omega t-\theta)*\omega\tau\right]$\\
\end{center}
Napięcie na rezystorze:
\begin{center}
$U_R = R*i(t)=R*\frac{U}{R} *\frac{1}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}} *\left[-e^\frac{-t}{\tau} \sin\theta+\cos(\omega t-\theta)*\omega\tau\right]   $\\
\end{center}
Napięcie na kondensatorze:
\begin{center}
$U_C = \frac{1}{C} \int\limits_{c}^{t} i(t)dt=\frac{U}{RC} *\frac{1}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}} \int\limits_{0}^{x} -e^\frac{-t}{\tau} \sin\theta dt + \int\limits_{0}^{x} \cos(\omega t-\theta) * \omega\tau dt =$\\
$\frac{U}{RC} *\frac{1}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}} \sin\theta \int\limits_{0}^{x} -e^\frac{-t}{\tau} dt+ \omega\tau \int\limits_{0}^{x} \cos(\omega t -\theta) dt =$\\
$=\frac{U}{RC} *\frac{1}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}} \tau \sin\theta(-e^\frac{-t}{\tau} -1)+\omega\tau\left(\frac{\sin\theta-\sin(\theta-\omega t)}{\omega}\right)   $\\
\end{center}

\newpage
\indent Dla wymuszenia $u(t) = \textbf{1}(t)$\\
\begin{center}
$R*i(t)+\frac{1}{C}\int i dt - \textbf{1}(t)=0  $\\
$R*I(s)+\frac{1}{s*C}*I(s)=\frac{1}{s}   $\\
$I(s)*\left(R+\frac{1}{s*C}\right)=\frac{1}{s}  $\\
$I(s)=\frac{1}{s\left(R+\frac{1}{s*C}\right)} |*s   $\\
$I(s)=\frac{1}{R*s+\frac{1}{C}} |:R   $\\
$I(s)=\frac{1}{R\left(s+\frac{1}{RC}\right)}   $\\
$I(s)=\frac{1}{R}*\frac{1}{\left(s+\frac{1}{RC}\right)}  $\\
\end{center}
Prąd płynący w układzie:\\
\begin{center}
$i(t)=\frac{1}{R}*e^{-t\tau} $\\
\end{center}
Napięcie na rezystorze:\\
\begin{center}
$U_R = R*\frac{1}{R}*e^-t\tau=e^{-t\tau}    $\\
\end{center}
Napięcie na kondensatorze:\\
\begin{center}
$U_C = \frac{1}{C}\int\limits_{0}^{t} i(t)dt=\frac{1}{C}\int\limits_{0}^{t} \frac{1}{R}*e^{t\tau} dt=   \frac{1}{RC} *\left(-e^{t\tau}+1\right)=1-e^{-t\tau}  $\\
\end{center}





\newpage
\section{Część praktyczna}
\subsection{Kod źródłowy programu symulacyjnego}
\indent Przyjęte parametry dla impulsu skokowego $u(t)=\textbf{1}(t)$, to: $R = 10\Omega, C1 = 5\mu F, C2 = 9\mu F, C3 = 12\mu F $.\\
\indent Dla wymuszenia sinusoidalnego $u(t) = U_m * \sin(\omega t)$, przyjęto: $R = 5\Omega, C1 = 5\mu F, C2 = 8\mu F, C3 = 10\mu F$.
\subsubsection{Dla impulsu skokowego $u(t)=\textbf{1}(t)$}
Kod dla $i(t)$\\
\begin{lstlisting}[language=Matlab]
w = 2 * pi * 50;
R = 10;
C1 = 0.0005;
C2 = 0.0009;
C3 = 0.0012;
m = 1000;
n = 0.001;

T = R*C1;
t = 0:T/n:m;
it = 1/R * exp(-t*T);
plot(t,it,'b');
hold on

T = R*C2;
t = 0:T/n:m;
it2 = 1/R * exp(-t*T);
plot(t,it2,'r--');
hold on

T = R*C3;
t = 0:T/n:m;
it3 = 1/R * exp(-t*T);
plot(t,it3,'g:');
legend('C1 : 5 nmu F' ,'C2 : 9 nmu F' ,'C3 : 12 nmu F');
xlabel('t');
ylabel('i(t)');
hold off
\end{lstlisting}
\hspace{2cm}

