//Aqui capturo la fecha, esta puesta la variable como Date
private recogerFecha(value: Date) {
    this.setState({
      FechaBriefCampanya: value
    });

  }

//Método por el que filtro
private async getCampaign(): Promise<any[]> {

    let cadFechaInicio = "<Leq><FieldRef Name='CampoFechaInicio' /><Value Type='DateTime'>" + this.state.FechaInicio.toISOString().split('T')[0] + "</Value></Leq>";
    let cadFechaFin = "<Geq><FieldRef Name='CampoFechaFin' /><Value Type='DateTime'>" + this.state.FechaFin.toISOString().split('T')[0] + "</Value></Geq>";


    console.log(cadFechaInicio);
    console.log(cadFechaFin);

    let listItems = await sp.web.lists.getByTitle('NombreLista').getItemsByCAMLQuery(
      {
        ViewXml:
          "<View><Query><Where>" + cadFechaInicio + cadFechaFin + "</Where></Query></View>"
      }
    );
    console.log(listItems);
}

<DatePicker firstDayOfWeek={DayOfWeek.Monday} strings={DayPickerStrings} showWeekNumbers={false} firstWeekOfYear={1} showMonthPickerAsOverlay={true}
            value={this.state.FechaBriefCampanya} onSelectDate={this.recogerFecha} formatDate={this._onFormatDate} />