distribusipanas

\textbf{Penyelesaian :}\\
Masalah syarat batas itu dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :
\begin{enumerate}
\item \textbf{Separasi Variabel}, Jika penyelesaiannya
\begin{equation}
U(x,t) = X(x) T(t)
\end{equation}
maka
\begin{eqnarray}
U_x &=& X'T, \qquad U_{xx} = X''T\\
U_t &=& XT'\\
\end{eqnarray}
Dengan menggunakan diperoleh $XT''=a^2 X''T$ sehingga diperoleh
\begin{equation}
\frac{X''}{X} = \frac{T''}{a^2 T} = -\alpha^2(\text{\, supaya mempunyai solusi/osilasi})
\end{equation}
\item Persamaan diferensial biasa
\begin{eqnarray}
X''+ \alpha^2 X    &=&0\\
T''+ \alpha^2 a^2T &=&0
\end{eqnarray}
\item Syarat batas homogen. Dengan menggunakan diperoleh
\begin{equation}
0 = U(0,t) = X(0)T(t) = 0(\text{\, Jika\, } T(t)=0\text{\, maka mempunyai penyelesaian trivial})
\end{equation}
Karena $T(t)\neq 0$ maka $X(0)=0$
\item Persamaan diferensial dalam $X$
\begin{equation}
X''+ \alpha^2 X= 0, X(0)=0
\end{equation}
Penyelesaian umum :
\begin{eqnarray*}
X(x) &=& c_1 \cos \alpha x + c_2 \sin \alpha x \\
X(0) &=& c_1 \cos 0 + c_2 \sin 0 =0 \\
  c_1&=& 0
\end{eqnarray*}
Akibatnya,
\begin{equation}
X_{\alpha}(x) = \sin \alpha x, \alpha>0
\end{equation}
\item Persamaan diferensial dalam $T$
\begin{eqnarray*}
T' + \alpha^2 a^2 T = 0
\end{eqnarray*}
Penyelesaiannya :
\begin{equation}
T_{\alpha}(t) = e^{-\alpha^2 a^2 t}
\end{equation}
\item Himpunan penyelesaian
\begin{eqnarray*}
U_{\alpha} (x,t) &=& X_{\alpha}(x) T_{\alpha}(t)\\
                 &=& e^{-\alpha^2 a^2 t} \sin \alpha x , \alpha >0
\end{eqnarray*}
\item Superposisi integrasi
\begin{eqnarray}
U(x,t) = \int_0^{\infty} B(\alpha) e^{-\alpha^2 a^2 t} \sin \alpha x \text{\, d}\alpha, \alpha >0
\end{eqnarray}
Karena $U(x,0)=f(x)$,
\begin{equation}
f(x) = \int_0^{\infty}B(\alpha) \sin \alpha x \text{\, d}\alpha
\end{equation}
dengan
\begin{equation}
B(\alpha) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} f(z) \sin \alpha z \text{\, d}z
\end{equation}
Jadi,
\begin{equation}
U(x,t) = \int_0^{\infty} B(\alpha) e^{-\alpha^2 a^2 t} \sin \alpha x \text{\, d} \alpha
\end{equation}
dengan
\begin{equation}
B(\alpha)= \int_0^{\infty} f(z) \sin \alpha z \text{\, d} z
\end{equation}
\end{enumerate}