towns

var towns = []
i = 0 // let пропустили. var вже морально застарів краще завжди let
while (i < 10) {
    towns[i] = prompt("Введіть назву міста")
    i++
}
var yourtown = prompt("Ваше рідне місто") /* я вже писав вам щодо camelCase принципу побудови імен, навіщо вам
                                                     рев'ю, якщо ви не прислуховуєтесь до порад? */
var j = 0
while (j <= towns.length) { // дивний цикл, на скільки ітерацій розраховуєте?  А скільки робить? Залогуйте кожну так:
    console.log('це ітерація коли j = ' + j + ' порівняємо місто ' + towns[j] + ' з рідним ' + yourtown);
    if (towns[j] == yourtown) {
        console.log("я знаю твоє місто")
    } else {
        console.log("я не знаю твого міста")
    }
    break // таке враження що ви хотіли щось зробити правильне, і знали чим, але не розібралися з логікою, а просто застосували це.
    j++
}
// Гарного коду!