% Этот шаблон документа разработан в 2014 году
% Данилом Фёдоровых (danil@fedorovykh.ru)
% для использования в курсе
% <<Документы и презентации в LaTeX>>, записанном НИУ ВШЭ
% для Coursera.org: http://coursera.org/course/latex .
% Вы можете изменять, использовать, распространять
% этот документ любым способом по своему усмотрению.
% В качестве благодарности автору вы можете сохранить
% в начале документа данный текст или просто ссылку на
% http://coursera.org/course/latex
% Исходная версия шаблона ---
% https://www.writelatex.com/coursera/latex/1.2

\documentclass[a4paper,10pt]{scrartcl} % добавить leqno в [] для нумерации слева

%%% Работа с русским языком
\usepackage{cmap}                   % поиск в PDF
\usepackage{mathtext}               % русские буквы в фомулах
\usepackage[T2A]{fontenc}           % кодировка
\usepackage[utf8]{inputenc}         % кодировка исходного текста
\usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы

\usepackage{indentfirst}
\usepackage{misccorr}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[top=1cm, bottom=1cm, left=1cm, right=1cm]{geometry}

%%% Дополнительная работа с математикой
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % AMS
\usepackage{wasysym}
\usepackage{cancel}
\usepackage{icomma} % "Умная" запятая: $0,2$ --- число, $0, 2$ --- перечисление

%% Работа с таблицами
\usepackage{multirow}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.9}

%% Номера формул
\mathtoolsset{showonlyrefs=true} % Показывать номера только у тех формул, на которые есть \eqref{} в тексте.

%% Шрифты
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{euscript}    % Шрифт Евклид
\usepackage{mathrsfs} % Красивый матшрифт

%% Перенос знаков в формулах (по Львовскому)
\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}
{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}

%% Кастомные команды
\DeclareMathOperator{\sgn}{\mathop{sgn}}
\newcommand{\ms}{\mathstrut}
\newcommand{\msp}{\hspace{0.5cm}}
\newcommand{\dif}{\mathrm{d}}
\newcommand{\pinsurr}{\mathring{U}}
\newcommand{\dg}{^\circ}
\newcommand{\qd}[2]{^{\frac{#1}{#2}}}
\newcommand{\qdm}[2]{^{-\frac{#1}{#2}}}
\newcommand{\lm}[2]{\underset{#1 \rightarrow #2}{\lim}}
\newcommand{\sfrac}[2]{\dfrac{\strut #1}{\strut #2}}
\newcommand{\equal}[1]{\overset{(#1)}{=}}
\newcommand{\linevdots}{\ \raisebox{-.08\height}{\vdots}\ }
\newcommand{\linecvdots}{\ \raisebox{-.08\height}{\vdots}\hspace{-0.13cm}\raisebox{.15\height}{\cancel{\phantom{a}}\hspace{0.06cm}}}
\newcommand{\combox}[1]{\ms \msp \msp \begin{minipage}{0.95\linewidth}
        #1
\end{minipage}}

\newtheorem{pr}{Задача}
\newtheorem{ex}{Пример}
\newtheorem{dfn}{Def}
\newtheorem{theorem}{Th}

\newenvironment{slv}{\ms \msp \textit{Решение:}}{}

%%% Заголовок
\author{Никита Карпов, Кошелев Александр}
\title{}
\date{\today}

\begin{document} % конец преамбулы, начало документа
    \section{Интегралы}
        \subsection{Таблица интегралов}
        \begin{enumerate}
         \item  $ \int a \cdot \dif x = a \cdot x + C$
        \item   $ \int x^{a} \dif x = \frac{1}{a + 1} \cdot x^{a + 1}  + C $
        \item   $ \int \frac{1}{x} \dif x = \ln|x| + C $
        \item   $ \int \exp(x) \dif x = \exp(x) + C $
        \item   $ \int a^x \dif x = \frac{a^x}{\ln(a)} + C$
        \item   $ \int \sin(x) \dif x = - \cos(x) + C$
        \item   $ \int \cos(x) \dif x = \sin(x) + C$
        \item   $ \int \tan(x) \dif x = - \ln| \cos(x)| + C$
        \item   $ \int \cot(x) \dif x = \ln|\sin(x)| + C $
        \item   $ \int \cos^{-2}(x) \dif x = \tan(x) + C$
        \item   $ \int \sin^{-2}(x) \dif x = -\cot(x) + C$
        \item   $ \int \sinh(x) \dif x = \cosh(x) + C $
        \item   $ \int \cosh(x) \dif x = \sinh(x) + C $
        \item   $ \int \cosh^{-2}(x) \dif x = \tanh(x) + C$
        \item   $ \int \sinh^{-2}(x) \dif x = -\coth(x) + C$
        \item   $ \int \frac{\dif x}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \cdot \arctan(x/a) + C $
        \item   $ \int \frac{\dif x}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \cdot \ln|\frac{x- a}{x + a}| + C$
        \item   $ \int \frac{\dif x}{ \sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin(x/a) + C$
        \item   $ \int \frac{\dif x}{ \sqrt{x^2 + a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C$
        \item   $ \int \frac{\dif x}{ \sqrt{x^2 - a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C$
        \end{enumerate}

