dsad

\documentclass[11pt]{article}


%PAKETI
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[OT1, OT2]{fontenc}
\usepackage[english, serbian]{babel}
\usepackage[top=27mm, bottom=27mm, left=25mm, right=25mm]{geometry}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{dblfloatfix}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{array}

%TEOREME/DEFINICIJE ITD.
\newtheorem{thm}{Teorema}[subsection]
\newtheorem{tvr}[thm]{Tvrdjenje}
\newtheorem{posl}[thm]{Posledica}
\newtheorem{defi}{Definicija}[subsection]
\newtheorem{nap}{Napomena}[subsection]
\newtheorem{lem}{Lema}[subsection]
\newtheorem{pri}{Primer}[subsection]
\newtheorem{zad}{Zadatak}


%KOMANDE
\newcommand{\Lat}{\fontencoding{OT1}\selectfont}
\newcommand{\lN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\lR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\lF}{\mathbb{F}}
\newcommand{\lC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\lL}{\mathbb{L}}
\newcommand{\lK}{\mathbb{K}}
\newcommand{\lQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\lZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\lG}{\mathbb{G}}
\newcommand{\kar}{\textup{\Lat{char}}}
\newcommand{\modul}{\textup{(\Lat{mod} } ${\Lat{p}}$\textup{)}}
\newcommand{\gal}{\mathrm{Gal}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\qed}{\hfill $\square$}
\newcommand{\lO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}}
\newcommand{\N}{\mathrm{N}}
\newcommand{\md}{\mathrm{mod}\,}

%NEKE PRECICE
\title{\textbf{Algebra 3 - predavanja}}
\author{Studenti Matematichkog fakulteta u Beogradu}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {slike/} }
\date{Maj 2018.}

\hypersetup{
    colorlinks=true,
    linktoc=all,
    linkcolor=blue,
}

\makeindex

\makeatletter
\renewcommand*{\@opargbegintheorem}[3]{\trivlist
	\item[\hskip \labelsep{\bfseries #1\ #2}] \textbf{(#3)}\ \itshape}
\makeatother
\begin{document}

\setlength{\parskip}{0.2em}

%NASLOVNA STRANA
\maketitle
\thispagestyle{empty}
\vfill



%SADRZAJ
\newpage
\renewcommand{\contentsname}{Sadrzhaj}
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\newpage

\section{Polja, faktorizacija u prstenima polinoma, rashirenja polja (Matija Srec1kovic1)}

\subsection{Polja}

\begin{pri}

\begin{enumerate}

	\item \textup{$\lQ$, $\lR$, $\lC$ su primeri sa kojima smo se upoznali vishe puta na ranijim kursevima.}

	\item \textup{$\lF_{p} \coloneqq \lZ/p\lZ$, za prost broj $p \in \lN$, je primer konachnog polja.}

	\item \textup{$\lF_{p}(X) \coloneqq \lbrace \frac{a(X)}{b(X)} : a, b \in \lF_{p}[X], b \neq 0 \rbrace$ je polje svih racionalnih funkcija sa koeficijentima iz $\lF_{p}$, i predstavlja polje razlomaka u odnosu na $\lF_{p}[X]$, prsten svih polinoma sa koeficijentima u $\lF_{p}$.}

	\item \textup{Posmatrajmo skup $K[[X]] \coloneqq \lbrace \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}X^{n} : a_{n} \in K \rbrace$ \textbf{formalnih stepenih redova} \index{formalni stepeni red} sa koeficijentima u polju $K$, koji chini prsten u odnosu na standardno sabiranje i mnozhenje, a skupovno se mozhe realizovati kao $K^{\lN_{0}}$, gde na $n$-tom mestu stoji koeficijent $a_{n}$ uz $X^{n}$.}

	\textup{Njegovo polje razlomaka je \textbf{polje formalnih Loranovih redova sa koeficijentima u $K$} \index{formalni Loranov red} (ako je $K$ samo prsten, i formalni Loranovi redovi sa koef. u $K$ c1e biti samo prsten u opshtem sluchaju), $K((X)) \coloneqq \lbrace \sum_{n=k}^{\infty} a_{n}X^{n} : a_{n} \in K, k\in \lZ \rbrace$. Sumacija pochinje od $k \in \lZ$ umesto od $-\infty$, kao shto smo navikli na kompleksnoj analizi, jer da bismo "\hspace{0.01mm}zatvorili" \hspace{1pt} $K[[X]]$ za uzimanje inverza, posmatramo izraze oblika $$\frac{\sum_{n_{1}=0}^{\infty} a_{n_{1}}X^{n_{1}}}{\sum_{n_{2}=0}^{\infty} b_{n_{2}}X^{n_{2}}},$$ pa c1e najmanji stepen u ovoj sumi biti $X^{-s}$, gde je $s$ najmanji nenegativan ceo broj za koji je $b_{s} \neq 0$.}

	\textup{\item $\lZ_{p}$, $\lQ_{p}$: Na $\lQ$ se, osim euklidske apsolutne vrednosti, mozhe zadati i \textbf{$p$-adichka apsolutna vrednost} \index{$p$-adichka apsolutna vrednost} za prost $p \geq 2$ kao $|\cdot|_{p}: \lQ \to \lR$, $|r|_{p} \coloneqq p^{-v}$, gde $v$ biramo na sledec1i nachin: predstavimo $r \in \lQ$ u obliku $r = p^{v} \cdot \frac{a}{b}$, gde je $v \in \lZ$, $(ab, p) = 1$ i $|0|_{p} = 0$. Na primer, $|15|_{2} = 2^{0} = 1$, $|48|_{2} = |2^{4} \cdot 3|_{2} = \frac{1}{16}$, $|\frac{39}{64}|_{2} = |2^{-6} \cdot 39|_{2} = 2^{6} = 64$. Definishemo \textbf{$p$-adichku metriku} \index{$p$-adichka metrika} na $\lQ$ (pa samim tim i na $\lZ$) kao $d_{p}: \lQ \times \lQ \to [0, +\infty)$, $d_{p}(a,b) = |a-b|_{p}$. Lako se proverava da je ovo zaista metrika na $\lQ$ (i $\lZ$ automat\hspace{0.001mm}ski), s tim shto je zadovoljena jacha verzija nejednakosti trougla, tzv. \textit{ultrametrichka nejednakost}, $|a-c|_{p} \leq \max \lbrace |a-b|_{p}, |b-c|_{p} \rbrace$. Kompletiranje $\lZ$ u odnosu na ovu metriku zovemo \textbf{$p$-adichkim celim brojevima} \index{$p$-adichki ceo broj} i obelezhavamo ga sa $\lZ_{p}$, a kompletiranje $\lQ$ u odnosu na $p$-adsku metriku chini \textbf{$p$-adichke brojeve} \index{$p$-adichki broj}, $\lQ_{p}$.}

	\textup{$p$-adichki ceo broj se mozhe videti kao niz $(a_{1},a_{2},...)$ celih brojeva, gde $a_{n} \in \lZ/p^{n}\lZ$ i za $n \leq m$ vazhi $a_{n} \equiv a_{m} \textrm{\Lat{(mod }} p^{n} \textrm{)}$\footnote{Prema ovoj konstrukciji, $p$-adichki ceo broj je klasa ekvivalencija Koshijevih nizova celih brojeva po ovoj metrici, ali je jasno da se iz svake klase mozhe izabrati tachno jedan predstavnik opisanog tipa, jer je svaki element klase isti kao ovako izabrani predstavnik, s tim shto prvih $n_{0}$ mesta mogu biti proizvoljni. Dva $p$-adichka cela broja su "blizu" ako se razlikuju za "veliki" \hspace{0.001mm} stepen $p$. Postoji i konstrukcija $p$-adichkih celih brojeva kao \textbf{inverznog limesa niza prstena $\lZ/p^{n}\lZ$} i na ovaj nachin se direktno dobijaju $p$-adichki celi brojevi u gore opisanom obliku.} Na ovom skupu se mogu definisati pokoordinatno sabiranje i mnozhenje $\textrm{\Lat{(mod }} p^{n} \textrm{)}$ i tako chine $\lZ_{p}$ domenom. Svaki ceo broj $n$ se mozhe zapisati kao $p$-adichki ceo broj, kao $(a_{1},a_{2},...)$, gde je $a_{k} = n$ $\textrm{\Lat{(mod }} p^{k} \textrm{)}$.}

	\textup{Alternativno, $p$-adichki ceo broj mozhemo videti i kao stepeni red $\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}p^{n}$, $b_{n} \in \lZ/p\lZ$, gde se $b_{n}$ odredjuju tako shto je $n$-ta parcijalna suma ovog reda jednaka $n$-tom chlanu niza koji predstavlja taj broj.\footnote{Na primer, $19$ se kao $2$-adichki broj zapisuje kao $(1,3,3,3,19,19,...)$, a u obliku stepenog reda kao $1\cdot 2^{0} + 1\cdot 2^{1} + 0\cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{5} + ...$ .} Mnozhenje i sabiranje u ovom obliku se vrshi na uobichajen nachin, sa "prenoshenjem"\hspace{0.01mm} cifara. $\lQ_{p}$ je polje razlomaka nad $\lZ_{p}$. $\lQ_{p}$ i $\lR$ su jedina kompletiranja polja $\lQ$.}

\end{enumerate}

\end{pri}

\begin{nap}
	\textup{Od sada, kad se kazhe "prsten", mislic1e se na komutativan prsten sa jedinicom (KPJ). Podsetimo se, $\varphi: R_{1} \to R_{2}$ je homomorfizam dva KPJ ako je $\varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b)$, $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$ i $\varphi(1_{R_{1}}) = 1_{R_{2}}$.}
\end{nap}

\begin{tvr}
	Svaki homomorfizam polja je in\hspace{0.0001mm}jektivan, tj. utapanje.
\end{tvr}

$\triangle$ Za svaki homomorfizam prstena $\varphi:F_{1} \to F_{2}$ imamo $\ker\varphi \triangleleft F_{1}$, ali u polju su jedini ideali $\lbrace 0 \rbrace$ i $F_{1}$. Ako bi $\ker\varphi = F_{1}$, onda bi bilo $\varphi(1)=0$, shto je kontradikcija. Dakle, $\ker\varphi = \lbrace 0 \rbrace.$ $\square$

\begin{defi}
	Neka je $F$ polje. Posmatrajmo preslikavanje $i: \lZ \to F$ zadato sa $i(0) = 0$ i $i(k+1) = i(k)+1$ za sve $k \in \lZ$.

	Ako je $i$ $1-1$, tada se $i$ mozhe proshiriti do utapanja $\lQ$ u $F$ i kazhemo da je polje $F$ \textbf{karakteristike nula} \index{karakteristika polja}, oznaka $\textup{\Lat{char}} F = 0$.

	Ako $i$ nije $1-1$, definishemo $\textup{\Lat{char}} F \coloneqq \min \lbrace k \in \lN : k \in \ker i \setminus \lbrace 0 \rbrace \rbrace$ i kazhemo da je $F$ polje \textbf{karakteristike} $\textup{\Lat{char}} F$.
\end{defi}

Trivijalno je $\textup{\Lat{char}} F$ ili nula ili prost broj, pa ako je $\textup{\Lat{char}} F = p \neq 0$, onda je $\ker i = p\lZ$, pa imamo utapanje $\lZ / p\lZ$ u $F$.

\begin{pri}
\begin{enumerate}
	\item \textup{$\lF_{p}$, $\lF_{p}(X)$ i $\lF_{p}((X))$ su primeri polja karakteristike $p$.}

	\item \textup{$\lQ$, $\lQ[\sqrt{D}]$ i $\lQ_{p}$ su primeri polja karakteristike $0$.}
\end{enumerate}
\end{pri}

\begin{tvr}
Ako je $F$ polje karakteristike $p$, tada je $(a+b)^{p} = a^p + b^p$, $\forall a, b \in F$.
\end{tvr}

$\triangle$  Po binomnoj teoremi je $(a+b)^{p}= \sum_{n=0}^{p} {{p}\choose{n}}a^{n}b^{p-n}$, a kako $p \vert {{p}\choose{n}}$ za $n \notin \lbrace 0, p \rbrace$, svi chlanovi osim prvog i poslednjeg nestaju, a ti su upravo $a^p$ i $b^p$. $\square$

\begin{posl}
Ako je $F$ polje i $\kar F = p$, tada je $f: F \to F: a \mapsto a^{p}$ homomorfizam polja $F$. Ako je, uz to, $F$ konachno, tada je $f$ i automorfizam polja $F$.
\end{posl}

\begin{defi}
Neka je $F$ konachno polje i $\kar F = p$. \textbf{Frobenijusov automorfizam} \index{Frobenijusov automorfizam} polja $F$ je preslikavanje $f:F \to F: a \mapsto a^{p}$.
\end{defi}

\subsection{Faktorizacija u prstenima polinoma}

\begin{defi}
Polinom $f \in \lZ[X]$ je \textbf{primitivan} \index{primitivan polinom} ako je $1$ \textup{nzd} njegovih koeficijenata.
\end{defi}

\begin{lem} \textbf{(Gausova) \index{Gausova lema}} Primitivan polinom $f \in \lZ[X]$ je rastavljiv u $\lZ[X]$ akko je rastavljiv u $\lQ[X]$.
\end{lem}

$\triangle$ \hspace {0.5cm} \fbox{$\implies$} Trivijalno. Jedino shto treba napomenuti je da nije svako rastavljanje $f$ u $\lZ[X]$ ujedno i legitimno rastavljenje $f$ i u $\lQ[X]$, npr. $f = 2X^2 = 2 \cdot X^2$. Medjutim, ovakvi sluchajevi su iskljucheni jer je $f$ primitivan.

\fbox{$\impliedby$} Neka je $f = gh$, gde su $g, h \in \lQ[X]$ nekonstantni polinomi. Tada postoje $m, n \in \lZ$ tako da $mg$, $nh \in \lZ[X]$. Tada je $mnf = (mg)(nh)$ rastavljanje polinoma $mnf$ u $\lZ[X]$. Ako je $m=n=\pm 1$, tada su $g, h \in \lZ[X]$ i dokaz je zavrshen. U suprotnom postoji prost broj $p$ takav da $p \vert mn$. Tada $p \vert m$ ili $p \vert n$, ne umanjujuc1i opshtost $p \vert m$. Tada su svi koeficijenti polinoma $mg$ deljivi sa $p$, pa postoji nekonstantan polinom $g_{1} \in \lZ[X]$ takav da je $mg = pg_{1}$.

Zato je $mnf = pg_{1}nh$, tj. $\frac{m}{p}nf = g_{1}nh = (\frac{m}{p}g)(nh)$. Sada, ako je $\frac{m}{p}n = \pm 1$, dokaz je zavrshen, a inache postoji prost broj $q \vert \frac{m}{p}n$, koji onda deli $\frac{m}{p}$ ili $n$ itd. Ovaj postupak mozhemo nastaviti dok god faktor uz $f$ ima prostog delioca, tj. sve dok nije $\pm 1$. Na kraju postupka (a zavrshic1e se posle konachno mnogo koraka jer $mn$ ima konachno mnogo prostih faktora) c1emo dobiti $f$ kao proizvod dva nekonstantna polinoma sa celobrojnim koeficijentima, shto je i trebalo dokazati. $\square$

\begin{zad}
Ako je $f \in \lZ[X]$ monichan, dokazati da je svaki monichan faktor od $f$ u $\lQ[X]$ i u $\lZ[X]$.
\end{zad}

\textit{Reshenje:} $\lZ[X]$ je {\Lat{UFD}}, shto znachi da je svaki nerastavljiv polinom i prost, kao i da se svaki polinom $f \in \lZ[X]$ mozhe na jedinstven nachin (do na permutaciju faktora) zapisati kao proizvod nerastavljivih (pa samim tim i prostih) polinoma $f_{1}, f_{2}, ... , f_{m} \in \lZ[X]$. Svi polinomi $f_{i}$, $1 \leq i \leq m$ su monichni (pa i primitivni), jer je to i $f$. Po Gausovoj lemi su svi $f_{i}$ nerastavljivi i u $\lQ[X]$ (pa i prosti jer je $\lQ[X]$ {\Lat{UFD}}). Dakle, ako je $f =gh$, $g, h \in \lQ[X]$, $g$ monichan, onda za sve $1 \leq i \leq m$ vazhi $f_{i} \vert g$ ili $f_{i} \vert h$, i medju $f_{i}$-ovima se, naravno, nalaze i svi faktori polinoma $g$, jer je $gh = f_{1}f_{2}...f_{m}$. Zato je $g = f_{j_{1}}f_{j_{2}}...f_{j_{k}}$ za neke $j_{1},...,j_{k} \in \lbrace 1,...,m \rbrace$. Kako su $f_{j_{1}},...,f_{j_{k}} \in \lZ[X]$, imamo i $g \in \lZ[X]$. $\square$

\begin{pri}
	\textup{Preslikavanje $H:\lZ[X] \to \lF_{p}[X]:f \mapsto \tilde{f}$, $\tilde{f} = f \hspace{1pt} \modul$  je homomorfizam prstena koji, ako $p$ ne deli vodec1i koeficijent od $f$, za svaku netrivijalnu faktorizaciju $f=gh$ u $\lZ[X]$ daje odgovarajuc1u netrivijalnu faktorizaciju $\tilde{f} = \tilde{g}\tilde{h}$ u $\lF{p}[X]$, pa ako je $\tilde{f}$ nerastavljiv u $\lF_{p}[X]$, tada je $f$ nerastavljiv u $\lZ[X]$.}
\end{pri}

Ne vazhi obrnuto!

\begin{pri}
	\textup{Posmatrajmo polinom $f(X) = X^4 - 10X^2 + 1$, koji je nerastavljiv u $\lZ[X]$ - ovo se proverava mehanichki. Medjutim, za sve proste brojeve $p$, $\tilde{f}$ je rastavljiv u $\lF_{p}[X]$:
	\begin{enumerate}
		\item Ako je $2 \in (\lF_{p}^{\times})^2$, tj. ako je $2$ kvadrat u $\lF_{p}$, tada postoji $x \in \lF_{p}$ takav da je $x^2 = 2$; definishimo $\sqrt{2} \coloneqq x$.
		Tada vazhi $X^4-10X^2+1 = X^4 - 2X^2 - 8X^2 +1 = (X^2-1)^2-(2\sqrt{2}X)^2 = (X^2-2\sqrt{2}X-1)(X^2+2\sqrt{2}X-1).$
		\item Ako je $3 \in (\lF_{p}^{\times})^2$, analogno kao u prethodnom sluchaju mozhemo da definishemo $\sqrt{3}$. Tada je $X^4-10X^2+1 = X^4+2X^2-12X^2+1 = (X^2+1)^2 - (2\sqrt{3}X)^2 = (X^2+1-2\sqrt{3}X)(X^2+1+2\sqrt{3}X)$.
		\item Ako je $2,3 \notin (\lF_{p}^{\times})^2$, onda je $(\frac{2}{p}) = (\frac{3}{p}) = -1$, gde je $(\frac{a}{p})$ Lezhandrov simbol. Zbog multiplikativnosti Lezhandrovog simbola je $(\frac{6}{p}) = 1$, pa je $6 \in (\lF_{p}^{\times})^2$, pa mozhemo definisati $\sqrt{6}$. Sada mozhemo da faktorishemo nash polinom nad $\lF_{p}$: $X^4-10X^2+1 = X^4 - 10X^2 + 25 - 24 = (X^2-5)^2-(2\sqrt{6})^2 = (X^2-5-2\sqrt{6})(X^2-5+2\sqrt{6})$.
	\end{enumerate} }

\end{pri}

\subsection{Rashirenja polja}

\begin{defi}
Polje $E$ je \textbf{rashirenje} \index{rashirenje polja} polja $F$ ako postoji homomorfizam iz polja $F$ u polje $E$.
\end{defi}

Slobodno mozhemo s\hspace{0.001mm}hvatiti $F$ kao potpolje polja $E$, iako mozhda formalno $F$ nije podskup od $E$ (jer $E$ sadrzhi izomorfnu kopiju od $F$).

Oznake koje c1emo koristiti su $F \leq E$, $E/F$, kao i dijagram:

\vspace{0.5cm}

\hspace{6cm}\begin{tikzpicture}
    \node (A) at (0,0) {$E$};
    \node (C) at (0,-1) {$F$};
    \draw (A) -- (C);
\end{tikzpicture}

\begin{nap}
\textup{Ako je $F \leq E$ rashirenje, $E$ je $F$-vektorski prostor. Broj $[E : F] = {\Lat{\textup{dim}}}_{F}E$ se zove \textbf{stepen rashirenja} \index{stepen rashirenja}. Rashirenje je \textbf{konachno} \index{konachno rashirenje} ako je $[E:F]$ konachno, a inache je beskonachno.}
\end{nap}

\begin{pri}
	$[\lC : \lR] = 2$, $[\lQ(i) : \lQ] = 2$.

