Таблица А: събиране на два бита

Събираеми | 0+0 | 0+1 | 1+0 | 1+1
-----------------------------------
Сума      |  0  |  1  |  1  |  0
Пренос    |  0  |  0  |  0  |  1

Таблица Б: изваждане на два бита

Изваждане | 0−0 | 1−0 | 1−1 | 0−1
-----------------------------------
Резултат  |  0  |  1  |  0  |  1
Заем      |  0  |  0  |  0  |  1

==================================================

2. Събиране в двоична система

Задача А:

1)
   1 1 1   (пренос)
   1 0 1 0 (2)
+  0 1 1 1 (2)
-----------
 1 0 0 0 1 (2)

Проверка: 1010(2) = 10(10), 0111(2) = 7(10) -> 10 + 7 = 17(10) = 10001(2)

2)
 1   1 1   (пренос)
   1 1 0 1 (2)
+  1 0 0 1 (2)
-----------
 1 0 1 1 0 (2)

Проверка: 1101(2) = 13(10), 1001(2) = 9(10) -> 13 + 9 = 22(10) = 10110(2)

3)
 1 1 1 1 1 (пренос)
   1 1 1 1 1 (2)
+  0 0 0 0 1 (2)
-------------
 1 0 0 0 0 0 (2)

Проверка: 11111(2) = 31(10), 00001(2) = 1(10) -> 31 + 1 = 32(10) = 100000(2)

4)
 1 1 1     (пренос)
   1 0 1 1 0 (2)
+  0 1 1 0 1 (2)
-------------
 1 0 0 0 1 1 (2)

Проверка: 10110(2) = 22(10), 01101(2) = 13(10) -> 22 + 13 = 35(10) = 100011(2)

5)
 1 1 1 1   (пренос)
     1 1 1 1 (2)
+    1 1 1 1 (2)
-------------
   1 1 1 1 0 (2)

Проверка: 1111(2) = 15(10) -> 15 + 15 = 30(10) = 11110(2)

==================================================

3. Изваждане в двоична система

Задача Б:

1)
   0 1 1 10 (заем)
   1 1 0 0 (2)
-  0 1 0 1 (2)
-----------
   0 1 1 1 (2)

Проверка: 1100(2) = 12(10), 0101(2) = 5(10) -> 12 - 5 = 7(10) = 0111(2)

2)
 0 1 1 1 10 (заем)
 1 0 0 0 0 (2)
-0 0 0 0 1 (2)
-----------
 0 1 1 1 1 (2)

Проверка: 10000(2) = 16(10), 00001(2) = 1(10) -> 16 - 1 = 15(10) = 01111(2)

3)
   0 10 0 10 (заем)
   1 0 1 0 (2)
-  0 1 1 1 (2)
-----------
   0 0 1 1 (2)

Проверка: 1010(2) = 10(10), 0111(2) = 7(10) -> 10 - 7 = 3(10) = 0011(2)

4)
       0 10 (заем)
   1 1 0 1 1 (2)
-  1 0 1 1 0 (2)
-------------
   0 0 1 0 1 (2)

Проверка: 11011(2) = 27(10), 10110(2) = 22(10) -> 27 - 22 = 5(10) = 00101(2)

==================================================

4. Умножение в двоична система

Задача В:

1)
     1 1 0 (2)
   x   1 1 (2)
   -------
     1 1 0
+  1 1 0
----------
  1 0 0 1 0 (2)

Проверка: 110(2) = 6(10), 11(2) = 3(10) -> 6 * 3 = 18(10) = 10010(2)

2)
       1 0 1 (2)
     x 1 0 1 (2)
     -------
       1 0 1
     0 0 0
+  1 0 1
------------
   1 1 0 0 1 (2)

Проверка: 101(2) = 5(10) -> 5 * 5 = 25(10) = 11001(2)

3)
     1 1 1 (2)
   x   1 0 (2)
   -------
     0 0 0
+  1 1 1
----------
   1 1 1 0 (2)