Kod dla $U_R(t)$\\
\begin{lstlisting}[language=Matlab]
w = 2 * pi * 50;
R = 10;
C1 = 0.0005;
C2 = 0.0009;
C3 = 0.0012;
m = 1000;
n = 0.001;

T = R*C1;
t = 0:T/n:m;
ur = exp(-t*T);
plot(t,ur,'b');
hold on

T = R*C2;
t = 0:T/n:m;
ur2 = exp(-t*T);
plot(t,ur2,'r--');
hold on

T = R*C3;
t = 0:T/n:m;
ur3 = exp(-t*T);
plot(t,ur3,'g:');
legend('C1 : 5 nmu F' ,'C2 : 9 nmu F' ,'C3 : 12 nmu F');
xlabel('t');
ylabel('U_(R)');
hold off
\end{lstlisting}
\hspace{2cm}

Kod dla $U_C(t)$\\
\begin{lstlisting}[language=Matlab]
w = 2 * pi * 50;
R = 10;
C1 = 0.0005;
C2 = 0.0009;
C3 = 0.0012;
m = 1000;
n = 0.001;

T = R*C1;
t = 0:T/n:m;
uc = 1 - exp(-t*T);
plot(t,uc,'b');
hold on

T = R*C2;
t = 0:T/n:m;
uc2 = 1 - exp(-t*T);
plot(t,uc2,'r--');
hold on

T = R*C3;
t = 0:T/n:m;
uc3 = 1 - exp(-t*T);
plot(t,uc3,'g:');
legend('C1 : 5 nmu F' ,'C2 : 9 nmu F' ,'C3 : 12 nmu F');
xlabel('t');
ylabel('U_{C}(t)');
hold off
\end{lstlisting}
\hspace{2cm}



\subsubsection{Dla wymuszenia sinusoidalnego $u(t) = U_m * \sin(\omega t)$}
Kod dla $i(t)$\\
\begin{lstlisting}[language=Matlab]
w = 2 * pi * 50;
R = 5;
C1 = 0.0005;
C2 = 0.0008;
C3 = 0.0010;
m = 50;
n = 100;
U = 1;

T = R*C1;
t = 0:T/n:m*2*C3;
A = asin(w/(sqrt((1/T).^2 + w.^2))) ;
it = U/R *(1/(sqrt(1+(w*T).^2))) * (-exp(-t/T) * sin(A) + cos(w*t-A)*w*T);
plot(t,it,'b');
hold on

T = R*C2;
t = 0:T/n:m*2*C3;
A = asin(w/(sqrt((1/T).^2 + w.^2)));
it2 = U/R * (1/(sqrt(1+(w*T).^2))) * (-exp(-t/T) * sin(A) + cos(w*t - A) *w*T);
plot (t,it2,'r--')
hold on

T = R*C3;
t = 0:T/n:m*2*C3;
A = asin(w/(sqrt((1/T).^2 + w.^2)));
it3 = U/R * (1/(sqrt(1+(w*T).^2)))*(-exp(-t/T) * sin(A) + cos(w*t - A)*w*T);
plot(t, it3, 'g: ')
legend('C1 : 5 nmu F' ,'C2 : 8 nmu F' ,'C3 : 10 nmu F');
xlabel('t');
ylabel('i(t)');
hold off
\end{lstlisting}
\hspace{2cm}

Kod dla $U_R (t)$\\
\begin{lstlisting}[language=Matlab]
w = 2 * pi * 50;
R = 5;
C1 = 0.0005;
C2 = 0.0008;
C3 = 0.0010;
m = 50;
n = 100;
U = 1;

T = R*C1;
t = 0:T/n:m*2*C1;
A = asin(w/(sqrt((1/T).^2 + w.^2)));
ur = U*(1/(sqrt(1+(w*T).^2))) * (-exp(-t/T) * sin(A) + cos(w*t - A)*w*T);
plot(t,ur,'b');
hold on

T = R*C2;
t = 0:T/n:m*2*C2;
A = asin(w/(sqrt((1/T).^2 + w.^2)));
ur2 = U * (1/(sqrt(1+(w*T).^2))) * (-exp(-t/T) * sin(A) + cos(w*t - A) *w*T);
plot (t,ur2,'r--')
hold on