\textup{\textbf{Brojno polje} \index{brojno polje} je svako konachno rashirenje od $\lQ$ u $\lC$.}

\textup{Primeri beskonachnih rashirenja su $\lF_{p}(X)/\lF_{p}$ i $\lR/\lQ$. Prvo rashirenje je beskonachno jer je svako konachno rashirenje od $\lF_{p}$ konachno, a drugo jer je svako konachno rashirenje od $\lQ$ prebrojivo.}
\end{pri}

U toku kursa c1emo se baviti (izmedju ostalog) dijagramima sledec1eg tipa: $F \leq E_{1}, E_{2}$

\hspace{2cm}\begin{tikzpicture}
    \node (A) at (0,0) {$E_{1}$};
    \node (B) at (2,0) {$E_{2}$};
    \node (C) at (0,-2) {$F$};
    \node (D) at (2,-2) {$F$};
    \node (E) at (6,0) {$E_{1}$};
    \node (F) at (8,0) {$E_{2}$};
    \node (G) at (7,-2) {$F$};
    \draw[->,dashed] (A) -- (B) node[midway,above] {$\varphi$};
    \draw[->] (C) -- (D) node[midway,below] {\textup{\Lat{id}}};
    \draw (A) -- (C);
    \draw (B) -- (D);
    \draw (G) -- (E);
    \draw (G) -- (F);
    \draw[->, dashed] (E) -- (F) node[midway,above] {$\varphi$};
\end{tikzpicture}

i zanimac1e nas sva moguc1a preslikavanja $\varphi$ koja zadovoljavaju ove dijagrame.

\begin{defi}
Neka je $F \leq E_{1}, E_{2}$. Homomorfizam polja $\varphi:E_{1} \to E_{2}$ je \textbf{$F$-morfizam} \index{$F$-morfizam} ako je $\varphi|_{F} = \textup{\Lat{id}}_{F}$
\end{defi}

\begin{thm}\label{multstep}
Neka je $F \leq E \leq K$ niz konachnih rashirenja. Tada je i $K/F$ konachno rashirenje i vazhi $[K:F] = [K:E][E:F]$.
\end{thm}

$\triangle$ \hspace{1pt} Neka je $A = \lbrace \alpha_{i} \rbrace_{1\leq i \leq m}$ baza za $E$ nad $F$ i $B = \lbrace \beta_{i} \rbrace_{1\leq i \leq n}$ baza za $K$ nad $E$. Dokazhimo da je $C = \lbrace \alpha_{i}\beta_{j} \rbrace_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ baza za $K$ nad $F$.

\textbf{$C$ je generatrisa:} Neka je $x \in K$. Kako je $B$ baza za $K$ nad $E$, vazhi $$ x = a_{1}\beta_{1} + a_{2}\beta_{2} + ... + a_{n}\beta_{n}, a_{i} \in E.$$ Dalje, $A$ je baza za $E$ nad $F$, pa je $$a_{i} = a_{i1}\alpha_{1} + a_{i2}\alpha_{2} + ... + a_{im}\alpha_{m}, a_{ij} \in F. $$ Sada je $$x = \sum_{i=1}^{n}a_{i}\beta_{i} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{ij}\alpha_{j}\beta_{i} = \sum_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m} a_{ij}(\alpha_{j}\beta_{i}).$$

\textbf{$C$ je linearno nezavisna:} Neka je $$0 = \sum_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m} a_{ij}\beta_{i}\alpha_{j}.$$ Tada je $0 = \sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{m} a_{ij}\alpha_{j})\beta_{i}$, pa kako je $B$ linearno nezavisna na $E$, to je $\sum_{j=1}^{m} a_{ij}\alpha_{j} = 0$ za svako $1 \leq i \leq n$. Opet, $A$ je linearno nezavisna, pa je $a_{ij} = 0$ za sve $1 \leq i \leq n$, $1 \leq j \leq m$. $\square$


\newpage
\section{Rashirenja polja (dodatak), Kronekerova konstrukcija, algebarski i transcendenti elementi (Sara Vuleta)}


\subsection{Rashirenja polja (dodatak)}

\begin{defi}
Neka je $E$ rashirenje polja $F$ i $S \subseteq E$. Potprsten generisan sa $S$ je minimalan prsten koji sadrzhi $S$ i $F$.
Specijalno, kada je $S$ konachan, tj. $S = \{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{n}\}$, tada prsten generisan sa $S$ zapisujemo $$F[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{n}] = \left\{\sum a_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}}\alpha_{1}^{i_{1}}\alpha_{2}^{i_{2}}\cdots\alpha_{n}^{i_{n}} \mid a_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}} \in F \right\}.$$
\end{defi}

\begin{lem}
Neka je $R$ integralni domen i $F \subseteq R$ polje. Ako je $dim_{F}R$ konachna, onda je i $R$ polje.
\end{lem}

$\triangle$ Neka je $\alpha \in R$, $\alpha\neq0$ proizvoljno i $\varphi: R \rightarrow R$, $x \mapsto \alpha x$, $F$-linearno preslikavanje. Kako je $R$ integralni domen, nema pravih delitelja nule, pa je $\varphi$ \glqq1-1\grqq, tj. $Ker\varphi =  \{0\}$. Iz Teoreme o rangu i defektu onda vazhi: $$dim(Im\varphi) = dimR \Rightarrow Im\varphi = R,$$ tj. $\varphi$ je i \glqq na\grqq, pa postoji $\beta \in R$ tako da je $\alpha \cdot \beta = \varphi(\beta) = 1$, odnosno, $\alpha$ je invertibilo u $R$. $\square$



\begin{defi}
Neka je $E$ rashirenje polja $F$ i $S \subseteq E$. Potpolje generisano sa $S$ je minimalno polje koje sadrzhi $S$ i $F$, tj.
  $$F(S) = \bigcap_{L \subseteq E, F \subseteq L, S \subseteq L}L = $$ $$ = \left\{\frac{\sum a_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}}\alpha_{1}^{i_{1}}\alpha_{2}^{i_{2}}\cdots\alpha_{n}^{i_{n}} }{\sum b_{j_{1}, j_{2}, \dots, j_{n}}\beta_{1}^{j_{1}}\beta_{2}^{j_{2}}\cdots\beta_{m}^{j_{m}}} \mid \alpha_{1}^{i_{1}}, \alpha_{2}^{i_{2}}, \dots, \alpha_{n}^{i_{n}}, \beta_{1}^{j_{1}}, \beta_{2}^{j_{2}}, \dots, \beta_{m}^{j_{m}} \in S, \quad a_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}}, b_{j_{1}, j_{2}, \dots, j_{m}} \in F \right\}.$$
\end{defi}

\begin{nap}
$F(S)$ je konachno generisano rashirenje nad $F$ za konachno $S = \{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{n} \}$.
\end{nap}

\begin{nap}
$F(S)$ je polje razlomaka domena $F[S]$. Ako je $F[S]$ konachno rashirenje, onda je $F[S] = F(S)$.
\end{nap}

\begin{defi}
Rashirenje generisano jednim elementom nazivamo \textbf{prosto rashirenje}. \index{prosto rashirenje}
\end{defi}

Postavlja se pitanje za dva data polja, kako konstruisati polje koje ih sadrzhi? Znamo da je Dekartov proizvod komutativnih prstena sa jedinicom takodje komutativni prsten sa jedinicom, medjutim, kod polja se to svojstvo ne prenosi, pa otuda potreba za uvodjenjem kompozitnog polja (kompozituma polja) \index{kompozitum polja}.

\begin{defi}
Neka je $E$ zajednichko rashirenje polja $F$ i $F'$. Najmanje polje koje ih sadrzhi se naziva kompozitnim poljem $F$ i $F'$, u oznaci $$ F\cdot F' = F(F') = F'(F). $$
\end{defi}

\subsection{Kronekerova konstrukcija}

U prethodnom odeljku smo videli kako da za polje $F$ i neki element $a$ iz njegovog rashirenja $K$ konstruishemo polje koje ih sadrzhi. Medjutim, primec1ujemo da nam je za tu konstrukciju potreban \glqq ambijent\grqq, odnosno da konstrukciju pravimo u odnosu na rashirenje $K$ polja $F$. Ovo \glqq ogranichenje\grqq \hspace{0.1pt} mozhemo da prevazidjemo korish{c1}enjem postupka poznatog kao Kronekerova konstrukcija. \index{Kronekerova konstrukcija}

\begin{thm}
[Kroneker] Neka je $F$ polje. Za nesvodljiv polinom $f\in F[x]$ stepena $d$ $K = F[X]/_{<f(x)>}$ je rashirenje polja $F$ stepena $[K:F] = d = degf$ u kojem polinom $f(x)$ ima barem jedan koren $x+<f(x)>$.
\end{thm}

\begin{pri}
Konstruishimo polje sa 4 elementa. Posmatrajmo polinom $f(x) = x^{2} + x +1 \in \lF_{2}[x]$. Ovaj polinom je nerastavljiv nad $\lF_{2}$, pa nam Kronekerova konstrukcija daje rashirenje $K = \lF_{2}/_{<f(x)>}$ stepena 2 nad $\lF_{2}$. Kako je $|\lF_{2}| = 2$, to je $|K| = 4$, pa je $K$ upravo trazheno polje.
\end{pri}


\subsection{Algebarski i transcendentni elemeni}

\begin{defi}
Neka je $E$ rashirenje polja $F$. Element $\alpha \in K$ zovemo algebarskim \index{algebarski element} nad $F$ ako postoji polinom $f(x) \in F[x]$ takav da je $f(\alpha) = 0$. U suprotnom, ako za $\alpha \in K$ ne postoji nijedan polinom $f(x) \in F[x]$ takav da je $f(\alpha) = 0$ taj element se naziva transcendentnim \index{transcendentni element} nad poljem $F$.
\end{defi}

\begin{tvr}
Neka je $K$ rashirenje polja $F$ i $\alpha \in K$ algebarski nad $F$. Tada postoji jedinstveni polinom $\mu_{\alpha, F}(x) \in F[x]$ takav da je:

\begin{enumerate}
    \item $\mu_{\alpha, F}(x) \neq 0$
    \item $\mu_{\alpha, F}(\alpha) = 0$
    \item $\mu_{\alpha, F}$ je monichan i nesvodljiv nad $F$
    \item za proizvoljan polinom $g(x)\in F[x]$ takav da $g(\alpha) = 0$ vazhi $\mu_{\alpha, F}(x) \mid g(x)$.
\end{enumerate}

Polinom $\mu_{\alpha, F}(x)$ nazivamo minimalni polinom \index{minimalni polinom} za $\alpha$ nad $F$.
\end{tvr}

U ovom sluchaju vazhi $F[x]/_{<\mu_{\alpha, F}(x)>} \cong F[\alpha] = F(\alpha)$.

\begin{defi}
Za rashirenje $E$ polja $F$ kazhemo da je algebarsko \index{algebarsko rashirenje} ako je svaki element $\alpha \in E$ algebarski nad $F$. U suprotnom je rashirenje $E \mid F$ transcendentno. \index{transcendentno rashirenje}
\end{defi}

\begin{tvr}\label{konacno_algebarsko}
Rashirenje $E \mid F$ je konachno ako i samo ako je algebarsko i konachno generisano.
\end{tvr}

$\triangle$ \hspace{0.5pt} \fbox{$\implies$} Neka je $\alpha \in E$ proizvoljan element. Posmatrajmo niz $1,\alpha, \alpha^{2},\dots$. Ako bi $\alpha$ bio transcendentan nad $F$ onda bi ovo bio beskonachan niz linearno nezavisnih elemenata u konachnom polju $E$, shto je kontradikcija! Dakle, rashirenje je algebarsko.
\\ Neka je sada $\alpha_{1}\in E$ i $\alpha_{1}\notin F$. Tada vazhi $F\subsetneq F(\alpha_{1})$. Ako je $F(\alpha_{1}) = E$, $E$ jeste konachno generisano i ovaj smer dokaza je zavrshen. Ako to ne vazhi, postupak induktivno nastavljamo: $$F\subsetneq F(\alpha_{1}) \subsetneq F(\alpha_{1}, \alpha_{2}) \subsetneq \dots$$ Pri tome, $\alpha_{i} \in E$ i $\alpha_{i} \notin F(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{i-1})$ za sve $i$. Ovim postupkom, za $k$ koraka, stizhemo do $E$ (jer je $E$ konachno rashirenje pa se postupak ne mozhe nastaviti u nedogled), i tada imamo $E = F(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{k})$ pa jeste konachno generisano.

\fbox{$\impliedby$} Neka je $E = F(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{k})$. Posmatrajmo niz rashirenja polja $F$:
$$F\subsetneq F(\alpha_{1}) \subsetneq F(\alpha_{1}, \alpha_{2}) \subsetneq \dots \subsetneq E.$$ Kako je $E$ algebarsko rashirenje nad $F$, svaki od elemenata $\alpha_{i}$ je algebarski nad $F(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{i-1})$ pa je $F(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{i}) \mid F(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{i-1})$ konachno rashirenje za svako $i$, kao i $F(\alpha_{1}) \mid F$. Tada vazhi $$[E:F] = [E:F(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{k-1})]\cdots [F(\alpha_{1}):F] < \infty,$$ pa je $E$ konachno rashirenje nad $F$.
$\square$

\begin{tvr}
Ako je $E \mid F$ algebarsko rashirenje, svaki potprsten od $E$ je polje.
\end{tvr}

$\triangle$ Neka je $R$ neki potprsten od $E$, i $\alpha\in R$ proizvoljan element. Vazhi $F[\alpha] \subseteq R$. Kako je $E$ algebarsko rashirenje, to je $F[\alpha] = F(\alpha)$, a kako $\alpha$ ima inverz u $F(\alpha)$, taj inverz je i u $R$, pa je $R$ polje.
$\square$

\begin{tvr}
Neka su $L\mid E$ i $E \mid F$ algebarska rashirenja. Tada je i $L \mid F$ algebarsko rashirenje.
\end{tvr}

$\triangle$ Neka je $\alpha \in L$ proizvoljan element. Postoji $a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0} \in E[x]$ takav da je $a_{n}\alpha^{n} + \dots + a_{1}\alpha + a_{0} = 0$. Posmatrajmo niz rashirenja $$F \subseteq F(a_{0}) \subseteq F(a_{0}, a_{1}) \subseteq \dots \subseteq F(a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}) \subseteq F(a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}, \alpha) = K \subseteq L, $$
pri chemu je $a_{0}$ algebarski nad $F$, $a_{1}$ algebarski nad $F(a_{0})$, \dots

Odatle je svako rashirenje iz niza algebarsko i konachno generisano, pa je i konachno (prema prethodnom tvrdjenu). Dakle, $[K:F] < \infty$, odnosno $K\mid F$ je konachno, pa je $\alpha$ algebarski nad $F$, tj. $L \mid F$ je algebarsko rashirenje. $\square$

\begin{defi}
Polje algebarskih brojeva \index{algebarski brojevi} $\lQ^{alg}$ je skup svih elemenata iz $\lC$ koji su algebarski nad $\lQ$. Elemente iz $\lC \diagdown \lQ$ nazivamo transcendentnim brojevima. \index{transcendentni brojevi}
\end{defi}

\begin{thm}
[Liuvil, 1844.] \index{Liuvilova teorema} $\alpha := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{n!}}$ je transcendentan broj.
\end{thm}

$\triangle$ Pretpostavimo suprotno, tj. $\alpha$ je algebarski nad $\lQ$.   Tada postoji polinom $f(x) = a_{d}x^{d} + a_{d-1}x^{d-1} + \dots + a_{1}x + a_{0} \in \lQ[x]$ takav da je $f(\alpha) = 0$. Zatim, postoji $D \in \lN$ takvo da je $D\cdot f(x) \in \lZ[x]$, i neka je on bash NZS za imenioce $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{d}$. Odatle je $$D\cdot f(x) = c \cdot (x-\alpha_{1})\cdot (x - \alpha_{2}) \cdots (x - \alpha_{d}),$$ gde je $\alpha_{1} = \alpha, \alpha_{i} \in \lC$ za sve $i \in \{1, 2, \dots, d\}$ (vazhi iz Osnovne teoreme algebre). Primetimo da $\alpha \notin \lQ$. Neka je sada $\sum_{N} := \sum_{n=0}^{N} \frac{1}{2^{n!}}$. $\sum_{N}$ je ochigledno iz $\lQ$, i vazhi $\sum_{N} \xrightarrow{N \rightarrow \infty} \alpha$. Neka je $x_{N} := f(\sum_{N}) \in \lQ$. Poshto $\alpha \notin \lQ$ njegov minimalan polinom nema rastav na linearne faktore nad $\lQ$, tj. nema racionalnih nula, pa onda ni $\sum_{N}$ nije nula minimalnog polinoma za $\alpha$ nad $\lQ$, shto znachi da je  $x_{N}\neq 0$. Primetimo da je $\sum_{N}$ razlomak chiji imenilac deli $2^{N!}$, odnosno $(2^{N!})^{d}\cdot D \cdot x_{N} \in \lZ$ (jer je $D$ odabrano tako da bude dovoljno veliko da \glqq ochisti\grqq \hspace{0.1pt} imenioce). Odatle je $|(2^{N!})^{d} \cdot D \cdot x_{N}| \geq 1$. Dalje, $$D \cdot x_{N} = D \cdot f({\sum}_{N}) = c \cdot ({\sum}_{N} - \alpha)\cdot ({\sum}_{N} -  \alpha_{2})\cdots ({\sum}_{N} - \alpha_{d}).$$ Vazhi i $$|{\sum}_{N} - \alpha| = \sum_{n>N} \frac{1}{2^{n!}} = \frac{1}{2^{(N+1)!}}\cdot (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots) = \frac{2}{2^{(N+1)!}}.$$ Oznachimo $M := max\{1, |\alpha_{2}|, \dots,  |\alpha_{d}|\} < \infty$. Sada je $$ |D\cdot x_{N}| \leq |c| \cdot \frac{2}{2^{(N+1)!}} \cdot ({\sum}_{N} + M)^{d-1} \leq \frac{2}{2^{(N+1)!}} \cdot |c|(\alpha+M)^{d-1}.$$ Neka je $M_{1} := |c|(\alpha + M)^{d-1} > 0$ i fiksirano. Konachno imamo $$ 1 \leq |2^{dN!} \cdot D \cdot x_{N}| \leq \frac{2^{dN!}}{2^{(N+1)!}} \cdot M_{1} = \Big( \frac{2^{d}}{2^{N+1}} \Big)^{N!} \cdot M_{1} \xrightarrow{N \rightarrow \infty} 0$$ shto je kontradikcija! Dakle, $\alpha$ je transcendentan. $\square$

\begin{nap}
Prethodna teorema vazhi i za $\alpha = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{b^{n!}}$, za $b\in\lN, b\geq2$.
\end{nap}
\newpage
\section{Algebarski zatvoreno polje, algebarsko zatvorenje polja, tvrdjenja o morfizmima iz prostih rashirenja, korensko polje polinoma (Dushan Dragutinovic1)}

\subsection{Algebarski zatvoreno polje, algebarsko zatvorenje polja}

Zapochnimo ovu temu karakterizacijom  polja sa odredjenim osobinama u sledec1oj teoremi.

\begin{thm}[Karakterizacija algebarski zatvorenog polja]
\label{karakterizacija_zatvorenog}
Neka je $\Omega$ polje. Tada su sledec1a tvrdjenja ekvivalentna:
\begin{enumerate}

\item Svaki nekonstantan polinom u $\Omega[x]$ se rastavlja na linearne faktore u $\Omega[x]$
\item Svaki nekonstantan polinom u $\Omega[x]$ ima bar jedan koren u $\Omega$
\item Svi nerastavljivi polinomi iz $\Omega[x]$ su stepena $1$

\item Svako konachno rashirenje od $\Omega$ se poklapa sa $\Omega$
\end{enumerate}
\end{thm}

$\triangle$ Lanac implikacija $1. \Rightarrow 2. \Rightarrow 3. \Rightarrow 1.$ je trivijalno tachan (iskazi nisu nishta drugo do reformulacija). Zato je dovoljno da dokazhemo ekvivalenciju $3. \Leftrightarrow 4.$

$\underline{3. \Rightarrow 4.}$ Neka je polje $E$ konachno rashirenje polja $\Omega$, neka je $\alpha \in E$ proizvoljan element tog polja i neka je $f(x)$ minimalan polinom za element $\alpha$ nad poljem $\Omega$. Tada imamo lanac rashirenja $\Omega \leq \Omega(\alpha) \leq E$. Po Kronekerovoj konstrukciji znamo da je $\Omega(\alpha) \cong \Omega[x] / \left\langle f(x)\right\rangle$, kao i $\left[ \Omega(\alpha) : \Omega \right] = \deg f$. Medjutim, $f(x)$ je jedan nerastavljiv polinom (kao minimalan za element $\alpha$ nad $\Omega$), te po pretpostavci $3.$ zakljuchujemo $\deg f = 1$, tj. $\Omega(\alpha) = \Omega$, odakle je $\alpha \in \Omega$. Ali tada je i, zbog proizvoljnosti odabira $\alpha \in E$, $E = \Omega$.

