{r, d, p, q} + {binom, geom, nbinom ... разпределения}

1) r - геренатор на случайни числа
rbinom(x=broiSluchainiVelichiniDaSeGenerirat, n, p)

> rbinom(10, 1, 0.5), 10 опита за хвърляне на една монета с успех 0,5
> rbinom(1, 10, 0.5), 1 опит за хвърляне на 10 монети с вер за успех 0,5, връща брой успехи

> rbinom(3, 10, 0.5) - 3 пъти хвърляне на 10 монети с вер за успех 0,5


2) dbinom(x, n, p), получава xi - връща pi
P(X=xi)

> dbinom(3, 10, 0.5)- вероятността при 10 опита с вер за успех 0,5, да има 3 единици
> pr = dbinom(0:10, 10, 0.5), вероятността да има к е {0...10} успеха при 10 опита с вер за успеф 0,5

------------------------
Fx(Qalpha) = P(X < Qalpha) = alpha

pbinom(q, n, p) = P(X <= q), X e Bi(n, p)
в R P(X <= xi)

> pbinom(3, 10, 0.5)
вероятността при 10 опита с вер за успех 0,5, да има не повече от 3 успеха
> sum(pr[1:4])

>pbinom(3, 10, 0.5, lower.tail = F)

qbinom(alpha, n, p) = P(X <= Qalpha) = alpha

> qbinom(0.6, 10, 0.5), обратната на pbinom

1 зад)
X e Bi(30, 1/6)
P(X < 5) = 0.4243389
> pbinom(4, 30, 1/6)

> X = rbinom(100, 30, 1/6)
> s = sum(X < 5)

теоритичната вероятност: 42
другата s / броя на опитите

последния въпрос:

> pbinom(4, 30, 1/6)
> qbinom(0.25, 30, 1/6)

> pbinom(3, 30, 1/6)
0.23
значи за повече от 3 ще е 0,77
значи отговора ще е 3

------------------------------------
Схема на Бернули с n опита с вер за успех p

Х = броят на неуспехите до първия успех
X e Ge(p)
геометрично разпределение

X = броят на неуспехите до к-ти успех
X e NB(k, p), k e Z
отрицателно биномно разпределение

k = 1 -> X e Ge(p)

2 zad)
направил е 8 изстрела
010....1
--------
последния задължително трябва да е 1

1 nachin)
X e NB(3, 0.2), брой неуспехи до третия успех
P(X = 5) = ?


2 nachin)
Y e Bi(7, 0.2)
P(Y = 2) = ?
P(Y = 2) * 0.2 е отговора, съвпада с горния

a)
> dnbinom(5, 3, 0.2)        //purvi nachin
> dbinom(2, 7, 0.2) * 0.2   //vtori nachin

b)
X = броя на неуспехите до 3ти успех
P(X > 3)

> 1 - pnbinom(3, 3, 0.2)
> pnbinom(3, 3, 0.2, lower.tail = F) //друг начин

c)
P(2 <= X <= 5), X е броят на неуспехите

1 nachin)
P(X <= 5) - P(X <= 1)
> pnbinom(5, 3, 0.2) - pnbinom(1, 3, 0.2)
0.175

4 zad)
n опита, всеки човек избира число от 1 до 2n
p = (5 / 2n)
X e Bi(n, p)
P(X = 2) = ?

> dbinom(2, n = 10, 5 / 20 = 2n)
otg: 0.28