T = R*C3;
t = 0:T/n:m*2*C3;
A = asin(w/(sqrt((1/T).^2 + w.^2)));
ur3 = U * (1/(sqrt(1+(w*T).^2))) * (-exp(-t/T) * sin(A) + cos(w*t - A)*w*T);
plot(t, ur3, 'g: ')
legend('C1 : 5 nmu F' ,'C2 : 8 nmu F' ,'C3 : 10 nmu F');
xlabel('t');
ylabel('U_{R}(t)');
hold off
\end{lstlisting}
\hspace{2cm}

Kod dla $U_C (t)$\\
\begin{lstlisting}[language=Matlab]
w = 2 * pi * 50;
R = 5;
C1 = 0.0005;
C2 = 0.0008;
C3 = 0.0010;
m = 50;
n = 100;
U = 1;

T = R*C1;
t = 0:T/n:m*2*C3;
A = asin(w/(sqrt((1/T).^2 + w.^2))) ;
uc = U *(1/(sqrt(1+(w*T).^2))) * (-exp(-t/T) * sin(A) + sin(w*t-A)*w*T);
plot(t,uc,'b');
hold on

T = R*C2;
t = 0:T/n:m*2*C3;
A = asin(w/(sqrt((1/T).^2 + w.^2)));
uc2 = U * (1/(sqrt(1+(w*T).^2))) * (-exp(-t/T) * sin(A) + sin(w*t - A) *w*T);
plot (t,uc2,'r--')
hold on
T = R*C3;

t = 0:T/n:m*2*C3;
A = asin(w/(sqrt((1/T).^2 + w.^2)));
uc3 = U * (1/(sqrt(1+(w*T).^2)))*(-exp(-t/T) * sin(A) + sin(w*t - A)*w*T);
plot(t, uc3, 'g: ')
legend('C1 : 5 nmu F' ,'C2 : 8 nmu F' ,'C3 : 10 nmu F');
xlabel('t');
ylabel('U_{C}(t)');
hold off
\end{lstlisting}


\newpage
\subsection{Wykresy uzyskane z przeprowadzonej symulacji działania utworzonego modelu układu I rzędu.}
\subsubsection{Dla impulsu skokowego $u(t)=\textbf{1}(t)$}
Dla $i(t)$:
\begin{center}
\includegraphics{jedynkaDlai(t).eps}
\end{center}

Dla $U_R (t)$:
\begin{center}
\includegraphics{jedynkaDlaiUrt.eps}
\end{center}

Dla $U_C (t)$:
\begin{center}
\includegraphics{jedynkaDlaiUct).eps}
\end{center}


\subsubsection{Dla wymuszenia sinusoidalnego $u(t) = U_m * \sin(\omega t)$}
Dla $i(t)$:
\begin{center}
\includegraphics{sinDlai(t).eps}
\end{center}

Dla $U_R (t)$:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{sinDlaUr(t).eps}
\end{center}

Dla $U_C (t)$:
\begin{center}
\includegraphics{sinDlaUc(t).eps}
\end{center}


\newpage
\subsection{Wnioski i uwagi z badania modelu}
\indent W obu przypadkach przyjęto stałą częstotliwość 50Hz. Wykresy dla $u(t)=\textbf{1}(t)$ wskazują, że na początku osiąga się maksymalny prąd, po czym dąży on do zera.
Kolejny wykres pokazuje zachowanie opornika, który również z maksymalnego napięcia, dąży do zera. Ostatni przedstawiony wykres pokazuje napięcie na kondensatorze, które wraz z ładowaniem w czasie kondensatora wzrasta. Osiaga ono maksimum, w momencie naładowania w pełni kondensatora.
Czas naładowania kondensatora można zmniejszyć stosując większy opornik, na przykład o rezystancji
$1000\Omega$. \\

\indent Dla wymuszenia sinusoidalnego $u(t) = U_m * \sin(\omega t)$ Rycina 4 wskazuje, że dla jednego okresu zmienia się amplituda prądu. Zależne jest to od pojemności kondensatora i rezystancji opornika.
Wykres napięcia na rezystorze jest identyczny do natężenia pradu dla parametrów, które przyjęto.
Amplitudy i okres delikatnie się różnią.Dobór większego kondensatora zmniejszyłby wysokość amplitudy
i zwiększyłby okres napięcia i natężenia. Wynika to z tego, iż większy kondensator potrzebuje więcej pradu, aby go naładować jak i rozładować.
\end{document}