$\underline{4. \Rightarrow 3.}$ Neka je $f \in \Omega[x]$ jedan proizvoljno odabran nerastavljiv polinom. Tada je po Kronekerovoj konstrukciji $\Omega[x] / \left\langle f(x)\right\rangle$ jedno konachno rashirenje polja $\Omega$ stepena $\deg f$. Medjutim, prema pretpostavci $4.$ ono se mora poklapati sa poljem $\Omega$, te dobijamo $\deg f = 1$. $\square$
\\

Polja sa svojstvima iz prethodne teoreme bic1e nam znachajna i zato ih izdvojimo u sledec1oj definiciji.

\begin{defi}
Za polje $\Omega$ kazhemo da je \textbf{algebarski zatvoreno} \index{algebarski zatvoreno polje} ako se svaki nekonstantan polinom iz $\Omega[x]$ rastavlja na linearne faktore u $\Omega[x]$.
\end{defi}

\begin{pri} Polje kompleksnih brojeva $\lC$ je jedno algebarski zatvoreno polje (na osnovu \textit{Osnovne teoreme algebre}).
\end{pri}

\begin{defi}
Polje $\Omega$ nazivamo \textbf{algebarskim zatvorenjem polja}\index{algebarsko zatvorenje polja} $F$ ako je:
\begin{itemize}
\item algebarsko rashirenje polja $F$
\item algebarski zatvoreno polje.
\end{itemize}
\end{defi}

\begin{pri} Polje kompleksnih brojeva $\lC$, iako je algebarski zatvoreno, \text{nije!} algebarsko zatvorenje polja $\lQ$, jer nije algebarsko rashirenje polja $\lQ$ (npr. $\pi \in \lC$ nije algebarski nad $\lQ$).
\end{pri}


\begin{tvr} Neka $\Omega$ neko rashirenje polja $F$. Tada je $\left\{ \alpha \in \Omega \mid \alpha \text{ je algebarski nad } F\right\}$ jedno potpolje od $\Omega$.
\end{tvr}

$\triangle$ Oznachimo $E = \left\{ \alpha \in \Omega \mid \alpha \text{ je algebarski nad } F\right\}$ i neka su $\alpha, \beta \in E$ proizvoljni. Tada imamo naredni lanac rashirenja: $F \leq F[\alpha] \leq F[\alpha, \beta] \leq \Omega$. $F[\alpha, \beta]$ jeste jedno konachno rashirenje polja $F$, zato shto je $[F[\alpha, \beta]:F] = [F[\alpha, \beta]:F[\alpha]]\cdot [F[\alpha]:F]$ po Teoremi o multiplikativnosti stepena rashirenja \ref{multstep} i pritom $[F[\alpha, \beta] :F[\alpha]]\leq [F[\beta] :F]$, a $\alpha, \beta$ su algebarski nad $F$, pa je $[F[\alpha] :F], [F[\beta] :F] < \infty$. Na osnovu Tvrdjenja \ref{konacno_algebarsko}, $F[\alpha, \beta]$ je tada jedno algebarsko rashirenje polja $F$, pa time i $F[\alpha, \beta] = F(\alpha, \beta)$. Specijalno, tada $\alpha + \beta, \alpha\beta, \frac{\alpha}{\beta}\in F(\alpha, \beta) = F[\alpha, \beta] \subseteq E$. Odatle konachno sledi zakljuchak da je $E$ jedno potpolje polja $\Omega$. $\square$

\begin{defi}
Neka je $\Omega$ rashirenje polja $F$. \textbf{Algebarsko zatvorenje polja} $F$ \textbf{u polju}\index{algebarsko zatvorenje polja $F$ u polju $\Omega$} $\Omega$ jeste polje $\left\{ \alpha \in \Omega \mid \alpha \text{ je algebarski nad } F\right\}$.
\end{defi}

\begin{lem} Neka je $\Omega$ algebarsko rashirenje polja $F$. Ako se svaki polinom $f(x) \in F[x]$ rastavlja na linearne faktore u $\Omega[x]$, tada je $\Omega$ jedno algebarsko zatvorenje polja $F$.
\end{lem}

$\triangle$ Kako je $\Omega$ algebarsko rashirenje polja $F$, dovoljno je pokazati da je ono algebarski zatvoreno.

Neka je $g(x) \in \Omega[x]$ proizvoljni nekonstantni polinom i neka se zapisuje na primer kao $g(x) = a_nx^n + ... + a_1x + a_0$, za neke $a_1, ..., a_n \in \Omega$.

Prema Kronekerovoj konstrukciji, postoji neko konachno algebarsko rashirenje $\Omega'$ od $\Omega$ u kom $g(x)$ ima bar jedan koren npr. $\alpha$. Kako su koeficijenti $a_i \in \Omega$, koje je algebarsko nad $F$, to je $F[a_0, a_1, ..., a_n]$ jedno algebarsko, pa i konachno rashirenje polja $F$ (i potpolje polja $\Omega$). Polinom $g(x)$ mozhemo videti i kao polinom iz $F[a_0, a_1, ..., a_n][x]$, te je stepen $[F[a_0, a_1, ..., a_n][\alpha]:F[a_0, a_1, ..., a_n]] \leq \deg g$, pa specijalno konachan. Zato je po Teoremi o multiplikativnosti stepena \ref{multstep} $F[a_0, a_1, ..., a_n][\alpha] = F[a_0, a_1, ..., a_n,\alpha]$ konachno rashirenje od $F$, a time i algebarsko rashirenje polja $F$. $\alpha$ je stoga algebarski element nad $F$ i imamo sledec1i lanac rashirenja: $$F\leq F[a_0, a_1, ..., a_n]\leq F[a_0, a_1, ..., a_n,\alpha]\leq \Omega'$$

Neka je $f(x)$ minimalan polinom za $\alpha$ nad $F$, $f(x)\in F[x], f(\alpha)=0$ (u $\Omega'$). Kako se svaki polinom iz $F[x]$ rastavlja na linearne faktore u $\Omega[x]$, to $\alpha\in \Omega$.

Konachno, $g(x)$ ima bar jedan koren u $\Omega$, pa je po Teoremi \ref{karakterizacija_zatvorenog} $\Omega$ algebarski zatvoreno polje. $\square$

\begin{posl} Neka je $\Omega$ jedno algebarski zatvoreno polje. Tada za svako potpolje $F\leq \Omega$, algebarsko zatvorenje polja $F$ u polju $\Omega$ je jedno algebarsko zatvorenje polja $F$.
\end{posl}

$\triangle$ Neka je $E$ jedno algebarsko zatvorenje polja $F$ u polju $\Omega$, podsetimo se, ono je tada $E = \left\{ \alpha \in \Omega \mid \alpha \text{ je algebarski nad } F\right\}$. Tada se svaki polinom $f(x) \in F[x]$ rastavlja na linearne faktore u $E[x]$ ($\Omega$ je algebarski zatvoreno!), uz to je po definiciji $E$ algebarsko rashirenje nad $F$, pa na osnovu prethodne leme dobijamo da je $E$ algebarsko zatvorenje polja $F$.$\square$

\begin{pri} Polje algebarskih brojeva $\lQ^{alg}$ je algebarsko zatvorenje polja $\lQ$ u polju $\lC$; $\lC$ je algebarski zatvoreno, pa je i $\lQ^{alg}$ algebarski zatvoreno.
\end{pri}

Bez dokaza (koji zahteva upotrebu \textit{aksiome izbora}) navodimo i sledec1i znachajan teorijski rezultat.

\begin{thm}
Svako polje ima bar jedno algebarsko zatvorenje.
\end{thm}

\subsection{Tvrdjenja o morfizmima iz prostih rashirenja}

Neka je $F$ polje, $F(\alpha)$ neko njegovo prosto rashirenje, $\Omega$ neko drugo polje koje sadrzhi $F$. U nastavku, pitamo se da li postoje $F$ - morfizmi ("preslikavanja koja chuvaju $F$") iz prostog rashirenja $F(\alpha)$ u polje $\Omega$ i ako da, koliko ih ima. Ovo c1e biti prvi i znachajan korak u ispitivanju utapanja iz proizvoljnog konachnog rashirenja od $F$ u neko drugo njegovo rashirenje.

\begin{center}


\begin{tikzpicture}
  \matrix (m) [matrix of math nodes,row sep=3em,column sep=4em,minimum width=2em]
  {
     F(\alpha) & \Omega \\
     F & F \\};
  \path[-stealth]
    (m-1-1) edge [dashed] node [below] {} (m-1-2)
    (m-2-1) edge node [below] {} (m-1-1)
    (m-2-2) edge node [right] {} (m-1-2)
    (m-2-1) edge node [above] {\textup{\Lat{id}}} (m-2-2)
    ;
\end{tikzpicture}
\end{center}

%\begin{figure}[h]
%\centering
%\includegraphics[width=0.3\textwidth]{untitled.pdf}
%\end{figure}


\begin{tvr}[Tvrdjenje o morfizmima iz prostih rashirenja]\index{Tvrdjenje o morfizmima iz prostih rashirenja}\label{tomizprostih}
Neka je $\Omega$ neko rashirenje polja $F$.

$(a)$ Neka je $\alpha$ transcendentan element nad $F$. Onda je za svaki $F $- morfizam $\varphi : F(\alpha) \to \Omega$, $\varphi(\alpha) \in \Omega$ transcendentan nad $F$. Uz to, pridruzhivanje $\varphi \mapsto \varphi(\alpha)$ zadaje $1-1$ korespondenciju:

$$\begin{Bmatrix}
F - \text{morfizmi } \varphi \\
\varphi : F(\alpha) \to \Omega
\end{Bmatrix}  \overset{1-1}{\leftrightarrow} \begin{Bmatrix}
\text{elementi iz } \Omega \\
\text{transcendenti nad }F
\end{Bmatrix}
$$

$(b)$ Neka je $\alpha$ algebarski element nad $F$, $m(x) \in F[x]$ minimalni polinom za $\alpha$ nad $F$. Tada za svaki $F$ - morfizam $\varphi: F(\alpha)=F[\alpha] \to \Omega$ imamo da je $\varphi(\alpha)$ jedan koren od $m(x)$ u $\Omega$. Uz to, pridruzhivanje $\varphi \mapsto \varphi(\alpha)$ zadaje $1-1$ korespondenciju

$$\begin{Bmatrix}
F - \text{morfizmi } \varphi \\
\varphi : F(\alpha) \to \Omega
\end{Bmatrix}  \overset{1-1}{\leftrightarrow} \begin{Bmatrix}
\text{koreni polinoma} \Omega \\
m(x) \text{ u }\Omega
\end{Bmatrix}
$$
Specijalno,
$$\# F\text{ - utapanja } F[\alpha]\text{ u } \Omega = \# \text{razlichitih korena } m(x)\text{ u } \Omega$$

\end{tvr}
$\triangle$ $(a)$ Neka je $\alpha$ transcendentan nad $F$ i neka je $\varphi: F[\alpha] \to \Omega$ preslikavanje koje $f(\alpha)\mapsto f(\gamma)$, gde $f(x)\in F[x]$, $\alpha \mapsto \gamma \in \Omega$. Ovim je dobro definisan morfizam prstena koji proshiruje identichko preslikavanje na $F$. Ovo $\varphi$ se mozhe proshiriti do $F - $morfizma $F[\alpha]\to \Omega$ ako i samo ako za nenula polinome $f(x)\in F[x]$ vazhi $f(\gamma) = \varphi (f(\alpha)) \neq 0$ u $\Omega$, shto bash znachi da je $\gamma\in \Omega$ transcendentan nad $F$.

$(b)$ Kako je $m(x)$ minimalni polinom za $\alpha$ nad $F$, to je i $m(\alpha) = 0$. Neka se $m(x)$ predstavlja kao $m(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} ... + a_1x + a_0$, za neke $a_0, a_1, ...., a_{n-1} \in F, n \in \lN,$. Tada je:



\begin{align*}
0 = \varphi(0) = \varphi(m(\alpha)) &= \varphi(\alpha^n + ... + a_1\alpha + a_0)\\
 &= \varphi(\alpha^n) + ... + \varphi(a_1)\varphi(\alpha) + \varphi(a_0) \\
 &= \varphi(\alpha)^n + ... + a_1\varphi(\alpha) + a_0 \\
&= m(\varphi(\alpha))
\end{align*}

Obrnuto, za bilo koji drugi koren $\gamma$ polinoma $m(x)$ imamo utapanje iz $F[\alpha]$ u $\Omega$ tako shto preslikamo $f(\alpha)\mapsto f(\gamma)$.

Specijalno, vazhi i $\# \text{utapanja } F[\alpha] \to \Omega \text{ je} \leq \deg m$. $\square$
\\

Primetimo da nam drugi deo prethodne teoreme govori o tome da se $F - $morfizmom $\varphi$ skup svih korena polinoma $m(x)$ u $\Omega$ permutuje. Ovo je svojstvo od sushtinskog znachaja!

\begin{nap}\label{tomizpo}

Slichno kao u prethodnom tvrdjenju c1e sve vazhiti ako na donjem nivou dijagrama umesto identichkog preslikavanja stoji proizvoljno utapanje (dokaz c1e biti praktichno isti).
Dakle, neka je $\varphi_0 : F \to \Omega$ proizvoljno utapanje, kojim se $F$ slika u $\varphi_0(F)$. Zanimaju nas preslikavanja $\varphi : F[\alpha] \to \Omega$.

\begin{center}


\begin{tikzpicture}
  \matrix (m) [matrix of math nodes,row sep=3em,column sep=4em,minimum width=2em]
  {
     F(\alpha) & \Omega \\
     F & \varphi_0(F) \\};
  \path[-stealth]
    (m-1-1) edge [dashed] node [below] {} (m-1-2)
    (m-2-1) edge node [below] {} (m-1-1)
    (m-2-2) edge node [right] {} (m-1-2)
    (m-2-1) edge node [above] {$\varphi_0$} (m-2-2)
    ;
\end{tikzpicture}
\end{center}

%\begin{figure}[h]
%\centering
%\includegraphics[width=0.3\textwidth]{untitled1.pdf}
%\end{figure}
Kao i malopre, ako je $\alpha$ algebarski element nad $F$, tada postoji $1-1$ korespondencija

$$\begin{Bmatrix}
\text{morfizmi } \\
\varphi : F(\alpha) \to \Omega \\
\text{takvi da } \varphi_{\restriction F} = \varphi_0
\end{Bmatrix}  \overset{1-1}{\leftrightarrow} \begin{Bmatrix}
\text{skup svih korena } \\
\text{polinoma } \varphi_0(m(x)) \\
\text{u polju }\Omega
\end{Bmatrix}
$$
gde je $\varphi_0(a_mx^m + ... + a_1x + a_0) = \varphi_0(a_m)x^m + ... + \varphi_0(a_1)x + \varphi_0(a_0)$. Ovaj iskaz se nekada naziva \textbf{Teoremom o ekstenziji izomorfizma za prosta algebarska rashirenja}.
\end{nap}
\subsection{Korensko polje polinoma}
\begin{defi} Neka je $F$ polje i $f(x) \in F[x]$. Polje $E \geq F$ nazivamo \textbf{korenskim poljem polinoma}\index{korensko polje polinoma} $f(x)$ \textbf{nad poljem} $F$:
\begin{itemize}
\item ako se $f(x)$ faktorishe na linearne faktore u $E[x]$, tj. $f(x) = c(x-\alpha_1)\cdot...\cdot (x-\alpha_d)$, za $c \in F, \alpha_1, ..., \alpha_d \in E$
\item i ako je $E = F[\alpha_1, ..., \alpha_d]$
\end{itemize}
\end{defi}

\begin{thm}
Za svako polje $F$ i svaki polinom $f(x)\in F[x]$ postoji (bar jedno) korensko polje $E$ polinoma $f(x)$ nad $F$ i pritom vazhi $[E:F]\leq (\deg f)!$.
\end{thm}
$\triangle$
Neka je $f(x)\in F[x]$ proizvoljno odabran polinom stepena $d = \deg f$. Tada Kronekerovom konstrukcijom, mozhemo dobiti rashirenje od $F$ koje sadrzhi neki koren polinoma $f(x)$. Oznachimo taj koren sa $\alpha_1$. Tako dobijamo rashirenje $F[\alpha_1]\geq F$, stepena $[F[\alpha_1]: F]\leq d$ (oprez: ne znamo da li je $f(x)$ nerastavljiv u $F[x]$, pa zato ovde ide $\leq d$ umesto $=d$).

Primenimo ponovo Kronekerovu konstrukciju, ovaj put na polinom $\frac{f(x)}{x-\alpha_1}\in F[\alpha_1]$ i na polje $F[\alpha_1]$. Tako dobijamo lanac rashirenja $F[\alpha_1, \alpha_2]\geq F[\alpha_1] \geq F$, gde je $\alpha_2$ neki koren od $\frac{f(x)}{x-\alpha_1}$. Polinom $\frac{f(x)}{x-\alpha_1}\in F[\alpha_1]$ je stepena $d-1$ i zato je $\left[F[\alpha_1, \alpha_2]: F[\alpha_1]\right]\leq d - 1$.

Nastavimo primenu postupka dokle kod mozhemo, tj. dok ne ostanemo na konstantnom polinomu. Taj postupak c1e imati tachno $d = \deg f$ koraka, mada se neka medjupolja mogu poklapati. Time dobijamo polje  $E = F[\alpha_1, ..., \alpha_d]$ za neke $\alpha_1, ... \alpha_d$ (od kojih se neki mogu poklapati) koje c1e biti stepena $[E:F]\leq (\deg f)!$ na osnovu Teoreme o multiplikativnosti stepena \ref{multstep} i $f(x)$ se u polju $E[x]$ faktorishe na linearne faktore, $f(x) = c(x-\alpha_1)\cdot...\cdot (x-\alpha_d) $, $c\in F$. $\square$

\begin{nap} Neko (svako!) c1e se pobuniti shto smo u prethodnom dokazu "primenili Kronekerovu konstrukciju na polinom $f(x)$ za koji ne znamo da je nerastavljiv". Medjutim, ono shto smo mi sushtinski radili jeste to da smo Kronekerovu konstrukciju primenjivali na neki nerastavljiv faktor od $f(x)$ i posle na neki nerastavljiv faktor od $\frac{f(x)}{x-\alpha_1}$... Dakle, "opis algoritma"{} bio bi: ako $f(x)$ ima nekoliko nerastavljivih faktora, rashirimo polje $F$ prvim nerastavljivim faktorom i dobijemo neko $F_1 = F[\alpha_1]$, zatim njega dalje shirimo nerastavljivim faktorom polinoma $\frac{f(x)}{x-\alpha_1} \in F[\alpha_1]$ i dobijemo neko $F_2 = F[\alpha_1, \alpha_2]$... polje $F[\alpha_1, ..., \alpha_{d-1}]$ shirimo nerastavljivim faktorom ($=$ samim tim polinomom koji c1e biti stepena $1$) $\frac{f(x)}{(x-\alpha_1)\cdot...\cdot(x-\alpha_{d-1})}\in F[\alpha_1, ..., \alpha_{d-1}]$ i dobijamo $E = F[\alpha_1, ..., \alpha_{d-1}, \alpha_d]$.
\end{nap}

\newpage

\section{Teorema o utapanjima korenskog polja, vishestruki koreni i separabilnost, konachne grupe automorfizama (Sofija Todoric1)}

\subsection{Teorema o utapanjima korenskog polja}

\begin{thm}[Teorema o utapanjima korenskog polja]\label{toekst}\index{Teorema o utapanjima korenskog polja}
Neka je $F$ polje i $f\in F[x]$. Neka je $K$ neko korensko polje polinoma $f$ nad $F$, $\Omega$ rashirenje polja $F$ u kom se $f$ faktorishe na linearne faktore i $S=\{ \varphi:K\hookrightarrow \Omega \ | \ \varphi$ je $F-$utapanje$\}$. Tada:
\begin{enumerate}
    \item $S\neq \emptyset$ tj. $ |S| \geq 1$
    \item $|S|\leq [K:F]$
    \item ako su svi koreni polinoma $f$ u $\Omega$ razlichiti, onda je $|S|=[K:F]$.
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{center}
    \begin{tikzpicture}
    \node (A) at (0,0) {$K$};
    \node (B) at (2,0) {$\Omega$};
    \node (C) at (0,-2) {$F$};
    \node (D) at (2,-2) {$F$};
    \draw[->,dashed] (A) -- (B) node[midway,above] {$\varphi$};
    \draw[->] (C) -- (D) node[midway,below] {$id$};
    \draw (A) -- (C);
    \draw (B) -- (D);
\end{tikzpicture}
\end{center}
$\triangle$
$$K=F[\alpha_1, \ldots , \alpha_n]$$
Neka je $f_1$ minimalni polinom za $\alpha_1$ nad $F$. Znamo da se $f_1$ faktorishe na linearne faktore u $\Omega[x]$ i da $f_1\vert f$. Iz tvrdjenja \ref{tomizprostih} imamo da postoji $F-$utapanje $\varphi_1:F[\alpha_1]\hookrightarrow \Omega$, da je broj ovakvih utapanja manji ili jednak od $[F[\alpha_1]:F]=\deg f_1$ i da je taj broj jednak $[F[\alpha_1]:F]$ ako $f_1$ ima razlichite korene u $\Omega$
\begin{center}\begin{tikzpicture}
    \node (A) at (0,0) {$F[\alpha_1]$};
    \node (B) at (2,0) {$\Omega$};
    \node (C) at (0,-2) {$F$};
    \node (D) at (2,-2) {$F$};
    \draw[->,dashed] (A) -- (B) node[midway,above] {$\varphi_1$};
    \draw[->] (C) -- (D) node[midway,below] {$id$};
    \draw (A) -- (C);
    \draw (B) -- (D);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Neka je $\varphi_1:F[\alpha_1]\hookrightarrow \Omega$ jedno $F-$utapanje. Preslikavanje $\varphi_1$ mozhemo posmatrati kao izomorfizam $\varphi_1:F[\alpha_1] \rightarrow \varphi_1(F[\alpha_1])$. Neka je $f_2$ minimalni polinom za $\alpha_2$ nad $F[\alpha_1]$. Iz napomene \ref{tomizpo} imamo da postoji $F[\alpha_1]-$utapanje $\varphi_2:F[\alpha_1,\alpha_2] \hookrightarrow \Omega$, broj ovakvih utapanja je manji ili jednak $[F[\alpha_1,\alpha_2]:F[\alpha_1]]=\deg f_2$ i jednakost se dostizhe ako $f_2$ ima razlichite korene u $\Omega$.
\begin{center}\begin{tikzpicture}
    \node (A) at (0,0) {$F[\alpha_1,\alpha_2]$};
    \node (B) at (3,0) {$\Omega$};
    \node (C) at (0,-2) {$F[\alpha_1]$};
    \node (D) at (3,-2) {$\varphi_1(F[\alpha_1])$};
    \draw[->,dashed] (A) -- (B) node[midway,above] {$\varphi_2$};
    \draw[->] (C) -- (D) node[midway,below] {$\varphi_1$};
    \draw (A) -- (C);
    \draw (B) -- (D);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Nastavljanjem postupka dolazimo do:
\begin{center}\begin{tikzpicture}
    \node (A) at (0,0) {$F[\alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_n]$};
    \node (B) at (5,0) {$\Omega$};
    \node (C) at (0,-2) {$F[\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}]$};
    \node (D) at (5,-2) {$\varphi_{n-1}(F[\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}])$};
    \draw[->,dashed] (A) -- (B) node[midway,above] {$\varphi_n$};
    \draw[->] (C) -- (D) node[midway,below] {$\varphi_{n-1}$};
    \draw (A) -- (C);
    \draw (B) -- (D);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Broj $F-$utapanja $\varphi:K\hookrightarrow \Omega$ je manji ili jednak od $$[F[\alpha_1]:F]\cdot [F[\alpha_1,\alpha_2]:F[\alpha_1]]\cdot \ldots \cdot [F[\alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_n]:F[\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}]]=$$ $$=[F[\alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_n]:F]=[K:F]$$
Ako su svi koreni polinoma $f$ u $\Omega$ razlichiti, tada su svi koreni polinoma $f_1$ u $\Omega$ razlichiti jer $f_1\vert f$, svi koreni polinoma $f_2$ u $\Omega$ su razlichiti...svi koreni polinoma $f_n$ su razlichiti i u svakom medjukoraku se dostizhe jednakost tj. broj $F[\alpha_1,,\ldots, \alpha_{j-1}]-$utapanja $F[\alpha_1,,\ldots, \alpha_j]\hookrightarrow \Omega$ je $[F[\alpha_1,,\ldots, \alpha_j]:F[\alpha_1,,\ldots, \alpha_{j-1}]]$, pa je i broj $F-$utapanja $\varphi:K\hookrightarrow \Omega$ jednak $[K:F]$. $\hfill \square$