        \subsection{Интегрирование подстановкой}
        \[ \int f(\varphi(x)) \cdot \varphi'(x) \dif x = \int f(\varphi(x)) \cdot  \dif (\varphi(x)) \]

        \subsection{Интегрирование по частям}
        \[\int u \cdot \dif v = uv - \int v \cdot \dif u \]

        \subsection{Интегрирование элементарных дробей}
        \noindent
        Каждая рациональная функция на каждом промежутке из её области определения представима в виде суммы многочлена и элементарных рациональных дробей\\
        \[\frac{A}{(x - a)^n}, \; \; \; \; \frac{A \cdot x + B}{(x^2 + px + q)^n}\]

        \subsection{Метод Остроградского}
        \noindent
        Требуется найти:
        \[\int \frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \dif x\]  \\
        Если $Q(x)$ имеет кратные корни, тогда
        \[\int \frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \dif x = \frac{P_1(x)}{Q_1(x)} + \int \frac{P_2(x)}{Q_2(x)} \cdot \dif x\]
        Где $Q_2(x)$ -- многочлен, имеющий те же корни, что и $Q(x)$, но однократные. Многочлен $Q_1(x) = Q(x)/Q_2(x)$. Степени многочленов $P_1(x)$ и $P_2(x)$ не превосходят степеней соответствующих $Q_i(x)$, а коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов при дифференцировании.

        \subsection{Интегрирование иррациональных функций}
        \noindent
        Интегралы вида $\int R(x, \sqrt{ax^2+bx+c}) \mathrm{d}x,\ a \neq 0,\ b^2 - 4ac \neq 0$ могут быть сведены к интегралам рациональных функций \textit{подстановками Эйлера}:
        $$\sqrt{ax^2 + bx + c} = \pm\sqrt{a}x \pm t,\ a > 0$$
        $$\sqrt{ax^2 + bx + c} = \pm xt \pm \sqrt{c},\ c > 0$$
        $$\sqrt{ax^2 + bx + c} = \pm(x - x_1)t,\ x_1\ \text{-- один из корней}$$

        \noindent
        Зачастую возможно применить менее громоздкий способ. Интеграл можно привести к симпатичному виду и воспользоваться формулой:
        $$\int \sfrac{P(x) \dif x}{\sqrt{ax^2 + bx + c}} = Q(x)\sqrt{ax^2 + bx + c} + \lambda \int \sfrac{\dif x}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}$$

        \noindent
        Причем $\mathrm{deg}\,Q(x) < \mathrm{deg}\,P(x)$, а коэффициенты находятся дифференцированием.

        \medskip \noindent
        Полезна \textit{подстановка Абеля} $t = (\sqrt{x^2 + px + q})'$ для интегралов вида:
        $$\int \sfrac{\dif x}{(x^2 + px + q)^{(2m + 1)/2}}$$

        \medskip \noindent
        Интегралы вида $\int R(t, \sqrt{p^2 - t^2}) \dif t$, $\int R(t, \sqrt{t^2 - p^2}) \dif t$ и $\int R(t, \sqrt{p^2 + t^2}) \dif t$ берутся тригонометрическими подстановками.

        \noindent
        Первый интеграл берется подстановками: $t = p\sin u,\ t = p\cos u,\ t = p\tanh u$.

        \noindent
        Второй подстановками: $t = \frac{p}{\cos u},\ t = p \cosh u$.