Проверка: 111(2) = 7(10), 10(2) = 2(10) -> 7 * 2 = 14(10) = 1110(2)

4)
       1 0 1 1 (2)
     x     1 1 (2)
     ---------
       1 0 1 1
+    1 0 1 1
--------------
   1 0 0 0 0 1 (2)

Проверка: 1011(2) = 11(10), 11(2) = 3(10) -> 11 * 3 = 33(10) = 100001(2)

==================================================

5. Деление в двоична система

Задача Г:

1) 1100(2) : 11(2)
 1100 : 11 = 100
-11
---
  000
Частно: 100(2)
Остатък: 0

Проверка: 1100(2) = 12(10), 11(2) = 3(10) -> 12 : 3 = 4(10) = 100(2)

2) 10101(2) : 101(2)
 10101 : 101 = 100
-101
----
   001
Частно: 100(2)
Остатък: 1(2)

Проверка: 10101(2) = 21(10), 101(2) = 5(10) -> 21 : 5 = 4 с ост. 1 -> 4(10) = 100(2), ост. 1

3) 11110(2) : 110(2)
 11110 : 110 = 101
-110
----
  00110
  - 110
  -----
      0
Частно: 101(2)
Остатък: 0

Проверка: 11110(2) = 30(10), 110(2) = 6(10) -> 30 : 6 = 5(10) = 101(2)

==================================================

6. Смятане в осмична и шестнайсетична система

Задача Д: осмична система

1) 34(8) + 17(8)
- 4 + 7 = 11(10) = 1 осмица и 3 остатък -> пишем 3, пренос 1
- 3 + 1 + 1 (пренос) = 5
Резултат: 53(8)
Проверка: 34(8) = 28(10), 17(8) = 15(10) -> 28 + 15 = 43(10) = 53(8)

2) 62(8) - 25(8)
- 2 < 5 -> взимаме заем 8 -> (2 + 8) - 5 = 5
- (6 - 1) - 2 = 3
Резултат: 35(8)
Проверка: 62(8) = 50(10), 25(8) = 21(10) -> 50 - 21 = 29(10) = 35(8)

Задача Е: шестнайсетична система

1) 2F(16) + 1C(16)
- F = 15, C = 12
- 15 + 12 = 27(10) = 16 + 11(10) -> 11(10) е B, пренос 1
- 2 + 1 + 1 (пренос) = 4
Резултат: 4B(16)
Проверка: 2F(16) = 47(10), 1C(16) = 28(10) -> 47 + 28 = 75(10) = 4B(16)

2) 7A(16) - 3E(16)
- A = 10, E = 14
- 10 < 14 -> заем 16 -> (10 + 16) - 14 = 12(10) = C
- (7 - 1) - 3 = 3
Резултат: 3C(16)
Проверка: 7A(16) = 122(10), 3E(16) = 62(10) -> 122 - 62 = 60(10) = 3C(16)

==================================================

7. Смесено предизвикателство

1)
- 101(2) + 110(2) = 1011(2) (5 + 6 = 11)
- 1011(2) * 10(2) = 10110(2)
Проверка: 101(2)=5, 110(2)=6 -> 5+6=11. 10(2)=2 -> 11*2=22. 10110(2) = 16+4+2 = 22(10).

3) Грешката в 1010(2) - 0011(2) = 0111(2):
Резултатът 0111(2) всъщност е точно верният (10 - 3 = 7). Ако в условието решението се счита за грешно, то е защото при заемането е записано грешно прехвърляне на битовете, но математически крайният резултат е 0111(2) (7 в 10-ична).

5) Пример за 4-битово събиране с пренос на всяка позиция:
1111(2) + 0001(2)

 1 1 1 1   (пренос)
   1 1 1 1 (2)
+  0 0 0 1 (2)
-----------
 1 0 0 0 0 (2)

Обяснение: На най-малкия бит 1+1=0 с пренос 1. Всеки следващ бит получава пренос и прави 1+0+1=0 с нов пренос 1, докато преносът не излезе като 5-ти бит най-отпред.