\begin{posl}\index{korensko polje polinoma}
Neka je $F$ polje i $f\in F[x]$. Ako su $K$ i $E$ dva korenska polja polinoma $f$ nad poljem $F$, tada su $K$ i $E$ dva $F-$izomorfna polja.
\end{posl}
$\triangle$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    \node (A) at (0,0) {$K$};
    \node (B) at (2,0) {$E$};
    \node (C) at (0,-2) {$F$};
    \node (D) at (2,-2) {$F$};
    \node (E) at (4,0) {$E$};
    \node (F) at (6,0) {$K$};
    \node (G) at (4,-2) {$F$};
    \node (H) at (6,-2) {$F$};
    \draw[->,dashed] (A) -- (B) node[midway,above] {$\varphi$};
    \draw[->] (C) -- (D) node[midway,below] {$id$};
    \draw (A) -- (C);
    \draw (B) -- (D);
    \draw[->,dashed] (E) -- (F) node[midway,above] {$\psi$};
    \draw[->] (G) -- (H) node[midway,below] {$id$};
    \draw (E) -- (G);
    \draw (F) -- (H);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Iz teoreme \ref{toekst} postoji $F-$utapanje $\varphi:K\hookrightarrow E$. Odavde sledi da je $[K:F]\leq[E:F]$. Na isti nachin znamo da postoji $F-$utapanje $\psi:E\hookrightarrow K$ i da je $[E:F]\leq[K:F]$, pa mora vazhiti $[E:F]=[K:F]$. Iz ovoga sledi da je $[\varphi(K):F]=[K:F]=[E:F]$ i $\varphi(K)\leq E$, pa mora vazhiti $\varphi(K)=E$ tj. $\varphi$ je $F-$izomorfizam. $\hfill\square$

\begin{thm}[Teorema o ekstenziji $F$-morfizma za konachna rashirenja]
Neka su $E$ i $L$ rashirenja polja $F$, pri chemu je $[E:F]$ konachan. Tada postoji konachno rashirenje $\Omega$, polja $L$, u koje se polje E utapa i broj $F-$utapanja $E\hookrightarrow \Omega$ je manji ili jednak $[E:F]$.
\end{thm}
$\triangle$

\begin{center}
   \begin{tikzpicture}
    \node (E) at (2,1) {$\Omega$};
    \node (A) at (0,-0) {$E$};
    \node (B) at (2,0) {$L$};
    \node (C) at (0,-1) {$F$};
    \node (D) at (2,-1) {$F$};
    \draw[->,dashed] (A) -- (E) node[midway,above] {$\varphi$};
    \draw[->] (C) -- (D) node[midway,below] {$id$};
    \draw (A) -- (C);
    \draw (B) -- (D);
    \draw (E) -- (B);
\end{tikzpicture}
\end{center}

$[E:F]$ je konachan $\implies (\exists \ \alpha_1,\ldots ,\alpha_n \in E)\ E=F\alpha_1+\ldots+F\alpha_n$\\
Neka je $f=\mu_{\alpha_1,F} \cdot \ldots \cdot \mu_{\alpha_n,F}$ i neka je $\Omega$ neko korensko polje polinoma $f$ nad $L$. Znamo da je $\Omega$ konachno rashirenje polja $L$, a iz teoreme \ref{toekst} imamo da postoji $F-$utapanje $\varphi:E \hookrightarrow \Omega$ i da je broj ovakvih utapanja manji ili jednak od $[E:F]$. $\hfill \square$

\begin{posl}
Neka su $E$ i $L$ rashirenja polja $F$, pri chemu je $[E:F]$ konachan. Tada je broj $F-$utapanja $\varphi:E \hookrightarrow L$ manji ili jednak od $[E:F]$.
\end{posl}

\begin{posl}
Neka su $E_1, \ldots , E_n$ i $L$ rashirenja polja $F$, pri chemu je za sve $j\in \{1,\ldots , n\}$ $[E_j:F]$ konachan. Tada postoji konachno rashirenje $\Omega$, polja $L$, u koje se $E_j$ utapa, za sve $j\in \{1,\ldots , n\}$.
\end{posl}
\begin{center}
    \begin{tikzpicture}
    \node (A) at (0,0) {$E_2$};
    \node (B) at (3,0) {$L$};
    \node (C) at (0,-2) {$F$};
    \node (D) at (3,-2) {$F$};
    \node (E) at (3,2) {$\Omega$};
    \node (F) at (-1,0) {$E_1$};
    \node (G) at (2,0) {$E_n$};
    \draw[dotted, thick] (A) -- (G);
    \draw[->] (C) -- (D) node[midway,below] {$id$};
    \draw (A) -- (C);
    \draw (B) -- (D);
    \draw (B) -- (E);
    \draw (C) -- (F);
    \draw (C) -- (G);
    \draw[->] (F) -- (E);
    \draw[->] (A) -- (E);
    \draw[->] (G) -- (E);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Vishestruki koreni i separabilnost}

\begin{lem}\label{lemaoNZD}
Neka je $\Omega$ rashirenje polja $F$ i $f,g\in F[x]$. Tada je $NZD_{\Omega[x]}(f,g)=NZD_{F[x]}(f,g)$.
Specijalno, ako su $f$ i $g$ nerastavljivi u $F[x]$ i nemaju zajednichki koren u $F$, onda $f$ i $g$ nemaju zajednichki koren ni u proizvoljnom rashirenju polja $F$.
\end{lem}
$\triangle$
Neka je $r_\Omega=NZD_{\Omega[x]}(f,g)$ i neka je $r_F=NZD_{F[x]}(f,g)$\\
$(\exists a,b\in F[x])\ af+bg=r_F \implies (\exists a,b\in \Omega[x])\ af+bg=r_F \implies r_\Omega \vert r_F$\\
Trivijalno vazhi: $r_F \vert r_\Omega$. $\hfill\square$

\begin{defi}
Neka je $F$ polje, $f\in F[x]$ i neka su $\alpha_1, \ldots , \alpha_n$ razlichiti koreni polinoma $f$ u nekom korenskom polju za $f$ nad $F$. Kazhemo da je $m_j\in \lN$ \textbf{vishestrukost korena}\index{vishestrukost korena polinoma} $\alpha_j$ ako je  $f(x)=\prod\limits_{j=1}^{n}(x-\alpha_j)^{m_j}$.
Koren $\alpha_j$ je \textbf{vishestruki koren} polinoma $f$ ako je $m_j\geq2$.
\end{defi}

\begin{pri}
\textup{Neka je $f(x)=x^p-t\in \lF_p(t)[x]$.\\
Iz Ajzenshtajnovog kriterijuma sledi da je $f$ nerastavljiv.\\
Neka je $\alpha$ koren polinoma $f$ u nekom korenskom polju za $f$ nad $\lF_p(t)$. Vazhi: $\alpha^p=t$.\\
$f(x)=x^p-t=x^p-\alpha^p=(x-\alpha)^p$ jer je $char\lF_p(t)=p$\\
Dakle, $\alpha$ je koren vishestrukosti $p$, nerastavljivog polinoma $f$.}
\end{pri}

\begin{defi}
Neka je $F$ polje i $f\in F[x]$, $f(x)=\sum\limits_{j=0}^n a_jx^j$. \textbf{Izvod polinoma}\index{izvod polinoma} $f$ je polinom $f'(x)=\sum\limits_{j=1}^n ja_jx^{j-1}$.
\end{defi}

\begin{tvr}\label{tvrovk}
Neka je $F$ polje i $f\in F[x]$. Tada $f$ nema vishestruke korene akko je\\
$NZD(f,f')=1$.
\end{tvr}
$\triangle$\\
$\implies:$ $NZD(f,f')\neq1\implies$ postoji $\alpha$ takvo da $(x-\alpha)\vert NZD(f,f') \implies f(\alpha)=0$ i $f'(\alpha)=0$\\
Postoje $a_1,\ldots,a_n\in F[\alpha]$ takvi da je\\ $f(x)=a_1(x-\alpha)+a_2(x-\alpha)^2+\ldots+a_n(x-\alpha)^n$, pa je $f'(x)=a_1+2a_2(x-\alpha)+\ldots+na_n(x-\alpha)^n$.\\
$f'(\alpha)=0\implies a_1=0\implies (x-\alpha)^2\vert f$\\
$\impliedby:$ $f$ ima vishestruke korene$\implies$ postoji $\alpha$ takvo da je $f(x)=(x-\alpha)^2g(x)$ za neko $g\in F[\alpha][x]$\\
$f'(x)=(x-\alpha)(2g(x)-g'(x))\implies (x-\alpha)\vert NZD(f,f')\implies NZD(f,f')\neq1$ u $F[\alpha][x]$, pa je iz leme \ref{lemaoNZD} $NZD(f,f')\neq1$ u $F[x]$.$\hfill\square$

\begin{tvr}
Neka je $F$ polje i $f\in F[x]$ nerastavljiv polinom. Sledec1a tvrdjenja su ekvivalentna:
\begin{enumerate}
    \item $f$ ima bar 1 vishestruki koren
    \item $NZD(f,f')\neq 1$
    \item $charF=p\neq 0$ i $f\in F[x^p]$
    \item svi koreni polinoma $f$ su vishestruki
\end{enumerate}
\end{tvr}
$\triangle$
%Neka je $f(x)=\sum\limits_{j=0}^n a_jx^j$

$1\implies2 $:
%Neka je $\alpha$ vishestruki koren polinoma $f$. Tada %postoji $g\in F[\alpha][x]$ takvo da je %$f(x)=(x-\alpha)^2g(x)$.\\
%$f'(x)=2(x-\alpha)g(x)+(x-\alpha)^2g'(x)=(x-\alpha)(2g(%x)+g'(x))$\\
%$(x-\alpha)\vert f$ i $(x-\alpha)\vert f' \implies$ %$NZD(f,f')\neq1$ u $F[\alpha][x]$, pa iz leme %\ref{lemaoNZD} imamo $NZD(f,f')\neq1$ u $F[x]$
Sledi iz tvrdjenja \ref{tvrovk}.

$2 \implies 3$:
$f$ je nerastavljiv $\implies NZD(f,f')\in\{1,f\}$ (jer samo 1 i $f$ dele $f$)\\
$NZD(f,f')\neq 1 \implies NZD(f,f')=f$\\
$\deg f'<\deg f \implies f'=0 \implies (\forall j\in\{1,\ldots , n\})ja_j=0$\\
$f$ je nerastavljiv $\implies (\exists j\in\{1,\ldots , n\})\ a_j\neq 0 \implies (\exists j\in\{1,\ldots , n\})\ j=0$ u $F \implies charF\neq 0$. Uz to, ako je $charF=p$, $(\forall j\in\{1,\ldots , n\})(a_j\neq 0 \implies j=0)$, pa\\ $(\forall j\in\{1,\ldots , n\})(a_j\neq 0 \implies p\vert j)$. Iz ovoga sledi $f\in F[x^p]$.

$3 \implies 4$:
Trivijalno vazhi da je $f'=0$.\\
Neka je $\alpha$ neki koren polinoma $f$. Tada postoje $a_1,\ldots,a_n\in F[\alpha]$ takvi da je\\ $f(x)=a_1(x-\alpha)+a_2(x-\alpha)^2+\ldots+a_n(x-\alpha)^n$, pa je $0=f'(x)=a_1+2a_2(x-\alpha)+\ldots+na_n(x-\alpha)^n$.\\
$f'(\alpha)=0\implies a_1=0\implies (x-\alpha)^2\vert f(x)\implies \alpha$ je vishestruki koren polinoma $f$.

$4 \implies 1$: Trivijalno.$\hfill\square$

\begin{defi}
Neka je $F$ polje. Polinom $f\in F[x]$ je \textbf{separabilan}\index{separabilan polinom} akko $f$ nema vishestrukih korena.
\end{defi}

 \subsection{Konachne grupe automorfizama}

\begin{defi}
Neka je $E$ rashirenje polja $F$. \textbf{Grupa $F$-automorfizama} polja $E$ je grupa $Aut_F(E)=\{\varphi\in Aut(E)\ |\ \varphi\vert_F=id\}$.
\end{defi}

\begin{thm}\label{toFautsep}
Neka je $F$ polje, $f\in F[x]$ separabilan i neka je $K$ korensko polje polinoma $f$ nad $F$. Tada je $|Aut_F(K)|=[K:F]$.
\end{thm}
$\triangle$
Iz teoreme \ref{toekst} imamo da je broj $F$-utapanja $\varphi:K\hookrightarrow K$ jednak $[K:F]$ (jer je $f$ separabilan). Svako $F-$utapanje $\varphi:K\hookrightarrow K$ je $F-$automorfizam, pa je $|Aut_F(K)|=[K:F]$ $\hfill\square$

\begin{pri}
\begin{enumerate}
    \item \textup{Posmatramo $Aut_{\lQ}(\lQ [\sqrt[3]{2}])$ i polinom $\mu_{\sqrt[3]{2},\lQ}=f(x)=x^3-2\in \lQ [x]$. Polinom $f$ je nerastavljiv i za njegovo korensko polje $K$ vazhi $[K:\lQ]=3$. S druge strane $|Aut_{\lQ}(\lQ [\sqrt[3]{2}])|=1\neq 3$ jer $\lQ [\sqrt[3]{2}]$ nije korensko polje. Broj korena polinoma $f$ u $\lQ [\sqrt[3]{2}]$ je bash 1.}
    \item \textup{Posmatramo $Aut_{\lF_p(t)}(\lF_p(t)[\alpha])$, gde je $\alpha$ koren polinoma $f(x)=x^p-t$.}

    \textup{$f(x)=x^p-t=(x-\alpha)^p \implies \lF_p(t)[\alpha]$ je korensko polje za $f$ nad $\lF_p(t)$, ali $f$ nije separabilan, pa ne mozhemo da primenimo teoremu \ref{toFautsep}}

    \textup{$|Aut_{\lF_p(t)}(\lF_p(t)[\alpha])|=1$ jer je broj korena polinoma $f$ u $\lF_p(t)[\alpha]$ jednak 1.}
\end{enumerate}
\end{pri}

\begin{posl}
Neka je polje $E$ konachno rashirenje polja $F$. Tada je $|Aut_F(E)|\leq[E:F]$, a jednakost se dostizhe kad je $E$ korensko polje nekog polinoma nad $F$.
\end{posl}

\newpage
\section{Artinova teorema, karakterizacija Galuaovih rashirenja (Alimpic1 Milan)}

\subsection{Artinova teorema}
\begin{thm}[Artin] \index{Artinova teorema}
	Neka je $E$ proizvoljno polje i $G\leq Aut(E)$ konachna. Neka je $F=E^{G}$, onda je $$[E:F]\leq |G|$$
\end{thm}
$\triangle$
Neka je $G=\{\sigma_1=id,\sigma_2,...,\sigma_m\}$.
Pokazac1emo da je svaka lista $\alpha_1,...,\alpha_n$ elemenata u $E$ za $n>m$ linearno zavisna nad $F$
$$\alpha_1 x_1+...+\alpha_n x_n=0$$ gde su $x_1,...,x_n$ skalari.
$$\left.\begin{matrix}
\sigma_1(\alpha_1) x_1+...+\sigma_1(\alpha_n) x_n=0\\
\sigma_2(\alpha_1) x_1+...+\sigma_2(\alpha_n) x_n=0\\
\vdots\\
\sigma_m(\alpha_1) x_1+...+\sigma_m(\alpha_n) x_n=0
\end{matrix}\right\}(A)$$
zadaje sistem $m$ linearno nezavisnih jednachina po $m>n$ promenljivih sa koeficijentima u $E$ pa postoji bar jedno netrivijalno reshenje
$\vec{c}=(c_1,...,c_n)\in E^{n}\backslash\{(0,...,0)\}$.
Od svih takvih netrivijalnih reshenja sistema $(A)$ izaberimo jedno sa minimalnim brojem nenula komponenti. Mozhemo pretpostaviti $c_1\neq0$ (posle eventualne prenumeracije $\alpha$-i). Posle mnozhenja sa $c_1^{-1}$ mozhemo da postignemo da je $c_1=1\in F$.
Sada prva jednachina postaje $$1\cdot\alpha_1+c_2\alpha_2+...+c_n\alpha_n=0 \hspace{10pt} (1)$$
Ako su ovde svi koeficijenti $c_i$ u $F$, ovo je netrivijalna $F$-linearna kombinacija koja pokazuje linearnu zavisnost $\alpha_1,..\alpha_n$.
U suprotnom, postoji neki $c_j \notin F=E^{G} $ tj. postoji neko $\sigma_k, k\neq 1$ td. $\sigma_k(c_j) \neq c_j$
$$\left.\begin{matrix}
\sigma_1(\alpha_1) c_1+...+\sigma_1(\alpha_n) c_n=0\\
\sigma_2(\alpha_1) c_1+...+\sigma_2(\alpha_n) c_n=0\\
\vdots\\
\sigma_m(\alpha_1) c_1+...+\sigma_m(\alpha_n) c_n=0
\end{matrix}\right\}(A')$$
Primenimo automorfizam $\sigma_k$ na $(A')$. Za $1\leq l \leq m$ dobijamo:
$$\sigma_k \sigma_l(\alpha_1)\sigma_k(c_1)+...+\sigma_k \sigma_l(\alpha_n)\sigma_k(c_n)=0$$
tj. sistem $(\sigma_kA')$. Poshto je $G$ grupa, $\sigma_k\sigma_1,...,\sigma_k\sigma_m$ je samo jedna permutacija niza $\sigma_1,...,\sigma_m$ tj. jednachine sistema $(\sigma_kA')$ su samo permutovane jednachine sistema $(A')$, pa $(\sigma_k(c_1),...,\sigma_k(c_n))=\sigma_k(\vec{c})$ takodje reshava sistem $(A)$. Dakle, prva jednachina u tom sistemu daje $$\sigma_k(c_1)\alpha_1+...+\sigma_k(c_n)\alpha_n=0\hspace{10pt}(2) $$
Oduzimanjem (2) od (1) dobijamo da je $\vec{c}-\sigma_k(\vec{c})$ takodje reshenje sistema $(A)$ $$\implies\sigma_k(c_1)=1$$
 $$\implies\vec{c}-\sigma_k(\vec{c})=(0,...,c_1-\sigma_k(c_1),...)$$ Na ostalim mestima, gde je $c_i=0$, ostaje $0$, jer je $c_i-\sigma_k(c_i)=0-\sigma_k(0)=0$. Dakle, dobili smo netrivijalno reshenje sistema $(A)$, koje ima strogo manje nenula komponenti od $\vec{c}$, shto je kontradikcija.
 $\square$

\begin{pri}
	Za svaku konachnu podgrupu $G\leq Aut(E)$ je $Aut_{E^{G}}(E)=G$.
\end{pri}
$\triangle$
Iz prethodne teoreme $[E:E^{G}]\leq|G|$. Iz definicije trivijalno $G\leq Aut_{E^{G}}(E)$, pa sledi
$$[E:E^{G}]\leq|G| \leq |Aut_{E^{G}}(E)|\leq [E:E^{G}]$$
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\node (A) at (0,0) {$E$};
	\node (B) at (2,0) {$E$};
	\node (C) at (0,-2) {$E^{G}$};
	\node (D) at (2,-2) {$E^{G}$};
	\draw[->] (A) -- (B) node[midway,above] {$\sigma$};
	\draw[->] (C) -- (D) node[midway,above] {$=$};
	\draw (A) -- (C);
	\draw (B) -- (D);
	\end{tikzpicture}
\end{center}
$\square$

