(%i1) a : c / (1 - e^2);
                                      c
(%o1)                               ------
                                         2
                                    1 - e
(%i2) b : c / sqrt(1 - e^2);
                                      c
(%o2)                            ------------
                                           2
                                 sqrt(1 - e )
(%i3) d : a * e;
                                     c e
(%o3)                               ------
                                         2
                                    1 - e
(%i4) r : c / (1 + e * cos(t));
                                      c
(%o4)                            ------------
                                 e cos(t) + 1
(%i5) x : d + r * cos(t);
                               c cos(t)      c e
(%o5)                        ------------ + ------
                             e cos(t) + 1        2
                                            1 - e
(%i6) y : r * sin(t);
                                   c sin(t)
(%o6)                            ------------
                                 e cos(t) + 1
(%i7) trigsimp(x^2/a^2 + y^2/b^2);
(%o7)                                  1