        \noindent
        Третий подстановками, $t = p \tan u,\ t = p \sinh u$

        \subsection{Интегрирование тригонометрических функций}
        \[\int R(\sin x; \cos x) \cdot  dx\] \\
        Замена: $t = \tan(x/2); \; \; \; \; \; \; \sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2}; \; \; \; \; \; \; \cos(x) = \frac{1- t^2}{1 + t^2}; \; \; \; \; \; \; dx = \frac{2 dt}{1 + t^2} ; \; \; \; \; \; \; x \in (- \pi; + \pi)$\\

        \[\int R(\sinh x; \cosh x) \cdot  dx\] \\
        Замена: $t = \tanh(x/2); \; \; \; \; \; \; \sinh(x) = \frac{2t}{1 - t^2}; \; \; \; \; \; \; \cosh(x) = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}; \; \; \; \; \; \; dx = \frac{2 dt}{1 - t^2} ; \; \; \; \; \; \; $\\

    \section{Типы множеств}
        Пусть дано множество $E \subseteq \mathbb{R}^n$ и точка $x \in \mathbb{R}^n $

        \begin{dfn}
            Точку $x$ называют \textbf{внутренней} точкой множества $E$, если
            $$\exists U(x):\ U(x) \subset E$$
        \end{dfn}

        \begin{dfn}
            Множество, каждая точка которого -- внутренняя, называют \textbf{открытым}. ($\mathbb{R}^n, \varnothing$ -- открытые)
        \end{dfn}

        \begin{dfn}
            Точку $x$ называют точкой \textbf{прикосновения} множества $E$, если
            $$U(x)\cap E \neq \varnothing\ \ \forall U(x)$$
        \end{dfn}

        \begin{dfn}
            Множество всех точек прикосновения множества $E$ называют \textbf{замыканием} множества $E$. Обозначение $\overline{E}$. \\
        \end{dfn}

        \begin{dfn}
            Множество называют \textbf{замкнтуым}, если $\overline{E} \subset E$
        \end{dfn}

        \begin{dfn}
            Точку $x$ называют \textbf{изолированной} точкой множества $E$, если
            $$\exists U(x):\ U(x) \cap E  = x$$
        \end{dfn}

        \begin{dfn}
            Точку $x$ называют \textbf{предельной} точкой множества $E$, если
            $$\pinsurr(x) \cap E   \neq \varnothing\ \ \forall \pinsurr(x)$$
        \end{dfn}

        \begin{dfn}
            Точку $x$ называют \textbf{граничной} точкой множества $E$, если
            $$U(x) \cap E \neq \varnothing,\ U(x)\, \cancel{\subset}\, E\ \ \forall U(x)$$
        \end{dfn}

        \begin{dfn}
            Множество всех граничных точек множества $E$ называют \textbf{границей} множества $E$. Обозначение $\partial E$
        \end{dfn}

        \begin{dfn}
            Множество $E$ называют \textbf{линейно связным}, если любые две его точки можно соеденить кривой, лежащей в $E$.
        \end{dfn}

        \begin{dfn}
            Множество $E$ называют \textbf{областью}, если $E$ линейно связное и открытое.
        \end{dfn}

    \section{Предел функции}
        \subsection{Определения}
        \setcounter{dfn}{0}
        \begin{dfn}
            Проколотой $\delta$ окрестностью точки $a$ называется множество точек таких, что:
            \[0 < \rho(x, a) = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + ... + (x_n - a_n)^2} < \delta \]
        \end{dfn}
        \begin{dfn}(По Коши)\\
            Пусть функнция $f : \mathbb{R}^n \rightarrow  \mathbb{R}$ определена на $\mathring{U}(a)$. Число $b$ называется пределом $f$ в точке $a$, если:
            $$\forall \varepsilon > 0\ \exists U: \forall x \in \mathring{U}(a) \hookrightarrow |f(x) - b| < \varepsilon$$
        \end{dfn}
        \begin{dfn}(По Гейне)\\
            Пусть функнция $f : \mathbb{R}^n \rightarrow  \mathbb{R}$ определена на $\mathring{U}(a)$.     Число $b$ называется пределом $f$ в точке $a$, если для любой последовательности $x_k = (x^{(1)}_{k} ..., x^{(n)}_{k}) : x_k \neq a$ и $\lim x_k = a$ выполняется равенство $\lim f(x_k) = b$.
        \end{dfn}
    \subsection{Вычисление предела функции 2х переменных}
\end{document} % конец документа