\subsection{Karakterizacija Galuaovih rashirenja}

\begin{defi}Neka je $E$ algebarsko rashirenje polja $F$.
\begin{enumerate}
	\item Za $E$ kazhemo da je separabilno\index{separabilno rashirenje} ako je minimalni polinom nad $F$ svakog $\alpha\in E$ separabilan.
	\item Za $E$ kazhemo da je normalno\index{normalno rashirenje} ako se minimalni polinom nad $F$ svakog $\alpha\in E$ faktorishe na linearne u $E[X]$.
\end{enumerate}
Dakle, $E/F$ je normalno i separabilno akko se minimalni polinom $\mu_{\alpha, F}$ faktorishe na\newline $[F[\alpha]:F]$ razlichitih linearnih faktora u $E[X]$.
\end{defi}
\begin{defi}
	Za konachno rashirenje $E/F$ kazhemo da je Galuaovo\index{Galuaovo rashirenje} ako je $F$ fiksno polje grupe $Aut_F(E)$ tj. $$F=E^{Aut_F(E)}$$
\end{defi}
\begin{defi}
	$Gal(E/F):=Aut_F(E)$ je Galuaova grupa\index{Galuaova grupa rashirenja} Galuaovog rashirenja $E/F$.
	$Gal(f/F):=Gal(K_f/F)$ je Galuaova grupa\index{Galuaova grupa polinoma} polinoma $f(X)\in F[X]$.
\end{defi}
\begin{thm}[Karakterizacija Galuaovih rashirenja]\index{Karakterizacija Galuaovih rashirenja}
	Neka je $E$ rashirenje  polja $F$. Tada su sledec1a tvrdjenja ekvivalentna:
	\begin{enumerate}
		\item $E$ je korensko polje nad $F$ nekog separabilnog $f(X)\in F[X]$.
		\item $E/F$ je Galuaovo.
		\item $F=E^{G}$ za neku konachnu $G\leq Aut(E)$.
		\item $E$ je normalno, separabilno, konachno rashirenje od $F$.
	\end{enumerate}
\end{thm}
$\triangle$
\newline
$1.\implies 2.$ \newline
Neka je $G:=Aut_F(E)$ i $F'=E^{G}$, gde je $E$ korensko polje za $f$ nad $F$.
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\node (A) at (0,0) {$E$};
	\node (B) at (0,-1) {$F'=E^{G}$};
	\node (C) at (0,-2) {$F$};
	\draw (A) -- (B);
	\draw (B) -- (C) node[midway,right] {$\subseteq$ jer $G$ fiksira $F$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}
$f\in F[X]\subseteq F'[X]$, pa je $E$ korensko za $f$ nad $F'$. Tada imamo
$$|Aut_{F'}(E)|=[E:F']\leq [E:F]=|Aut_F(E)|=|G|=|Aut_{E^{G}}(E)|=|Aut_{F'}(E)|$$
$$\implies [E:F']=[E:F]\textrm{ tj. } [F':F]=1 \textrm{ tj. } F=F'.$$
$2.\implies 3.$\newline
Uzmemo $G=Aut_F(E)$.$$|Aut_F(E)|\leq [E:F]<+\infty.$$
$3.\implies 4.$\newline
$F=E^{G}$ za $G$ konachno. Iz Artinove teoreme $[E:E^{G}]\leq|G|<+\infty$, pa je $E$ konachno. Neka je $\alpha\in E$ proizvoljan element i $\alpha_1=\alpha,...,\alpha_m$ njegova $G$-orbita ($G\leq Aut(E)$, pa $G$ dejstvuje na $E$).
$$g(X):=\prod_{j=1}^{m}(X-\alpha_j)=X^m+a_1X^{m-1}+...+a_{m-1}X+a_m\in E[X]$$
Svi $a_i$-ovi su simetrichne funkcije po $\alpha_1,...,\alpha_m$, pa je za svako $\sigma\in G$ $\sigma(a_l)=a_l$, za sve $l$. Sledi $a_l\in E^G=F$, za sve $l$. Sledi, $g(X)\in F[X]$. $m_{\alpha,F}(X)\in F[X]$, $g(\alpha)=0$, pa $m_{\alpha,F}|g$ u $F[X]$. Dakle, $m_{\alpha,F}$ je separabilan (jer je takav i $g$) i faktorishe se na linearne faktore u $E$.\newline
$4.\implies 1.$\newline
$E/F$ je konachno, pa je konachno generisano tj. $E=F[\alpha_1,...,\alpha_m]$. Neka su $m_{\alpha_1,F},...m_{\alpha_m,F}$ odgovarajuc1i minimalni polinomi. $f:=\prod m_{\alpha_j,F}$ po svim razlichitim $m_{\alpha_j,F}$. $f$ se faktorishe na linearne faktore u $E$ i $E$ je korensko polje za $f$ nad $F$. Svi linearni faktori od $f$ su razlichiti tj. $f$ je separabilan (ovo sledi iz linearne faktorizacije i separabilnosti za $m_{\alpha_j,F}$).
Napomenimo, dve $m_{\alpha_j,F}$ i $m_{\alpha_i,F}$ nemaju istih nula za $j\neq i$, jer onda ne bi bili uzajamno prosti, shto je u kontradikciji sa nesvodljivosh\hspace{0.001pt}c1u.
$\square$

\newpage
\section{Posledice karakterizacije Galuaovih rashirenja i fundamentalna teorema teorije Galua/Teorema o Galuaovoj korespodenciji (Sinobad Sonja)}
\subsection{Posledice karakterizacije Galuaovih rashirenja}
\begin{posl}
	Svako konachno separabilno rashirenje $E$ nekog polja $F$ je sadrzhano i u nekom konachnom Galuaovom rashirenju od $F$.
\end{posl}
$\triangle$
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\node (A) at (0,0) {$L$};
	\node (B) at (0,-1) {$E$};
	\node (C) at (0,-2) {$F$};
	\draw (A) -- (B);
	\draw (B) -- (C) node[midway,right] {separabilno};
	\end{tikzpicture}
\end{center}
Neka je $E=F[\alpha_1,...,\alpha_m]$. $f_j=\mu_{\alpha_j, F}$ je separabilan (jer je $E/F$ separabilno). Neka je $f:=\prod f_j$ po svim razlichitim $f_j$. Tada je $f$ separabilan. Oznachimo sa $L$ korensko polje $f$ nad $F$. Tada je $L/F$ Galuaovo.$\square$

\begin{posl}
	Neka je $M$ rashirenje polja $F$ i $E$ rashirenje polja $M$, tako da je $E/F$ Galuaovo. Tada je i $E/M$ Galuaovo.
\end{posl}
$\triangle$ $E/F$ je Galuaovo, dakle $E$ je korensko polje nekog separabilnog polinoma $f$ nad $F$, pa je $E$ korensko polje $f$ i nad $M$. Sledi, $E/M$ je Galuaovo.$\square$

\subsection{Fundamentalna teorema teorije Galua/Teorema o Galuaovoj \newline korespodenciji}

\begin{thm}[Fundamentalna teorema teorije Galua/
	Teorema o Galuaovoj korespodenciji] \index{Fundamentalna teorema teorije Galua}
	Neka je $E/F$ Galuaovo rashirenje i $G:=Gal(E/F)$. Tada su preslikavanja
	$$\left.\begin{matrix}
		H\mapsto E^H \hspace{10pt}(\textrm{za }H\leq G) \\
		M\mapsto Gal(E/M) \hspace{10pt}(\textrm{za }M \textrm{ medjupolje rashirenja } E/F)
	\end{matrix}\right\}(*)$$
	\index{Galuaova korespodencija}
 medjusobno inverzne bijekcije izmedju podgrupa od $G$ i medjupolja $M$ rashirenja $E/F$. Dodatno,
	\begin{enumerate}
		\item $H_1\supseteq H_2 \iff E^{H_1}\subseteq E^{H_2}$
		\item $[H_1:H_2] = [E^{H_2}:E^{H_1}] $
		\item Neka $G$ dejstvuje na skup svojih podgrupa sa
		$$(\sigma,H)\mapsto\sigma H \sigma^{-1}$$
		 i na skup medjupolja rashirenja $E/F$ sa
		 $$(\sigma,M)\mapsto\sigma(M)$$
		 Galuaova preslikavanja (*) su $G$-ekvivarijantna tj. ako $H\leftrightarrow M$, onda $$\sigma H\sigma^{-1}\leftrightarrow\sigma (M)$$ tj.
		 $$E^{\sigma H\sigma^{-1}}=\sigma (E^H) \textrm{ i } Gal(E/\sigma(M))=\sigma(Gal(E/M))\sigma^{-1}$$
		 \item $H\triangleleft G \textrm{ akko je } E^H$ normalno (time i Galuaovo) rashirenje od $F$. Tada je \newline $Gal(E^H/F)\cong G/H$.
	 	\end{enumerate}
\end{thm}
$\triangle$ Za svaku $H\leq G$ imamo $Gal(E/E^H)=H$ (posledica Artinove teoreme). Za svako medjupolje $M$ rashirenja $E/F$ vazhi $E^{Gal(E/M)}=M$.
\newline $1.$ $(\implies)$ Neka je $e\in E^{H_1}$. Za proizvoljno $\sigma\in H_2$ vazhi $\sigma\in H_1$, pa $\sigma(e)=e$. Kako smo uzeli proizvoljno $\sigma$ to je $e\in E^{H_2}$.
\newline$(\impliedby)$ Neka je $\sigma\in H_2$. Za proizvoljno $e\in E^{H_1}$ vazhi $e\in E^{H_2}$ tj. $\sigma(e)=e$. Kako je $e$ bilo proizvoljno to je $\sigma\in H_1$.
\newline $2.$  Ako je $H_2=\{1\}$, onda $[H_1:\{1\}]=|H_1|=[E:E^{H_1}]$. Za opshte $H_2$, $[H_1:H_2]=\frac{[H_1:\{1\}]}{[H_2:\{1\}]}$, shto je, po predjashnjem jednako $\frac{[E:E^{H_2}]}{[E:E^{H_1}]}=[E^{H_2}:E^{H_1}]$.
\newline $3.$ Za $e\in E$, $\sigma \in G$, $\tau\in H$ vazhi $\tau(e)=e\iff (\sigma\tau\sigma^{-1})(\sigma e)=\sigma e$.
$$\sigma x\in\sigma(E^H)$$
$$\iff x\in E^H$$
$$\iff \tau x = x \hspace{10pt} \forall \tau\in H$$
$$\iff \sigma \tau \sigma^{-1}(\sigma x)=\sigma x \hspace{10pt} \forall\tau\in H$$
$$\iff \sigma x \in E^{\sigma H \sigma^{-1}}$$
tj. $E^{\sigma H\sigma^{-1}}=\sigma (E^H)$.
$$\sigma\tau\sigma^{-1}\in\sigma Gal(E/M)\sigma^{-1}$$
$$\iff \tau\in Gal(E/M)$$
$$\iff \tau m = m \hspace{10pt} \forall m \in M$$
$$\iff \sigma \tau \sigma^{-1}(\sigma m)=\sigma m \hspace{10pt} \forall m \in M$$
$$\iff \sigma \tau \sigma^{-1} \in Gal(E/\sigma (M))$$
tj. $Gal(E/\sigma(M))=\sigma(Gal(E/M))\sigma^{-1}$.
\newline $4.$ ($\implies$) $H\triangleleft G$ i $M:=E^H$.
$$\sigma H\sigma^{-1}=H \hspace{10pt} \forall\sigma\in G \iff \sigma(M)=M \hspace{10pt}\forall\sigma\in G$$
Neka je $\alpha\in M$ i $\mu_{\alpha, F}\in F[X]$ njegov minimalni polinom.
Neka je $f(X)=\prod(X-\sigma(\alpha))$ po svim razlichitim $\sigma(\alpha), \sigma\in G$. Tada je $\sigma f=f$, za svako $\sigma\in G$ tj. svi koeficijenti $f$ su u $F$. Kako $f|\mu_{\alpha, F}$, to $f=\mu_{\alpha, F}$. Odavde, svi koreni $\alpha_j$ polinoma $\mu_{\alpha, F}$ su oblika $\sigma(\alpha)$ za neko $\sigma\in G$, tj. svi pripadaju $M$. Sledi, $M$ je normalno rashirenje polja $F$.
\newline($\impliedby$) Neka je $M/F$ normalno rashirenje i $H=Gal(E/M)$. Neka je $\alpha\in M$ i $\mu_{\alpha, F}$ njegov minimalni polinom. $\sigma(\alpha)$ je takodje koren $\mu_{\alpha, F}$ za svako $\sigma\in G$, pa pripada $M$. Dakle, $\sigma(M)=M$ za svako $\sigma\in G$, shto je ekvivalentno sa $\sigma H\sigma^{-1}=H$ za svako $\sigma\in G$ tj. $H\triangleleft G$.
\newline Definishimo $\phi:Gal(E/F)\leftarrow Aut_F(E^H)$ sa $\sigma\mapsto\sigma|_{E^H}$. Ovo je homomorfizam grupa, chije je jezgro $Ker\phi=H$.
$F$ je fiksno polje konachne podgrupe $Im(\phi)\leq Aut_F(E^H)$, pa je rashirenje $E^H/F$ Galuaovo.
Sada je, po prvoj teoremi o izomorfizmu za grupe, $$Im(\phi)\cong Gal(E/F)/H = G/H.$$ $\square$
\begin{posl}
	Neka je $E/F$ Galuaovo rashirenje, $G=Gal(E/F)$, $M_j=E^{H_j}$, tj. $H_j=Gal(E/M_j)$. Tada je $Gal(E/M_1M_2...M_r)=H_1\cap H_2\cap...\cap H_r$.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\node (A) at (-4,0) {$E$};
	\node (B) at (-4,-1) {$M_1M_2...M_r$};
	\node (C) at (-5,-2) {$M_1$};
	\node (D) at (-4,-2) {$M_2$};
	\node (E) at (-3,-2) {$M_r$};
	\node (F) at (-4,-3) {$F$};
	\draw (A) -- (B);
	\draw (B) -- (C);
	\draw (B) -- (D);
	\draw (B) -- (E);
	\draw (F) -- (C);
	\draw (F) -- (D);
	\draw (F) -- (E);
	\draw [dotted, thick] (D) -- (E);
	\node (A1) at (4,0) {$\{1\}$};
	\node (B1) at (4,-1) {$Gal(E/M_1M_2...M_r)$};
	\node (C1) at (3,-2) {$H_1$};
	\node (D1) at (4,-2) {$H_2$};
	\node (E1) at (5,-2) {$H_r$};
	\node (F1) at (4,-3) {$G$};
	\draw (A1) -- (B1);
	\draw (B1) -- (C1);
	\draw (B1) -- (D1);
	\draw (B1) -- (E1);
	\draw (F1) -- (C1);
	\draw (F1) -- (D1);
	\draw (F1) -- (E1);
	\draw [dotted, thick] (D1) -- (E1);
	\node (K1) at (-1,0) {najmanje medjupolje koje};
	\node (K2) at (-1,-0.5) {sadrzhi sve $M_i$};
	\draw [left](K2) -- (B);
	\end{tikzpicture}
\end{center}
gde leva slika predstavlja mrezhu medjurashirenja polja, a desna mrezhu podskupova grupe $G$.
\end{posl}
\begin{posl}
	Neka je $H\leq G $, $G=Gal(E/F)$

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\node (A) at (-4,0) {$G$};
	\node (B) at (-4,-1) {$H$};
	\node (C) at (-4,-2) {$N=\bigcap_{\sigma\in G}\sigma H\sigma^{-1}$};
	\node (D) at (-4,-3) {$\{1\}$};
	\draw (A) -- (B);
	\draw (B) -- (C);
	\draw (C) -- (D);
	\node (A1) at (4,0) {$F$};
	\node (B1) at (4,-1) {$E^H=M$};
	\node (C1) at (4,-2) {$E^N=\prod_{\sigma\in G}\sigma(E^H)$};
	\node (D1) at (4,-3) {$E$};
	\draw [->](A1) -- (B1);
	\draw [->](B1) -- (C1);
	\draw [->](C1) -- (D1);
	\end{tikzpicture}
\end{center}
$E^N$ je Galuaovo zatvorenje medjupolja $M$ tj. minimalno rashirenje $E^H$ koje je Galuaovo nad $F$.

\end{posl}
\begin{posl}
	Neka su $E$ i $L$ dva rashirenja od $F$ sadrzhana u nekom polju i neka je $E/F$ Galuaovo. Tada su i $EL/L$ i $E/E\cap L$ Galuaova i vazhi
	$$Gal(EL/L)\cong Gal(E/E\cap L)\hspace{5pt}(\sigma \mapsto \sigma|_E)$$
\end{posl}
$\triangle$ $E/F$ je Galuaovo, pa postoji neki separabilan $f\in F[X]$ takav da je $E$ korensko polje $f$ nad $F$. $E$ je zato korensko za $f$ i nad $E\cap L$, pa je $E/E\cap L$ Galuaovo.
\newline Dokazhimo da je $\sigma\mapsto\sigma|_E$ in\hspace{0.001pt}jektivno preslikavanje:
\newline $\sigma|_E\in Aut(E)$, pa je preslikavanje dobro definisano. $\sigma\in Gal(EL/L)$ tj. $\sigma$ fiksira sve elemente iz $L$, pa $\sigma|_E$ fiksira sve elemente iz $E\cap L$. Odavde $\sigma|_E\in Gal(E/E\cap L)$.
\newline Ako je $\sigma|_E=id_E$, tada, kako $\sigma$ fiksira i celo $L$, to $\sigma$ fiksira $EL$ tj. $\sigma=id\in Gal(EL/L)$, pa je preslikavanje "1-1".
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\node (A) at (0,0) {$EL$};
	\node (B) at (-1.5,-1) {$E$};
	\node (C) at (1,-1) {$L$};
	\node (D) at (0,-2) {$E\cap L$};
	\node (E) at (0,-3) {$F$};
	\draw (A) -- (B);
	\draw (A) -- (C)node [midway, right]{$Gal$};
	\draw (B) -- (E)node [midway, left]{$Gal$};
    \draw (B) -- (D);
	\draw (C) -- (D);
	\draw (D) -- (E);
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pokazhimo josh da je $\sigma\mapsto\sigma|_E$ surjektivno preslikavanje:
$$H:=\{ \sigma|_E : \sigma\in Gal(EL/L)  \}\leq Gal(E/E\cap L)$$
$$E^H=\{ e\in E | \sigma(e)=e,\forall\sigma\in Gal(EL/L) \} = \{e\in E | e\in (EL)^{Gal(EL/L)} \} = $$
$$\{e\in E | e\in L\} = E\cap L = E^{Gal(E/E\cap L)} \textrm{( zbog Galuaovosti)}$$
Galuaova korespodencija je "1-1", pa je $H=Gal(E/E\cap L)$. Zato preslikavanje $\sigma \mapsto \sigma|_E$ mora biti "na". $\square$

\newpage
\section {Konachna polja. Ciklotomichna rashirenja (Dushica Bralovic1)}
\subsection{Konachna polja}

    Ako je $E$ konachno polje takvo da je $char E = p$, tada postoji utapanje $\lF_{p}$ u $E$. Tada je $E$ $\lF_{p}$ vektorski prostor koji ima bazu dimenzije $n$, pa vazhi $|E|=p^{n}$.\\
    \newline Svaki element iz $E^{\times}$ anulira polinom $x^{p^{n}-1}-1$, odnosno polinom $x^{p^{n}}-x$ nad $\lF_{p}$, jer $|E^\times|=p^n-1$. Dakle, $E$ je korensko polje polinoma $x^{p^{n}}-x$ nad poljem $\lF_{p}$.\\
    \begin{tvr} Svaka konachna podgrupa multiplikativne grupe polja je ciklichna.
    \end{tvr}
     \begin{lem}
    Neka je $G$ konachna grupa, $|G|=n$ i broj elemenata skupa $\{ x\in G | x^d=1 \}$ je manji ili jednak $d$ za svako $d|n$. Tada je $G$ ciklichna grupa.
    \end{lem}
    $\triangle$ Lemu c1emo dokazati samo za poseban sluchaj kada je $G$ podgrupa grupe $F^{\times}$, gde je $F$ polje, a time c1emo dokazati i teoremu.

    Neka je $n:= |G|$, i $d$ prirodan broj. Polinom $x^d-1$ ima najvishe $d$ nula u polju $F$, pa je pretpostavka leme zadovoljena.

    Oznachimo sa $G_{d}$ skup svih elemenata reda $d$ u $G$. Tada je $G_{d}=\emptyset$ ili $G_{d}\neq \emptyset$ i u drugom sluchaju postoji $y\in G_{d}$, shto zapravo znachi da je $y$ reda $d$. I onda $<y>\subseteq \{x\in G | x^{d}=1\}$.

    Odakle, $d=|<y>|\leq |\{x\in G | x^{d}=1\}|\leq d$. Dakle, $<y>= \{x\in G | x^{d}=1\}\supseteq G_{d}$ i onda je $|G_d|=\varphi(d)$.

    Iz $G=\bigsqcup\limits_{d|n}G_d$ imamo $n=|G|=\sum\limits_{d|n}|G_d|\leq \sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n$. Dakle, svuda vazhi jednakost, pa je i $|G_d|=\varphi(d)$ za sve $d$. Odakle i $|G_n|=\varphi(n)>0$, tj. $G$ je ciklichna.
    $\Box$\\

 Ako je $F$ konachno polje tada je svako konachno rashirenje $E|F$ prosto, tj. generisano je jednim elemntom.

    \begin{tvr}Ako je $|E|=p^n$, tada je $E|\lF_p$ Galuaovo i $Gal(E|\lF_p)=<\sigma>$ ciklichna reda $n$ i generisana Frobenijusovim automorfizmom ($x^p=x$).
    \end{tvr}
    $\triangle$
Znamo, $\lF_p \leq E^{<\sigma>} \leq E$ i $\sigma(\alpha) = \alpha^{p}$, kad $\alpha\in E$.

