# P(A) = 3/6 = 1/2
# P(B) = 4/6 = 2/3
# P(AB) = 2/6 = 1/3
#
# Zdarzenia są od siebie niezależne, gdy
# P(AB) = P(A) * P(B), a zatem
# P(A) * P(B) = 2/6 = 1/3 = P(AB)

# Przestrzeń zdarzeń
univ <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6)

# Prawdopodobieństwa wyznaczone analitycznie
Pa <- 1/2    # P(A)
Pb <- 2/3    # P(B)
Pab <- 1/3   # P(AB)
Pa_Pb <- 1/3 # P(A) * P(B)

# Wybór 3 losowych prób o długościach 10, 100 i 1000
n_10_sample <- sample(x = univ, size = 10, replace = TRUE)
n_100_sample <- sample(x = univ, size = 100, replace = TRUE)
n_1000_sample <- sample(x = univ, size = 1000, replace = TRUE)

# Utworzenie odpowiednich struktur i empiryczne wyznaczenie prawdopodobieństw wyrzucenia każdego z oczek dla 3 prób
df_n_10_sample <- data.frame(table(n_10_sample))
df_n_100_sample <- data.frame(table(n_100_sample))
df_n_1000_sample <- data.frame(table(n_1000_sample))

df_n_10_sample_prob <- cbind(df_n_10_sample, prop.table(df_n_10_sample$Freq))
df_n_100_sample_prob <- cbind(df_n_100_sample, prop.table(df_n_100_sample$Freq))
df_n_1000_sample_prob <- cbind(df_n_1000_sample, prop.table(df_n_1000_sample$Freq))

names(df_n_10_sample_prob) <- c("Result", "Freq", "Prob")
names(df_n_100_sample_prob) <- c("Result", "Freq", "Prob")
names(df_n_1000_sample_prob) <- c("Result", "Freq", "Prob")

# Empiryczne wyznaczenie P(A)
Pa_emp_10 <- df_n_10_sample_prob$Prob[2] + df_n_10_sample_prob$Prob[4] + df_n_10_sample_prob$Prob[6]
Pa_emp_100 <- df_n_100_sample_prob$Prob[2] + df_n_100_sample_prob$Prob[4] + df_n_100_sample_prob$Prob[6]
Pa_emp_1000 <- df_n_1000_sample_prob$Prob[2] + df_n_1000_sample_prob$Prob[4] + df_n_1000_sample_prob$Prob[6]

# Empiryczne wyznaczenie P(B)
Pb_emp_10 <- df_n_10_sample_prob$Prob[1] + df_n_10_sample_prob$Prob[2] + df_n_10_sample_prob$Prob[3] +  df_n_10_sample_prob$Prob[4]
Pb_emp_100 <- df_n_100_sample_prob$Prob[1] + df_n_100_sample_prob$Prob[2] + df_n_100_sample_prob$Prob[3] +  df_n_100_sample_prob$Prob[4]
Pb_emp_1000 <- df_n_1000_sample_prob$Prob[1] + df_n_1000_sample_prob$Prob[2] + df_n_1000_sample_prob$Prob[3] +  df_n_1000_sample_prob$Prob[4]

# Empiryczne wyznaczenie P(AB)
Pab_emp_10 <- df_n_10_sample_prob$Prob[2] + df_n_10_sample_prob$Prob[4]
Pab_emp_100 <- df_n_100_sample_prob$Prob[2] + df_n_100_sample_prob$Prob[4]
Pab_emp_1000 <- df_n_1000_sample_prob$Prob[2] + df_n_1000_sample_prob$Prob[4]

# Empiryczne wyznaczenie P(A) * P(B)
Pa_Pb_emp_10 <- Pa_emp_10 * Pb_emp_10
Pa_Pb_emp_100 <- Pa_emp_100 * Pb_emp_100
Pa_Pb_emp_1000 <- Pa_emp_1000 * Pb_emp_1000

# Empiryczne sprawdzenie niezależnosci zdarzeń A i B
all.equal(Pab_emp_10, Pa_Pb_emp_10) # Mean relative diffrence: 0.2
all.equal(Pab_emp_100, Pa_Pb_emp_100) # Mean relative diffrence: 0.08
all.equal(Pab_emp_1000, Pa_Pb_emp_1000) # Mean relative difference: 0.002073846