% Этот шаблон документа разработан в 2014 году
% Данилом Фёдоровых (danil@fedorovykh.ru)
% для использования в курсе
% <<Документы и презентации в LaTeX>>, записанном НИУ ВШЭ
% для Coursera.org: http://coursera.org/course/latex .
% Вы можете изменять, использовать, распространять
% этот документ любым способом по своему усмотрению.
% В качестве благодарности автору вы можете сохранить
% в начале документа данный текст или просто ссылку на
% http://coursera.org/course/latex
% Исходная версия шаблона ---
% https://www.writelatex.com/coursera/latex/1.2

\documentclass[a4paper,12pt]{article} % добавить leqno в [] для нумерации слева

%%% Работа с русским языком
\usepackage{cmap}                   % поиск в PDF
\usepackage{mathtext}               % русские буквы в фомулах
\usepackage[T2A]{fontenc}           % кодировка
\usepackage[utf8]{inputenc}         % кодировка исходного текста
\usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы

%%% Дополнительная работа с математикой
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % AMS
\usepackage{icomma} % "Умная" запятая: $0,2$ --- число, $0, 2$ --- перечисление

%% Номера формул
\mathtoolsset{showonlyrefs=true} % Показывать номера только у тех формул, на которые есть \eqref{} в тексте.

%% Шрифты
\usepackage{euscript}    % Шрифт Евклид
\usepackage{mathrsfs} % Красивый матшрифт

%% Свои команды
\DeclareMathOperator{\sgn}{\mathop{sgn}}

%% Перенос знаков в формулах (по Львовскому)
\newcommand*{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}
{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}

%%% Заголовок
\author{Дискретная математика }
\title{1.2 Математика в \LaTeX}
\date{\today}

\begin{document} % конец преамбулы, начало документа

\maketitle

Первый         абзац.

Второй абзац.
$2 +    2 =   4   $. Текст абзаца.
\[  2+2=4  \]
\large
\section{Нюансы работы с формулами}
Доказать, что при каждом $n\in N$ верно равентсво \\
$1\cdot 2^2 + 2\cdot 3^2 + \ldots + (n-1)n^2=\frac{n(n^2-1)(3n+2)}{12}$ \\
1) База индукции \\
$n = 1$ \\
$0\cdot 1^2 = \frac{1(1-1)(3\cdot 1 + 2)}{12}$ \\
$0=0$ True \\
2) Предположил, что для $n$ выполняется $1\cdot 2^2 + 2\cdot 3^2 + \ldots + (n-1)n^2=\frac{n(n^2-1)(3n+2)}{12}$ \\
Докажем для $n + 1$ \\
$1\cdot 2^2 + 2\cdot 3^2 + \ldots + (n-1)n^2 + n\cdot (n+1)^2=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}$ \\
3)
$1\cdot 2^2 + 2\cdot 3^2 + \ldots + (n-1)n^2 + n(n+1)^2 = \frac{n(n^2-1)(3n+2)}{12} + n(n+1)^2 =$ \\
$=\frac{n(n^2-1)(3n+2) + 12n(n+1)^2}{12} = \frac{3n^4+2n^3-3n^2-2n+12n^3+24n^2+12n}{12}=\frac{3n^4+14n^3+21n^2+10n}{12}=\frac{n(3n^3+14n^2+21n+10)}{12}=$ \\
$=\frac{n(3n^2(n+1)+11n(n+1)+10(n+1)}{12}=\frac{n(n+1)(3n^2+11n+10)}{12}=\frac{n(n+1)(n+2)(3n+5)}{12}\blacksquare$\\

\subsection{Скобки}

\[ \left(2+\frac{9}{3}\right) \times 5 = 25 \]

\[  [2+3]  \]

\[ \{2+3\}  \]

\subsection{Стандартные функции}

$\sin x = 0$, $\cos x = 1$, $\ln x = 5$

$\sgn  x = 1$

\subsection{Символы}

$2\times 2 \ne 5$

$A \cap B$, $A \cup B$

\subsection{Диакритические знаки}

$\overline{456789xyz}=5$, $\widetilde{eurhkjs7} = 8$

\subsection{Буквы других алфавитов}

$\tg \Phi = 1$

$\epsilon$, $\phi$

$\varepsilon$, $\varphi$

\section{Формулы в несколько строк}

\subsection{Очень длинная формула}

\begin{multline}
    1+ 2+3+4+5+6+7+\dots + \\
    + 50+51+52+53+54+55+56+57 + \dots + \\
    + 96+97+98+99+100=5050 \tag{S} \label{eq:sum}
\end{multline}


\subsection{Несколько формул}

\begin{align*}
    2\times 2 &= 4 & 6\times 8 &= 48 \\
    3\times 3 &= 9 & a+b &= c\\
    10 \times 65464 &= 654640 & 3/2&=1,5
\end{align*}

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        2\times 2 &= 4 & 6\times 8 &= 48 \\
        3\times 3 &= 9 & a+b &= c\\
        10 \times 65464 &= 654640 & 3/2&=1,5
    \end{aligned}
\end{equation}

\subsection{Системы уравнений}

\[
    \left\{
        \begin{aligned}
            2\times x &= 4  \\
            3\times y &= 9\\
            10 \times 65464 &= z\\
        \end{aligned}
    \right.
\]

\[
    |x|=\begin{cases}
        x, &\text{если }  x \ge 0 \\
        -x, &\text{если } x<0
    \end{cases}
\]

\section{Матрицы}

\[
    \begin{pmatrix}
        a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
        a_{21} & a_{22} & a_{23}
    \end{pmatrix}
\]

\[
    \begin{vmatrix}
        a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
        a_{21} & a_{22} & a_{23}
    \end{vmatrix}
\]

\[
    \begin{bmatrix}
        a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
        a_{21} & a_{22} & a_{23}
    \end{bmatrix}
\]

В уравнении \eqref{eq:sum} на стр. \pageref{eq:sum} много слагаемых.

\end{document} % конец документа