Tada $\sigma^n(\alpha) = \alpha^{p^n}=\alpha$, tj. $\sigma^{n}=id_E$.

Kako je $E^{<\sigma>}=\{\alpha\in E | \sigma(\alpha)=\alpha \}$, sledi $|E^{<\sigma>}|\leq p$, a vazhi $p=|\lF_p|\leq |E^{<\sigma>}|\leq p$. Iz Galuaovosti $E^{Gal(E|\lF_p)}=\lF_p=E^{<\sigma>}$. Dakle, $Gal(E|\lF_p)=<\sigma>$. $\Box$

     \begin{posl}
         Neka je $E$ konachno polje sa $p^n$ elemenata. Onda za svako $m|n$, $E$ sadrzhi tachno jedno potpolje sa $p^m$ elemenata.
     \end{posl}
      $\triangle$
      $Gal(E|\lF_p)$ ciklichna i reda $n$ na osnovu prethodnog tvrdjenja.
   	\begin{center}

   \begin{tikzpicture}
	\node (A) at (0,0) {$E$};
	\node (B) at (0,-1) {$E^H$};
	\node (C) at (0,-2) {$\lF_p$};
	\draw (A) -- (B);
	\draw (B) -- (C) ;
	\end{tikzpicture}
		\end{center}
	Tada je $H\leq Gal(E|\lF_p)$ jedinstvena podgrupa reda $\frac{n}{m}$, pa $H=<\sigma^{m}>$. Tada je trazheno polje bash $E^H$. $\Box$

	\begin{posl}
	 Ako je $f$ monichni ireducibilni polinom iz $\lF_p[x]$ stepena $d$, tada za svako $n\in \lN$ takvo da $d|n$ i $f(x)| x^{p^{n}}-x$ tachno jednom i korensko polje polinoma $f(x)$ nad $\lF_p$ je stepena najvishe $d$.\end{posl}
	 $\triangle$ Neka je $f$ stepena $d$. Iz Kronekerove konstrukcije  $K=\lF[x]/<f>$ je polje i $f$ ima koren u $K$. Tada je $[K:\lF_p]=d$, tj. $|K|=p^d.$ $\Box$\\
\newline   Ako posmatramo polje $E=\lF_{2^{30}}$ nad poljem ${\lF_{2}}$ imamo sledec1e dijagrame njegovih potpolja i odgovarajuc1ih Galuaovih grupa:
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\node (A) at (-4,0) {$\lF_{2^{30}}$};
	\node (B) at (-2,-1) {$\lF_{2^{15}}$};
	\node (C) at (-6,-3) {$\lF_{2^6}$};
	\node (D) at (-4,-2) {$\lF_{2^{10}}$};
	\node (E) at (-4,-4) {$\lF_{2^3}$};
	\node (F) at (-2,-5) {$\lF_{2^5}$};
	\node (G) at (-6, -7) {$\lF_{2^2}$};
	\node (H) at (-4, -8) {$\lF_{2}$};
	\draw (A) -- (B);
	\draw (A) -- (C);
	\draw (A) -- (D);
	\draw (B) -- (E);
	\draw (B) -- (F);
	\draw (C) -- (E);
	\draw (C) -- (G);
	\draw (D) -- (G);
	\draw (D) -- (F);
	\draw (H) -- (E);
	\draw (H) -- (G);
	\draw (H) -- (F);
	\node (A1) at (4,0) {$\{0\}$};
	\node (B1) at (6,-1) {$\lZ/2\lZ$};
	\node (C1) at (2,-3) {$\lZ/5\lZ$};
	\node (D1) at (4,-2) {$\lZ/3\lZ$};
	\node (E1) at (4,-4) {$\lZ/10\lZ$};
	\node (F1) at (6,-5) {$\lZ/6\lZ$};
	\node (G1) at (2, -7) {$\lZ/15\lZ$};
	\node (H1) at (4, -8) {$\lZ/30\lZ$};
	\draw (A1) -- (B1);
	\draw (A1) -- (C1);
	\draw (A1) -- (D1);
	\draw (B1) -- (E1);
	\draw (B1) -- (F1);
	\draw (C1) -- (E1);
	\draw (C1) -- (G1);
	\draw (D1) -- (G1);
	\draw (D1) -- (F1);
	\draw (H1) -- (E1);
	\draw (H1) -- (G1);
	\draw (H1) -- (F1);
	\end{tikzpicture}
\end{center}
	\subsection{Ciklotomichna rashirenja}


	Primitivni $n$-ti koren iz jedinice u nekom polju $E$ je element reda $n$ u $E^{\times}$ i on reshava jednachinu $x^n=1$.

\begin{tvr}
Neka je $F$ polje karakteristike $0$ ili $p$, gde $p\nmid n$. Neka je $E$ korensko polje polinoma $x^n-1$ nad poljem $F$.
\begin{enumerate}
    \item Tada $E$ sadrzhi bar jedan primitivni $n$-ti koren iz jedinice.\\
    \item Tada je $E=F[\zeta]$, gde je $\zeta$ neki primitivni $n$-ti koren iz jedinice.\\
    \item $E|F$ je Galuaovo i imamo utapanje $Gal(E|F)\hookrightarrow (\lZ/n\lZ)^{\times}$.

\end{enumerate}
\end{tvr}

$\triangle$ \begin{enumerate}
    \item Kako je $E$ korensko polje, ono sadrzhi sve korene polinoma $x^n-1$ pa samim tim i bar jedan primitivni $n$-ti koren iz jedinice.
    \item Polje $E$ je generisano polinom $x^n-1$, primetimo da ako $\zeta$ anulira ovaj polinom, onda njega anulira i $\zeta^{k}$, za svako $1\leq k\leq n$. Tada su sve $\zeta^{k}$ razlichite jer ako bi $\zeta^{k_1}=\zeta^{k_2}, n> k_1 > k_2 >0$ tada $\zeta^{k_1-k_2}=1$ za $0<k_1-k_2<n$ shto je u kontradikciji sa pretpostavkom da je $\zeta$ $n$-ti koren iz jedinice. Dakle, sve nule polinoma $x^n-1$ su razlichite i pripadaju $F[\zeta]$, pa $E=F[\zeta]$.
    \item $E|F$ je Galuaovo jer je korensko, pa samim tim i normalno i $E|F$ je separabilno iz prethodnog. Neka je $\zeta$ fiksiran $n$-ti koren iz jedinice u $E$. Tada za svako $\sigma\in Gal(E|F)$ mora $\sigma(\zeta)$ opet biti primitivni $n$-ti koren iz jedinice, tj. $\sigma(\zeta)=\zeta^{i}$, za neko $(i,n)=1$ tj. $[i]\in(\lZ/n\lZ)^{\times}$, jer inache bi $(\zeta^{i})^{\frac{n}{nzd(i,n)}}=1$. Tada i za svaki drugi koren $\zeta^{m}$ vazhi $\sigma(\zeta^{m})=\sigma(\zeta)^m=(\zeta^i)^m=(\zeta^m)^i$. Ovakvo $\sigma$ se proshiruje do jedinstvenog $F$-automorfizma nad $E$.
    \newline  $\sigma\mapsto [i]$ je dobro definisan homomorfizam grupa i ovo preslikavanje je $1-1$ jer ako bi $\sigma_{1}(\zeta)=[i]=\sigma_{2}(\zeta)$ onda bi se poklapali na celom $E$. $\Box$
\end{enumerate}
\begin{defi}

Neka je $F=\lQ$ i $\zeta_n$ $n$-ti primitivan koren iz jedinice. Tada se $\lQ(\zeta_n)|\lQ$\index{ciklotomichno rashirenje} naziva $n$-tim ciklotomichnim rashirenjem.

\end{defi}

$\Phi_n(x)=\prod\limits_{\substack{1\leq i\leq n \\ (i,n)=1}}(x-\zeta^i)$ gde je $\zeta$ $n$-ti primitivni koren iz jedinice, $deg\Phi_n=\varphi(n)$.
\newline Dakle, $x^n-1=\prod\limits_{d|n}\Phi_d $  ($\ast$). Pa ako je $p$ prost tada je $x^p-1=(x-1)(x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1)$ tj $\Phi_p(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1$. Tada je $\Phi_p$ ireducibilan po Ajzenshtajnovom kriterijumu za $\Phi(x+1)$.
\newline Primetimo $\Phi_2(x)=x+1$, $\Phi_3(x)=x^2+x+1$ i $$x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)=\Phi_1(x)\Phi_2(x)\Phi_3(x)\Phi_6(x), $$ pa vidimo da $\Phi_6(x)=x^2-x+1$. Takodje, primetimo da su svi $\Phi_n\in\lQ[x]$ monichni, indukcijom po formuli ($\ast$).

\begin{lem}
$f$ monichan u $\lZ[x]$ i ako se $f$ faktorishe na monichne faktore u $\lQ[x]$ onda su ti faktori u $\lZ[x]$.
\end{lem}
$\triangle$ Neka je $f=g\cdot h$, $g,h\in\lQ[x]$.
\newline Tada $m n f=(m g)\cdot(n h)$, $m, n\in\lN$ , $g_1=mg, h_1=n h\in\lZ[x]$ i $g_1,h_1$ monichni.
\newline Ako $m,n>1$ postoji $p|mn$ i $p$ je prost. Tada preslikavanjem $ mod$ $p: \lZ[x]\rightarrow\lF[x]$ dobijamo $g_1\cdots h_1=0 mod$ $p$ .
Odakle, $g_1=0$ $mod$ $p$ ili $h_1=0$ $mod$ $p$.
\newline Neka je $g_1=0$ $mod$ $p$ tada $p$ deli sve koeficijente polinoma $g_1=m g$, kako je $g$ monichan, sledi $p|m$. A onda $\frac{m}{p}g\in\lZ[x]$ shto je nemoguc1e jer $\frac{m}{p}<m$.
\newline Dalkle, $f$ se faktorishe u $\lZ[x]$. $\Box$\\
\newline Iz leme vidimo da $x^n-1=(\prod\limits_{\substack{d| n \\ d<n}}\Phi_d(x))\cdot\Phi_n(x)$.
\begin{posl}
$\Phi_n\in\lZ[x]$.
\end{posl}

\begin{thm}[Gaus, Dedekind]
 $\Phi_n(x)$ je ireducibilan u $\lQ[x]$.
\end{thm}
$\triangle$ \begin{enumerate}
    \item Neka je $f(x)|\Phi_n(x)$ ireducibilni faktor $\Phi_n(x)$ u $\lQ[x]$. Tada svi koreni $f(x)$ su neki primitivni $n$-ti koreni jedinice.
    Dokazac1emo da ako je $\zeta$ koren $f(x)$ tada je $\zeta^{i}$ koren $f(x)$ za sve $i\in\lN, (i,n)=1$, odakle je bash $f(x)=\Phi_n(x)$.

    \item Primetimo da je zapravo dovoljno dokazati da ako je $\zeta$ koren $f(x)$ tada je $\zeta^{p}$ koren $f(x)$ za svako prosto $p$ takvo da $p\nmid n$, jer ako je $i=p_{1}p_{2}p_3$ tada c1e i
    \newline $\zeta^{p_1}$ biti koren $\Rightarrow$  $(\zeta^{p_1})^{p_2}$ biti koren $\Rightarrow$  $\zeta^{p_1p_2p_3}$ biti koren.
    \item $\Phi_n(x)=f(x)g(x)$, gde su $f, g$ monichni u $\lQ[x]$ i $\Phi_n$ monichan u $\lZ[x]$.
    \newline Na osnovu leme $f,g\in\lZ[x]$.
    \newline Ako je $\zeta$ koren $f(x)$ i $p$ prost takav da $p\nmid n$. Tada je $0=\Phi_n(\zeta^p)=f(\zeta^p)g(\zeta^p)$. Ako je $f(\zeta^p)=0$ kraj dokaza, a ako nije onda je $g(\zeta^{p})=0$, pa je $\zeta$ koren $f(x)$ i $g(x^p)$. To znachi da $f(x)$ i $g(x^p)$ imaju zajednichki faktor u $\lZ[x]$ stepena $\geq 1$, koji je monichan zbog leme.
    \item Uradimo redukciju $mod$ $p$: $\lZ[x]\rightarrow \lF_p[x]$, tada $\sum a_jx^j\rightarrow\sum[a_j]x^j$, gde je $[a_j]$ klasa elementa $a_j$ pri $mod$ $p$. Tada se $f$ slika u polinom $\overline{f}$. I tada $\overline{f}(x)$ i $\overline{g}(x^p)$ imaju zajednichki faktor stepena $\geq 1$.
    \newline Takodje, $\overline{g}(x^p)=\overline{g}(x)^p$ iz Frobenijusa, pa onda $\overline{f}(x)$ i $\overline{g}(x)^p$ imaju zajednichki faktor stepena $\geq 1$.
    \newline Kako je $\lF_p[x]$ prsten sa jednoznachnom faktorizacijom sledi da $\overline{f}(x)$ i $\overline{g}(x)$ imaju zajednichki faktor stepena $\geq 1$ u $\lF_p[x]$.
    \newline Ali $x^n-1=(\prod\limits_{\substack{d| n \\ d<n}}\Phi_d(x))\cdot\Phi_n(x)=(\prod\limits_{\substack{d| n \\ d<n}}\Phi_d(x))\cdot f(x)g(x)$. Pa kad to uzmemo po $mod$ $p$ imamo:
    $$\overline{x^n-1}=(\overline{\prod\limits_{\substack{d| n \\ d<n}}\Phi_d(x)})\cdot\overline{f}(x)\overline{g}(x).$$
    Odakle sledi da $x^n-1\in\lF_p[x]$ ima dvostruki koren, shto je nemoguc1e jer $p\nmid n$. $\Box$
\end{enumerate}

\begin{posl}\label{posl724}
$\lQ(\zeta_n)|\lQ$ je stepena $\varphi(n)$ i $Gal(\lQ(\zeta_n)|\lQ)\cong (\lZ/n\lZ)^{\times}$.
\end{posl}


\newpage



\section{Dedekindova lema, ukrshteni homomorfizmi, norma i Hilbertova teorema $90$ (Milica Djukic1)}
\subsection{Dedekindova lema o linearnoj nezavisnosti karaktera}
\begin{defi}
Neka je $G$ grupa i $F$ polje, \textbf{karakterom} \index{karakter} zovemo homomorfizme $G\to F^{\times}$.
\end{defi}

\begin{lem}(Dedekind)
Svaki konachan skup razlichitih karaktera $\chi_1,\ldots,\chi_n$ je linearno nezavisan nad $F$ tj. ako za $a_1,\ldots,a_n\in F$ vazhi $\big(\forall h\in G\big)\: a_1\chi_1(h)+\ldots+a_n\chi_n(h)=0$ tada je $a_1=\ldots=a_n=0$.
\end{lem}
$\triangle$
Dokaz indukcijom po $n$, za $n=1$ je trivijalno. Pretpostavimo da lema vazhi za $n-1$ i  neka su $\chi_1,\ldots,\chi_n$ raslichiti karakteri za koje
$$\big(\exists a_1,\ldots,a_n\in F \text{ i nisu svi nule}\big)\big(\forall h\in G\big)\: a_1\chi_1(h)+\ldots+a_n\chi_n(h)=0$$
Kako je $\chi_1\neq \chi_2$, postoji $h_1\in G$ takvo da $\chi_1(h_1)\neq \chi_2(h_1)$. Tada je iz prethodne jednakosti za $h_1h$
$$a_1\chi_1(h_1)\chi_1(h)+\ldots+a_n\chi_n(h_1)\chi_n(h)=0$$
Ako pomnozhimo prvu jednakost sa $\chi_1(h_1)$ i oduzmemo od druge dobijemo
$$\big(\forall h\in G\big)\: a_2(\chi_2(h_1)-\chi_1(h_1))\,\chi_2(h)+\ldots+a_n(\chi_n(h_1)-\chi_1(h_1))\,\chi_n(h)=0$$
Iz indukcijske hipoteze je $\big(\forall k\in\{2,\ldots,n\}\big)\: a_k(\chi_k(h_1)-\chi_1(h_1))=0$ pa za $k=2$ iz $\chi_2(h_1)-\chi_1(h_1)\neq 0$ zakljuchujemo $a_2=0$. Ali tada je
$$\big(\forall h\in G\big)\: a_1\chi_1(h)+a_3\chi_3(h)+\ldots+a_n\chi_n(h)=0$$
odakle je prema indukcijskoj hipotezi $a_1=a_2=\ldots=a_n=0$ shto je kontradikcija na pretpostavku da nisu svi nule.
\hfill$\square$\\
\begin{posl}
Neka su $E$ i $F$ polja i $\sigma_1,\ldots,\sigma_n$ razlichita utapanja $E\to F$. Tada su $\sigma_1,\ldots,\sigma_n$ linearno nezavisni nad $F$.
\end{posl}
$\triangle$
Preslikavanja $\sigma_k|_{E^{\times}}:E^{\times}\to F^{\times}$ su karakteri za $G=E^{\times},\, F$ pa su prema Dedekindovoj lemi $\sigma_k|_{E^{\times}}$ linearno nezavisni nad $F$. Odatle su i $\sigma_k$ linearno nezavisni nad $F$.
\hfill$\square$\bigskip

\subsection{$G$-moduli, ukrshteni homomorfizmi, prva kohomoloshka grupa}
\begin{defi}
Neka je $G$ konachna grupa. \textbf{$G$-modul} \index{$G$-modul} je Abelova grupa $M$ sa dejstvom $\cdot :G\times M\to M$ koje ima osobine:
\begin{enumerate}
\item[1)] $1\cdot m=m$
\item[2)] $\sigma\cdot(\tau\cdot m)=(\sigma\tau)\cdot m$
\item[3)] $\sigma\cdot(m_1+m_2)=\sigma\cdot m_1+\sigma\cdot m_2$
\end{enumerate}
\end{defi}
\noindent Izostavljac1emo $\cdot$ na mjestima gd{j}e ne mozhe doc1i do zabune.
\begin{pri}
Ako je $E/F$ Galuaovo rashirenje i $G=Gal(E/F)$ tada su $(E,+)$ i $(E^{\times},\cdot)$ \mbox{$G$-moduli} gd{j}e je u oba sluchaja dejstvo $\sigma\cdot x=\sigma(x)$ (lako se provjerava da je ovo zaista dejstvo).
\end{pri}

\begin{defi}
Neka je $(M,\cdot)$ $G$-modul. Preslikavanje $f:G\to M$ za koje vazhi
$$\big(\forall \sigma, \tau\in G\big)\: f(\sigma\tau)=f(\sigma)+\sigma\cdot f(\tau)$$ zovemo \textbf{ukrshteni homomorfizam}\index{ukrshteni homomorfizam}. Preslikavanje $f:G\to M$ za koje postoji $m\in M$ takvo da
$$ \big(\forall \sigma\in G\big)\: f(\sigma)=\sigma\cdot m-m$$ zovemo \textbf{glavni} ukrshteni homomorfizam (trivijalno se provjerava da ovo jeste ukrshteni homomorfizam).
\end{defi}

\begin{pri}
Ako je dejstvo trivijalno svaki ukrshteni homomorfizam je homomorfizam $G\to M$ i jedini glavni ukrshteni homomorfizam je nula.
\end{pri}

Ako je $f:G\to M$ ukrshteni homomorfizam i $\sigma\in G$, tada je\\
\begin{equation}
\label{eq:3}
\begin{split}
   f(\sigma^2)&=f(\sigma)+\sigma f(\sigma)\\
   f(\sigma^3)&=f(\sigma^2)+\sigma^2 f(\sigma)=f(\sigma)+\sigma f(\sigma)+ \sigma^2 f(\sigma)\\
   \vdots\\
   f(\sigma^n)&=f(\sigma)+\sigma f(\sigma)+\ldots+\sigma^{n-1} f(\sigma)\\
\end{split}
\end{equation}
Ako je $G$ ciklichna grupa reda $n$ i $G=\langle \sigma\rangle$, tada je $f$ odredjeno sa $f(\sigma)=x\in M$, vazhi
$$0=f(1)=f(\sigma^n)=x+\sigma\cdot x+\ldots+\sigma^{n-1}\cdot x$$
i jasno je da tada postoji bijekcija izmedju skupova
\begin{equation} \label{eq:2}
\{\text{ukrshteni homomorfizmi } f: G\to M\}\xrightarrow[]{f(\sigma)} \{ x\in M \, |\, x+\sigma\cdot x+\ldots+\sigma^{n-1}\cdot x=0 \}
\end{equation}
jer c1e preslikavanje zadato sa (\ref{eq:3}) za $f(\sigma)=x$ biti ukrshteni homomorfizam zbog
%$$f(\sigma^k\sigma^l)=f(\sigma)+\sigma f(\sigma)+\ldots+\sigma^{k+l-1}f(\sigma)= f(\sigma)+\ldots+\sigma^{k-1}f(\sigma)+\sigma^k\big(f(\sigma)+\ldots+\sigma^{l-1}f(\sigma)\big)$$
\begin{equation*}
\begin{split}
   f(\sigma^k\sigma^l)&=f(\sigma)+\sigma f(\sigma)+\ldots+\sigma^{k+l-1}f(\sigma)=\\
	 &=f(\sigma)+\ldots+\sigma^{k-1}f(\sigma)+\sigma^k\big(f(\sigma)+\ldots+\sigma^{l-1}f(\sigma)\big)=\\
	 &=f(\sigma^k)+\sigma^k f(\sigma^l)
\end{split}
\end{equation*}
za $k+l<n$ i isto to za $k+l\geq n$ samo uz $0=f(\sigma)+\sigma f(\sigma)+\ldots+\sigma^{n-1}f(\sigma)$.
\begin{defi}
Lako se provjerava da ukrshteni homomorfizmi u odnosu na operaciju $(f+g)(h)=f(h)+g(h)$ imaju strukturu Abelove grupe i da skup glavnih ukrshtenih homomorfizama chini jednu njenu podgrupu, pa mozhemo da definishemo grupu
$$H^1(G,M)=\{\text{ukrshteni homomorfizmi}\}/\{\text{glavni ukrshteni homomorfizmi}\}$$ koju zovemo \textbf{prva kohomoloshka grupa}\index{prva kohomoloshka grupa}.
\end{defi}

Ova grupa c1e nam dati informaciju o ukrshtenim homomorfizmima koji nisu glavni. Na primjer $H^1(G,M)=0$ akko su svi ukrshteni homomorfizmi glavni.

\subsection{Norma i Hilbertova teorema 90}

\begin{thm}
Ako je $E/F$ Galuaovo i $G=Gal(E/F)$, tada je $H^1(G, E^{\times})=0$.
\end{thm}
$\triangle$
Treba dokazati da je proizvoljan ukrshteni homomorfizam $f:G\to E^{\times}$ glavni. Napomena, koristimo multiplikativnu notaciju u $E^{\times}$! Vazhi
\begin{equation} \label{eq:1}
\big(\forall \sigma, \tau\in G\big)\: f(\sigma\tau)=f(\sigma)(\sigma\cdot f(\tau))=f(\sigma)\sigma(f(\tau))
\end{equation}
$f(\tau)\in E^{\times}$ pa $f(\tau)\neq 0$ i $G$ je konachna grupa. Tada je
$$F=\sum_{\tau\in G} f(\tau)\tau$$ konachna, netrivijalna $E$-linearna kombinacija elemenata $G$ pa prema posljedici Dedekindove leme ovo nije nula preslikavanje tj.
$$\big(\exists \alpha\in E\big)\: 0\neq \beta=F(\alpha)=\sum_{\tau\in G} f(\tau)\tau(\alpha)$$
Neka je $\sigma\in G$ proizvoljno.
$$\sigma\cdot\beta=\sigma(\beta)=\sigma\Big(\sum_{\tau\in G} f(\tau)\tau(\alpha)\Big)=\sum_{\tau\in G} \sigma(f(\tau))\sigma(\tau(\alpha)) \stackrel{(\ref{eq:1})}{=} \sum_{\tau\in G} \big(f(\sigma)^{-1}f(\sigma\tau)\big)\sigma(\tau(\alpha))=$$
$$=f(\sigma)^{-1}\sum_{\tau\in G} f(\sigma\tau)(\sigma\tau)(\alpha)=f(\sigma)^{-1}\sum_{\tau\in G} f(\tau)\tau(\alpha)=f(\sigma)^{-1}\beta$$
Pretposlednja jednakost vazhi jer je preslikavanje $\psi:G\to G, \psi(\tau)=\sigma\tau$ bijekcija ("1-1" ochigledno pa i "na" jer je $G$ konachna grupa).\\
Odatle je $\big(\forall\sigma\in G\big)\: f(\sigma)=\frac{\beta}{\sigma\cdot\beta}=\frac{\sigma\cdot\beta^{-1}}{\beta^{-1}}$ tj. $f$ je glavni ukrshteni homomorfizam.
\hfill$\square$\\

\begin{defi}
Neka je $E/F$ Galuaovo rashirenje, $G=Gal(E/F)$ i $\alpha\in E$, tada \mbox{definishemo} \textbf{normu}\index{norma} $\alpha$ u $E/F$ sa
$$N(\alpha)=\prod_{\sigma\in G}\sigma (\alpha)$$
\end{defi}

\begin{tvr}
$N:E^{\times}\to F^{\times}$ je homomorfizam.
\end{tvr}
$\triangle$
Lako se dokazhe da je $N$ homomorfizam. Dokazhimo josh da je kodomen $F^{\times}$. Neka je $\tau\in G$ proizvoljno. Tada je
$$\tau(N(\alpha))=\tau\Big(\prod_{\sigma\in G} \sigma(\alpha)\Big)=\prod_{\sigma\in G} \tau\sigma(\alpha)=\prod_{\sigma\in G} \sigma(\alpha)=N(\alpha)$$
Pretposlednja jednakost vazhi iz istog razloga kao u prethodnoj teoremi. Dakle svaki element $G$ fiksira $N(\alpha)$ pa $N(\alpha)\in E^G=F$ a ochigledno je $N(\alpha)\neq 0$ za $\alpha\in E^{\times}$.
\hfill$\square$\\

Sada nas zanima koji elementi $E$ su norme $1$ tj. $Ker(N)$. Vidimo da je
 $\big(\forall \beta\in E^{\times}, \sigma\in G\big)$
$$N\bigg(\frac{\beta}{\sigma(\beta)}\bigg)=\prod_{\tau\in G}\tau\bigg(\frac{\beta}{\sigma(\beta)}\bigg)=\prod_{\tau\in G}\frac{\tau(\beta)}{\tau\sigma(\beta)}=\Big(\prod_{\tau\in G}\tau(\beta)\Big)\Big(\prod_{\tau\in G}\tau(\beta)\Big)^{-1}=1$$
\begin{thm}
(Hilbertova teorema 90) Ako je $E/F$ ciklichno rashirenje gd{j}e je $G=Gal(E/F)=\langle \sigma\rangle$, tada su svi elementi $E^{\times}$ norme $1$ oblika $\frac{\beta}{\sigma(\beta)}$ za neko $\beta\in E^{\times}$.
\end{thm}
$\triangle$
Neka je $|G|=n$ i $\alpha\in E^{\times}$ norme $1$.
$$1=N(\alpha)=\prod_{\tau\in G}\tau(\alpha)=\prod_{i=0}^{n-1}\sigma ^i(\alpha)=\alpha\cdot\sigma(\alpha)\cdot\ldots\cdot\sigma ^{n-1}(\alpha)$$
Sada iz ranije uspostavljene bijekcije (\ref{eq:2})
%$$\{\text{ukrshteni homomorfizmi } f: G\to M\}\xrightarrow[]{f(\sigma)}\{ x\in M | x+\sigma\cdot x+\ldots+\sigma^{n-1}\cdot x=0 \}$$
imamo ukrshteni homomorfizam $f:G\to E^{\times}$ takav da $f(\sigma)=\alpha$. Iz prethodne teoreme znamo da je on glavni pa $\big(\exists\beta\in E^{\times}\big)\big(\forall \tau\in G\big)\: f(\tau)=\frac{\beta}{\tau(\beta)}$. Specijalno je $\alpha=f(\sigma)=\frac{\beta}{\sigma(\beta)}$.
\hfill$\square$\\



\newpage
\setcounter{equation}{0}
\section{Ciklichna rashirenja, dejstvo Galuaove grupe na prstene celih brojnih polja (Filip Broc1ic1)}
\subsection{Ciklichna rashirenja}
\begin{defi}
Za Galuaovo rashirenje $E/F$ kazhemo da je ciklichno \index{ciklichno rashirenje} ukoliko je $Gal(E/F)$ ciklichna grupa.
\end{defi}
\begin{thm}
Neka je $F$ polje koje sadrzhi $n$-ti primitivni koren iz 1. Tada vazhi:
\begin{itemize}
    \item[1)] Ako je $E=F[\alpha]$, gde je $\alpha ^n \in F,  \left( \forall k < n \right) \alpha^k \notin F$, tada je $E/F$ ciklichno rashirenje reda $n$.
    \item[2)] Ako je $E/F$ ciklichno rashirenje reda $n$, tada $\left(\exists \alpha \in E \right)\left(\alpha^n \in F \wedge E=F[\alpha] \right)$
\end{itemize}
\end{thm}
$\triangle$ \begin{itemize}
    \item[1)] Neka je $\alpha^n=a \in F$. Jednachina $x^n-a=0$ ima tachno $n$ korena i oni su $\alpha, \zeta \alpha, \dots, \zeta ^{n-1} \alpha$ gde je $\zeta$ primitivni $n$-ti koren iz 1. Kako su svi koreni razlichiti, imamo da je $E$ korensko polje separabilnog polinoma nad $F$ pa je po Teoremi 5.2.1 $E/F$ Galuaovo.
    \paragraph{}
    Pokazhimo da je $Gal(E/F)$ ciklichna:\\
    Neka je $\sigma \in Gal(E/F)$, kako $\sigma(\alpha)$ anulira polinom $x^n - a$ imamo da vazhi:
    $$
    \sigma(\alpha)=\alpha \zeta^i, \quad i \in \{1,\dots, n-1\}
    $$
    odnosno $\frac{\sigma(\alpha)}{\alpha} \in \mu_n$, gde je $\mu_n=<\zeta>$ grupa $n$-tih  korena iz 1. Time je dobro definisano preslikavanje $\psi: Gal(E/F) \rightarrow \mu_n$ dato sa:
    $$
    \psi(\sigma)=\frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}
    $$
    \paragraph{}
    $\psi$ je homomorfizam:\\
    Za $\sigma \in Gal(E/F)$ imamo da je:
    \begin{equation} \label{eq.1}
    \frac{\sigma (\zeta^j \alpha)}{\zeta^j \alpha}=\frac{\sigma(\zeta)^j \sigma (\alpha)}{\zeta ^j \alpha} \overset{(*)}{=} \frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}
    \end{equation}
    jednakost (*) vazhi jer je $\sigma$ automorfizam koji fiksira elemente iz $F$. Neka su $\tau, \sigma \in Gal(E/F)$.
    $$
    \psi(\sigma \circ  \tau) = \frac{(\sigma  \circ \tau) (\alpha)}{\alpha} = \frac{\sigma (\tau(\alpha))}{\alpha}= \frac{\sigma(\tau (\alpha))}{\tau(\alpha)} \frac{\tau(\alpha)}{\alpha} \overset{(**)}{=} \frac{\sigma(\alpha)}{\alpha} \frac{\tau(\alpha)}{\alpha}= \psi(\sigma) \psi(\tau)
    $$
    jednakost (**) vazhi zbog diskusije (\ref{eq.1}).
    \paragraph{}
    $\psi$ je $"1-1"$ :\\
    $$
    \psi(\sigma)= 1 \Rightarrow \sigma(\alpha)=\alpha
    $$
    Kako je $E=F[\alpha]$ \text{ }$ \sigma$ fiksira sve elemente iz $E$ tj. $\sigma = id_E$ $\Rightarrow \ker \psi = {id_E}$.
    \paragraph{}
    $\psi$ je "\textit{na}": \\
    $$
    \psi\left(Gal(E/F) \right) \leq \mu_n  \Rightarrow \psi\left(Gal(E/F) \right)=\mu_d , \quad d\vert n
    $$
    Ako je $d<n$:
    $$
    \psi^d  \left(\sigma \right)= \frac{\sigma(\alpha)^d}{\alpha^d}=1 \Rightarrow \sigma(\alpha^d)=\alpha^d \Rightarrow \alpha^d \in F
    $$
    shto nije moguc1e zbog uslova teoreme, pa je $d=n$   tj.   $Gal(E/F) \cong \mu_n$.
    \item[2)]
    Neka je $\sigma$ generator Galuaove grupe $Gal(E/F)$ i neka je $\mu_n= <\zeta>$. \\
    Ukoliko postoji $\alpha \in E^{*}$ takvo da je $\sigma (\alpha) = \zeta \alpha $ dokazac1emo teoremu. Zaista:
    $$
    \sigma(\alpha^n)=\sigma(\alpha)^n=(\zeta \alpha)^n = \alpha ^n
    $$
    Kako je $F=E^{Gal(E/F)}$ i $Gal(E/F)=<\sigma>$ imamo da je $\alpha^n \in F$.\\
    Pretpostavimo da je $\alpha^k \in F$ za neko $k<n$.
    \begin{align}
    \alpha^k \in F & \Rightarrow \alpha^{(k,n)} = \alpha^{ak+bn} \in F \Rightarrow \sigma(\alpha^{(k,n)}) = \alpha^{(k,n)} \nonumber \\
                   & \Rightarrow \zeta^{(k,n)} \alpha^{(k,n)} = \alpha ^{(k,n)} \Rightarrow \zeta^{(k,n)}=1       \nonumber
    \end{align}
    Shto nije moguc1e jer je $\zeta$ reda $n$. Kako je $Gal(E/F)=<\sigma>$ jedini element koji fiksira $\alpha$ je $id_E$  jer:
    $$
    \sigma^j (\alpha)= \sigma^{j-1}(\zeta \alpha)= \zeta^j \alpha \neq \alpha \quad \forall j<n
    $$
 	\begin{center}

   \begin{tikzpicture}
	\node (A) at (0,0) {$E$};
	\node (B) at (0,-1) {$F[\alpha]$};
	\node (C) at (0,-2) {$F$};
	\draw (A) -- (B);
	\draw (B) -- (C) ;
	\end{tikzpicture}
		\end{center}
    Iz teoreme o Galua korespondenciji imamo da je  $E=F[\alpha]$ jer vazhi $Gal(E/F[\alpha])=\{id_E\}$.

    \paragraph{}
    \noindent Element $\alpha$ postoji po Hilbertovoj teoremi 90 jer je
    $$
    N(\zeta)=\prod_{\sigma \in Gal(E/F)} \sigma(\zeta) = \zeta^n = 1
    $$
\end{itemize}
\hfill$\square$


\begin{tvr}
Neka je $F$ polje koje sadrzhi primitivni $n$-ti koren iz 1. Ciklichna rashirenja $F[a^{1/n}]$ i $F[b^{1/n}]$ su ista akko postoji $i \in \lN$ i $c \in F$ takvi da je $b=a^i c^n$ i $(r,n)=1$, odnosno rashirenja su ista akko $a$ i $b$ generishu istu multiplikativnu podgrupu u $F^{*}/ \left(F^{*}\right)^n$.
\end{tvr}
$\triangle$
$\Rightarrow :$\\
Neka su $\alpha$ i $\beta$ takvi da $\alpha^n=a, \text{ } \beta^n = b$ i $F[\alpha]=F[\beta]=E$. Neka je $Gal(E/F)=<\sigma>$, iz prethodne teoreme $\sigma(\beta)=\zeta^i \beta$ i $(i,n)=1$ jer u suprotnom $\sigma$ ne bi bio generator.

$$
\beta = \sum_{j=0} ^{n-1}c_j \alpha ^j, \quad c_j \in F  \text{ }\forall j
$$
jer je $\beta \in F[\alpha]$.

$$
\zeta^i \beta = \sigma(\beta) = \sum_{j=0} ^{n-1}c_j \sigma(\alpha) ^j= \sum_{j=0} ^{n-1}c_j  \zeta^j \alpha ^j
$$
Shto nam daje:
$$
\zeta^i \sum_{j=0} ^{n-1}c_j \alpha ^j = \sum_{j=0} ^{n-1}c_j \zeta \alpha ^j \quad \Rightarrow \quad \sum_{j=0} ^{n-1} (\zeta^ i c_j - c_j \zeta^j ) \alpha ^j = 0
$$

Kako je $\{1,\alpha , \dots , \alpha^{n-1} \}$ baza za $E$ nad F imamo da je
$$
c_j=0, \text{ } j\neq i, \text{i}, \beta=c_i \alpha^i
$$
Odnosno nakon stepenovanja sa $n$:
$$
b=a^i c_i ^n
$$
$\Leftarrow :$\\
Neka su $\alpha$ i $\beta$ takvi da $\alpha^n=a, \text{ } \beta^n = b$.  Kako je $b=a^i c^n$ odmah imamo da je $\beta=\alpha^i c'$ gde je $c' \in F$ dobijen od $c$ mnozhenjem nekim $n$-tim korenom iz 1. Poshto je $(i,n)=1$ vazhi $k i + l n =1$ za neke $k,l \in \lN$ odnosno imamo da je $a=b^k (c^{-k} a^l)^n$ tj. $\alpha = \beta^k c''$ za neko $c'' \in F$, time je i
$$
F[\alpha]=F[\beta]
$$
\hfill$\square$

\subsection{Dejstvo Galuaovih grupa na prstene celih algebarskih brojnih polja}

Algebarsko brojno polje je konachno rashirenje polja $\lQ$.

\begin{defi}
Neka je $K/ \lQ$ brojno rashirenje. Prsten celih algebarskog brojnog polja $\mathcal{O}_K$ je integralno zatvorenje prstena $\lZ$ u $K$.
\end{defi}

Odnosno ovu definiciju mozhemo ekvivalentno zapisati da je $\mathcal{O}_K$ skup svih korena monichnih polinoma iz $\lZ [x]$ koji zhive u K.



\begin{nap}
Neka je $K$ algebarsko brojno polje, ako je $K/\lQ$ Galuaovo tada $Gal(K/\lQ)$ dejstvuje na $\mathcal{O}_K$. (Jer elementi Galuaove grupe permutuju korene pa je $\forall \sigma \in Gal(K/\lQ)$ $\sigma (\mathcal{O}_K) = \mathcal{O}_K$ )
\end{nap}


Naredna teorema predstavlja jedan od prvih rezultata $Class \text{ } field \text{ } theory$, njen dokaz je izuzetno slozhen i izostavljamo ga, nju je korektno dokazao tek Hilbert 1896. godine, dok su Kroneker i Veber dali odredjeni doprinos dokazivanju sredinom 19. veka pa je po njima i dobila naziv. Teorema daje opis Abelovih rashirenja, shto su Galuaova rashirenja kojima je Galuaova grupa Abelova.

\begin{thm}[Kroneker-Veber] \index{Teorema Kroneker-Veber}
Svako Abelovo rashirenje od $\lQ$ je sadrzhano u nekom ciklotomichnom rashirenju $\lQ[\zeta_m] / \lQ$.
\end{thm}

Shto se tiche prstena celih u ciklotomichnim rashirenjima, ona su precizno odredjena:

\begin{tvr}
Neka je $\mathcal{O}_m$ celih u $\lQ[\zeta_m]$. Tada je $\mathcal{O}_m=\lZ[\zeta_m]$
\end{tvr}

Trivijalno vazhi da je $\lZ[\zeta_m] \subset \mathcal{O}_m $ jer je $\zeta_m ^m - 1 = 0 $. Tvrdjenje ostavljamo bez dokaza, dokaz kada je $m$ prost se mozhe nac1i u knjizi Teorija brojeva profesora Djankovic1a.

\begin{defi}
Neka je $K/\lQ$ Galuaovo rashirenje, $[K:\lQ]=n$ i $Gal(K/\lQ)=\{\sigma_1, ..., \sigma_n \}$.
\underline{Diskriminanta} brojeva $\alpha_1 ,..., \alpha_n \in K$ je
$$\triangle (\alpha_1 ,..., \alpha_n)= \det\text{}^2
\left(
\begin{matrix}
\sigma_1(\alpha_1) & \sigma_1(\alpha_2) & ... & \sigma_1(\alpha_n)\\
\sigma_2(\alpha_1) & \sigma_2(\alpha_2) & ... & \sigma_2(\alpha_n)\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\sigma_n(\alpha_1) & \sigma_n(\alpha_2) & ... & \sigma_n(\alpha_n)
\end{matrix}
\right)
$$
\end{defi}


\begin{defi}
Neka je $K/\lQ$ Galuaovo rashirenje. \underline{Norma} \index{norma elementa} elementa $\alpha \in K$ je:
$$
N(\alpha)= \prod_{\sigma \in Gal(F/\lQ)} \sigma(\alpha)
$$
\underline{Trag} \index{trag elementa} elementa $\alpha \in K$ je:
$$
Tr(\alpha)=\sum_{\sigma \in Gal(F/\lQ)} \sigma (\alpha)
$$
\end{defi}

\begin{nap}
Ukoliko posmatramo $\alpha$ kao preslikavanje $\alpha: E \rightarrow E$ zadato sa $\alpha(x)=\alpha x$. Norma i trag su norma i trag matrice koje znamo iz kursa Linearne Algebre.
\end{nap}

\begin{tvr}
Neka je $F/\lQ$ i $\alpha_1 ,..., \alpha_n \in F$ nad $\lQ$. Tada je $\triangle(\alpha_1 ,..., \alpha_n)=\det (Tr(\alpha_i \alpha_j) )_{i,j}$.\\
Ako je josh $\{\alpha_1 ,..., \alpha_n\}$ baza za $F$ nad $\lQ$ tada je $\triangle(\alpha_1 ,..., \alpha_n)\neq 0$.
\end{tvr}

$\triangle$
Ako oznachimo sa $A=(\sigma_i (\alpha_j))_{i,j}$ imamo da je $\left(A^T A\right)_{i,j}=\sum_{k=1}^{n} \sigma_k(\alpha_i) \sigma_k (\alpha_j) = \sum_{k=1}^m \sigma_k (\alpha_i \alpha_j) = Tr(\alpha_i \alpha_j ) $.

$$
\triangle(\alpha_1 ,..., \alpha_n) = \det \text{}^2 A = \det A^T A = \det (Tr(\alpha_i \alpha_j))_{i,j}
$$
Pokazhimo sada i drugi deo, pretpostavimo suprotno, neka su $\alpha_1 ,..., \alpha_n$ linearno nezavisni i neka je
$$
\triangle(\alpha_1 ,..., \alpha_n)=0
$$
to znachi da su kolone matrice linearno zavisne tj. $\exists \lambda_1,...,\lambda_n \in \lQ$ koji nisu svi nula i vazhi:

$$
\lambda_1 \left(
\begin{matrix}
\sigma_1(\alpha_1)\\
\sigma_2(\alpha_1)\\
.\\
.\\
\sigma_n(\alpha_1)
\end{matrix}
\right) +
\lambda_2 \left(
\begin{matrix}
\sigma_1(\alpha_2)\\
\sigma_2(\alpha_2)\\
.\\
.\\
\sigma_n(\alpha_2)
\end{matrix}
\right)
+ \cdots +
\lambda_n \left(
\begin{matrix}
\sigma_1(\alpha_n)\\
\sigma_2(\alpha_n)\\
.\\
.\\
\sigma_n(\alpha_n)
\end{matrix}
\right)= \left( \begin{matrix}
0\\
0\\
.\\
.\\
0
\end{matrix}
\right)
$$
Odnosno odatle dobijamo da je
$$\sigma_1(\lambda_1 \alpha_1 + \cdots + \lambda_n \alpha_n)=0$$
pa kako je $\sigma_1$ automorfizam vazhi:
$$
\lambda_1 \alpha_1 + \cdots + \lambda_n \alpha_n = 0
$$
a poshto su $\alpha_1 ,..., \alpha_n$ linearno nezavisni imamo da je $\lambda_i = 0 \text{ } \forall i \in \{1,...,n \}$ shto je kontradikcija!
\hfill$\square$\\
Sledec1a teorema garantuje egzistenciju integralne baze prstena celih, odnosno tvrdi da je $\mathcal{O}_K$ jedan $\lZ$-modul.
\begin{thm}
Neka je $K/\lQ$ algebarsko brojno polje. Tada $\mathcal{O}_K$ ima integralnu bazu tj.
$$
\exists w_1, ..., w_n \in \mathcal{O}_K \quad \mathcal{O}_K = \lZ w_1 + ... + \lZ w_n
$$
\end{thm}
Dokaz teoreme izostavljamo, on se mozhe pronac1i u knjizi Teorija Brojeva (Posledica 9.19).\\
Slichno Tvrdjenju 9.2.3 imamo da je diskriminanta razlichita od nule i za integralnu bazu:
\begin{tvr}
Neka je $K/\lQ$ algebarsko brojno polje i $\{w_1, ..., w_n \}$ integralna baza za $\mathcal{O}_K$. Tada je :\\
$$
\triangle (w_1, ..., w_n) \in \lZ / \{ 0\}
$$
\end{tvr}
$\triangle$
Primetimo da ako je $\{w_1, ..., w_n \}$ integralna baza za prsten algebarskih celih, oni su linearno nezavisni nad $\lQ$ pa je zbog Tvrdjenja 9.2.3 $\triangle (w_1, ..., w_n) \neq 0$, a imamo da je $\triangle (w_1, ..., w_n) \in \lZ$ jer opet prema 9.2.3 diskriminanta se rachuna kao determinanta matrice $(Tr(w_i w_j))_{i,j}$, a svaki od tragova je iz Vijetovih veza u $\lZ$.

\hfill$\square$\\
\begin{tvr}
Neka je $K/\lQ$ algebarsko brojno polje i $\{w_1, ..., w_n \}$ i $\{w'_1, ..., w'_n \}$ integralne baze za $\mathcal{O}_K$.
Tada je:
$$
\triangle (w_1, ..., w_n)=\triangle (w'_1, ..., w'_n)
$$
\end{tvr}


$\triangle$
Promena integralne baze je indukovana invertibilnom matricom $M \in M_n(\lZ)$, uslov da je matrica sa celobrojnim koeficijentima invertibilna je ekvivalentan tome da je $\det \text{}^2 M = 1 $, a odatle ako je $M=(m_{ij})_{i,j}$ vazhi $w'_i= \sum_{k=1}^n m_{ik} \omega_k \text{ } \forall i$ i   $A= (\sigma_j (\omega_i))_{i,j} $ imamo :
$$
A'=M A
$$

jer je $\sigma_i$ automorfizam za svako $i$ pa vazhi:

$$
\det \text{}^2 A' = \det \text{}^2 M A = \det \text{} ^2 A
$$
chime je dokaz zavrshen.
\hfill$\square$ \\

\begin{defi}
Neka je $K/ \lQ$ algebarsko brojno polje i $\{w_1, ..., w_n \}$ integralna baza za $\mathcal{O}_K$. \underline{Diskriminanta} polja $K$ je $\triangle(w_1, ..., w_n)$.
\end{defi}

\section{Reshivost u radikalima. Dejstva Galoaovih grupa na prs\-te\-ne celih algebarskih brojnih polja (Obrad Kasum)}

\subsection{Reshivost u radikalima}

\begin{defi}
Neka je $f\in F[X]$. Jednachina $f(X)=0$ je rashiva u radikalima ako postoji niz rashirenja polja $F=F_0\leqslant F_1\leqslant\dots\leqslant F_m$ takav da vazhi:
\begin{enumerate}
\item $F_i=F_{i-1}[\alpha_i]$, pri chemu je $\alpha_i^{m_i}\in F_{i-1}$, za neko $m_i\in\mathbb{N}$;
\item $F_m$ sadrzhi neko korensko polje za $f$ nad $F$.
\end{enumerate}
\end{defi}

Prvi uslov znachi da je $F_i$ prosto rashirenje polja $F_{i-1}$ nekim korenom nekog elementa.

\begin{defi}
$\mathrm{Gal}(f/F):=\mathrm{Gal}(E/F)$, pri chemu je $E$ neko korensko polje polinoma $f$ nad $F$.
\end{defi}

\begin{lem}
Neka je $f\in F[X]$ separabilan i $F'/F$ proizvoljno rashirenje. Tada vazhi
$$\gal(f/F')\leqslant\gal(f/F).$$
\end{lem}
\textbf{Dokaz.} Neka je $E'$ korensko za $f$ nad $F'$ i neka su $\alpha_1\dots\alpha_m$ koreni polinoma $f$ u $E'$. Tada je $E:=F[\alpha_1\dots\alpha_m]$ korensko polje za $f$ nad $F$.

Neka je $\sigma\in\gal(E'/F')$. $F\leqslant F'$, pa je $\sigma\upharpoonright F=\mathrm{id}_F$. Odavde, i iz chinjenice da $\sigma$ permutuje elemente $\alpha_1\dots\alpha_m$, sledi da je $\sigma(E)=E$. Dakle, $\sigma\upharpoonright E\in\gal(E/F)$.

Dakle, preslikavanje $\sigma\mapsto\sigma\upharpoonright E$ slika $\gal(E'/F')\rightarrow\gal(E/F)$ i ono je ochigledno homomorfizam grupa. Dokazhimo josh da je 1-1, i time je dokaz zavrshen.

Neka su $\sigma_1,\sigma_2\in\gal(E'/F')$ takvi da je $\sigma_1\upharpoonright E=\sigma_2\upharpoonright E$. Tada je $\sigma_1\upharpoonright F'=\sigma_2\upharpoonright F'=\id_{F'}$ i $\sigma_1(\alpha_i)=\sigma_2(\alpha_i)$ za sve $\alpha_i$. Odavde sledi da je $\sigma_1=\sigma_2$ na $F'[\alpha_1\dots\alpha_m]=E'$.\qed

\begin{thm}
\textnormal{\textbf{[Galoa 1832]}} Neka je $F$ polje karakteristike $0$ i neka je $f\in F[X]$. Tada jednachina $f(X)=0$ ima reshenje u radikalima ako i samo ako je grupa $\gal(f/F)$ reshiva.
\end{thm}
\textbf{Dokaz.} Dokazujemo samo smer $\Leftarrow$, buduc1i da je drugi smer tehnichki zahtevniji. Neka je $G_f:=\gal(f/F)$; ona je reshiva po pretpostavci. Neka je $F':=F[\zeta]$, gde je $\zeta$ primitivni $(\mathrm{deg}f)!$-koren iz $1$. $G:=\gal(f/F')\leqslant G_f$ po prethodnoj lemi, pa je i ona reshiva. Dakle, postoji niz podgrupa
$$G=G_0\geqslant G_1\geqslant\dots\geqslant G_m=\{1\}$$
takav da je $G_i\triangleleft G_{i-1}$ i $G_{i-1}/G_i$ ciklichna.

Neka je $E$ korensko polje polinoma $f$ nad $F'$ i neka je $F_i:=E^{G_i}$. Tada je $G=\gal(E/F')$ i
$$F\leqslant F[\zeta]=F'=F_0\leqslant F_1\leqslant\dots\leqslant F_m=E,$$
pri chemu je svako $F_i/F_{i-1}$ Galoaovo (jer je $G_{i}\triangleleft G_{i-1}$), ciklichno (jer je $G_{i-1}/G_i$ ciklichna) i $F_{i-1}$ sadrzhi $[F_i:F_{i-1}]$-ti primitivni koren iz $1$. Primenom teoreme \ref{ciklichna_rashirenja} na rashirenja $F_i/F_{i-1}$ vidimo da gornji niz rashirenja ima oblik iz definicije reshivosti u radikalima, shto znachi da je jednachina $f(X)=0$ reshiva u radikalima.\qed

\subsection{Dejstva Galoaovih grupa na prstene celih algebarskih brojnih polja (nastavak)}

\begin{lem}
Neka je $F$ algebarsko brojno polje, $[F:\lQ]=n$ i $\lO_F$ prsten celih u $F$. Ako $\alpha_1\dots\alpha_n\in\lO_F$ chine $\lQ$-bazu za $F$, onda je
$$\Delta(\alpha_1\dots\alpha_n)\cdot\lO\subseteq\lZ\alpha_1+\dots\lZ\alpha_n.$$
\label{celi_u_resh}
\end{lem}
\textbf{Dokaz.} Neka je $w\in\lO$ proizvoljan i $w=\sum_{i=1}^n r_i\alpha_i$, za $r_i\in\lQ$. Sada je za sve $j=1\dots n$
$$\sum_{i=1}^nr_i\alpha_i\alpha_j=w\alpha_j.$$
Prelaskom na $\Tr$ u prethodnim jednakostima dobijamo sistem
$$\sum_{i=1}^n\Tr(\alpha_i\alpha_j)r_i=\Tr(w\alpha_j),\quad j=1\dots n,$$
po $r_i$ sa celobrojnim koeficijentima.

Sistem ima jedinstveno reshenje jer je $[\alpha_i]_{i=1}^n$ baza i stoga su $r_i$ jedinstveni. Odavde je $\Delta:=\Delta(\alpha_1\dots\alpha_n)=\det[\Tr(\alpha_i\alpha_j)]_{i,j}\not=0$ i na osnovu Kramerovog pravila je $r_i\in\lZ/\Delta$.\qed

\vspace{\topsep}
Rezultat prethodne leme se mozhe zapisati u obliku
$$\lO_F\subseteq\lZ\frac{\alpha_1}{\Delta}+\dots\lZ\frac{\alpha_n}{\Delta}.$$

Neka je sada $F:=\lQ(\zeta_m)$, $\zeta:=\zeta_m$ i $\lO_m:=\lO_F$. Tada je $[F:\lQ]=\varphi(m)$, pa $1,\zeta,\zeta^2\dots\zeta^{\varphi(m)-1}\in\lO_m$ chine $\lQ$-bazu za $F$. Na osnovu leme je
$$\lO_m\subseteq\lZ\frac{1}{\Delta}+\lZ\frac{\zeta}{\Delta}+\dots+\lZ\frac{\zeta^{\varphi(m)-1}}{\Delta}.$$
Odredimo sada $\Delta$.

\begin{lem}
Neka je $L/K$ Galoaovo rashirenje algebarskih brojnih polja, $1,\beta\dots\beta^{n-1}$ jedna $K$-baza za $L$ i $f$ minimalni polinom za $\beta$ nad $K$. Tada je
$$\Delta(1,\beta\dots\beta^{n-1})=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\N(f'(\beta)).$$
\end{lem}
\textbf{Dokaz.} Neka je $\gal(L/K)=\{\sigma_i\, :\, 1\leqslant i\leqslant n\}$. Tada je $\Delta:=\Delta(1,\beta\dots\beta^{n-1})=\det^2[\sigma_i(\beta)^j]_{i,j}$, shto je kvadrat Vandermondove determinante. Dakle,
$$\Delta=\prod_{i<j}(\sigma_i(\beta)-\sigma_j(\beta))^2
=(-1)^\frac{n(n-1)}{2}\prod_{i\not=j}(\sigma_i(\beta)-\sigma_j(\beta)).$$

Vazhi
$$f=\prod_{i=1}^n (X-\sigma_i(\beta)),$$
pa je
$$f'=\sum_{i=1}^n\prod_{j\not=i}(X-\sigma_j(\beta))
\mbox{ i }f'(\sigma_i(\beta))=\prod_{j\not=i}(\sigma_i(\beta)-\sigma_j(\beta)).$$
Dakle,
$$\Delta=(-1)^\frac{n(n-1)}{2}\prod_{i=1}^{n}f'(\sigma_i(\beta)).$$
Buduc1i da je $f'\in K[X]$, vazhi $f'(\sigma_i(\beta))=\sigma_i(f'(\beta))$, pa je
$$\Delta=(-1)^\frac{n(n-1)}{2}\prod_{i=1}^{n}\sigma_i(f'(\beta))=(-1)^\frac{n(n-1)}{2}\N(f'(\beta)).$$
\qed

\begin{lem}
$\Delta(1,\zeta_m\dots\zeta_m^{\varphi(m)-1})\mid m^{\varphi(m)}$.
\end{lem}
\textbf{Dokaz.} $X^m-1=\Phi_mg$, za neko $g\in\lZ[X]$. Izrachunavanjem izvoda dobijamo
$$mX^{m-1}=\Phi_m'g+\Phi_mg',$$
pa sledi $m\zeta^{m-1}=\Phi_m'(\zeta)g(\zeta)$. Prelaskom na normu dobijamo
\begin{equation}
\N(m\zeta^{m-1})=\N(\Phi_m'(\zeta)g(\zeta)).
\label{eq_ok1}
\end{equation}

Dalje rachunamo
$$\N(m\zeta^{m-1})=m^{\varphi(m)}\N(\zeta)^{-1}=m^{\varphi(m)}(\prod_\sigma \sigma(\zeta))^{-1}=m^{\varphi(m)}(\prod_{(i,m)=1}\zeta^i)^{-1}=m^{\varphi(m)}(\pm 1)^{-1}=\pm m^{\varphi(m)},$$
pri chemu pretposlednja jednakost sledi kada u proizvodu grupishemo $\zeta^i$ i $\zeta^{m-i}$, a vazhi i
$$\N(\Phi_m'(\zeta)g(\zeta))=\N(\Phi_m'(\zeta))\N(g(\zeta))=\pm\Delta\cdot\N(g(\zeta)).$$
Zamenom u (\ref{eq_ok1}) dobijamo
$$\Delta\cdot\N(g(\zeta))=\pm m^{\varphi(m)}.$$
$\zeta\in\lO_m$ i $g\in\lZ[X]$, pa je $g(\zeta)\in\lO_m$, odakle $\N(g(\zeta))\in\lZ$ i sledi tvrdjenje leme.\qed

\begin{tvr}\label{tvr1021}
Neka je $p$ prost ceo broj koji ne deli $m$ i $w\in\lO_m$. Tada postoji element $\sum_{i=0}^{\varphi(m)-1}a_i\zeta^i\in\lZ[\zeta]$ takav da
$$w\equiv\sum_{i=0}^{\varphi(m)-1}a_i\zeta^i\quad (\md p\lO_m).$$
\end{tvr}
\textbf{Dokaz.} Na osnovu prethodne leme $p\nmid\Delta$. Sledi da postoji $\Delta'\in\lZ$ takav da je $\Delta\Delta'\equiv 1\quad (\md p\lZ)$. Sada je $\Delta\Delta'\equiv 1\quad (\md p\lO_m)$, odakle
$$w\equiv \Delta'\cdot\Delta w\quad (\md p\lO_m),$$
pri chemu je $\Delta'\in\lZ$ i $\Delta w\in\lZ[\zeta]$ na osnovu leme \ref{celi_u_resh}, chime je dokaz zavrshen.\qed

\vspace{\topsep}
Oznachimo sada sa $\sigma_j$ element iz $\gal(\lQ(\zeta_m)/\lQ)$ odredjen uslovom $\zeta\mapsto\zeta^j$, za $1\leqslant j\leqslant m$, $(j,m)=1$.

\begin{tvr} \label{mi}
Neka je $p$ prost ceo broj koji ne deli $m$. Tada za sve $w\in\lO_m$ vazhi
$$\sigma_p(w)\equiv w^p\quad (\md p\lO_m).$$
\end{tvr}
\textbf{Dokaz.} Na osnovu prethodnog tvrdjenja je $w\equiv\sum_{i=0}^{\varphi(m)-1}a_i\zeta^i\quad (\md p\lO_m)$, za cele $a_i$. Uzimajuc1i u obzir da je $\sigma_p(p\lO_m)=p\lO_m$, imamo
$$\sigma_p(w)\equiv\sum_{i=0}^{\varphi(m)-1}a_i\sigma_p(\zeta)^i\equiv
\sum_{i=0}^{\varphi(m)-1}a_i^p\zeta^{pi}\equiv
(\sum_{i=0}^{\varphi(m)-1}a_i\zeta^i)^p\equiv w^p\quad (\md p\lO_m),$$
pri chemu prva kongruencija sledi jer je $\sigma_p$ automorfizam, druga sledi iz male Fermaove teoreme i definicije $\sigma_p$, a trec1a sledi primenom Frobenijusovog homomorfizma u prstenu $\lO_m/p\lO_m$ karakteristike $p$.\qed

\vspace{\topsep}
Dakle, $\sigma_p$ indukuje Frobenijusov homomorfizam u kolichnichkom prstenu $\lO_m/p\lO_m$.


\newpage
\setcounter{equation}{0}
\section{Gausov zakon kvadratnog reciprociteta, rascepljivanje i ramifikacija prostih ideala u rashirenjima (Milica Ikonic1)}
\subsection{Gausov zakon kvadratnog reciprociteta}


\begin{tvr}
Neka je $p$ neparan prost broj, i $p^{\times}=(-1)^{\frac{p-1}{2}}p$.
Tada $\sqrt{p^{\times}}\in \mathbb{Q}(\xi _p)$.
\end{tvr}

$\triangle$


Krec1emo od ciklotomichnog polinoma za $p$:
$\Phi_p(X)=1+X+X^2+\dots +X^{p-1}=(X-\xi)(X-\xi^2)\dots (X-\xi
^{p-1})$. Poshto je $\Phi_p(1)=p=\prod_{i=1}^{p-1}(1-\xi ^i)$, i
poshto vazhi

$$(1-\xi ^i)(1-\xi^{p-i})=(1-\xi ^i)(1-\xi^{-i})=-\xi ^{-i}(1-\xi^{p-i}),$$

\noindent to je

$$p=\prod_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\left[-\xi^{-i}\left( 1-\xi^i\right)^2\right],$$

$$p^{\times}=(-1)^{\frac{p-1}{2}}p=\left[\prod_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}(1-\xi^i)\right]^2\xi^b,$$

\noindent pa poshto $\prod_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}(1-\xi^i)\in
\mathbb{Q}[\xi]$, i $(\xi^{bc})^2=\xi^{2bc}=\xi^{b(kp+1)}=\xi^b$,
to je $\xi^b$ kvadrat, pa je $p^{\times}$ kvadrat u $\mathbb{Q}[\xi]$.
$\square$

Dakle, $p^{\times}=\tau ^2$, gde je $\tau$ neki element ciklotomichnog
polja. $\tau$ reshava jednachinu $X^2-p^{\times}=0$, pa je $\tau$
algebarski ceo broj u $O_p$.

\noindent Neka je $q$ neparan prost broj $p\neq q$, i neka je
$\sigma_q\in \gal(\mathbb{Q}(\xi_p)/\mathbb{Q})$. Imamo da je

$$\sigma_q(\tau)^2=\sigma_q(\tau ^2)=\sigma _q(p^{\times})=p^{\times}=\tau ^2.$$

\noindent Prema tome, $\sigma (\tau)=\pm \tau$. Primetimo da je
$\sigma _q(\tau)=+\tau$ akko $\sigma_q\in
\gal(\mathbb{Q}(\xi_p)/\mathbb{Q}(\sqrt{p^{\times}}))\leq
\gal(\mathbb{Q}(\xi_p)/\mathbb{Q})\cong
\left(\lZ/p\lZ\right)^{\times}$. Grupa
$\left(\lZ/p\lZ\right)^{\times}$ ima tachno jednu
podgrupu reda $2$, i to onu koja odgovara elementu $\sigma _q$.


\noindent Dakle, $\sigma _q(\tau)=\pm \tau$ akko je $\sigma _q$
kvadrat u $\gal(\mathbb{Q}(\xi_p)/\mathbb{Q})\cong
\left(\lZ/p\lZ\right)^{\times}\cong
\lZ/(p-1)\lZ$, tj. akko je $[q]$ klasa ostataka
modulo $p$, koja odgovara izomorfizmu $\sigma _q$, je kvadrat u
$\left(\lZ/p\lZ\right)^{\times}$.

Prema tome, $\sigma _q(\tau)=\left( \frac{q}{p}\right) \tau$, gde
je $\left( \frac{q}{p}\right)$  Lezhandrov simbol, jednak $1$
ako je $q$ kvadrat modulo $p$ i $p\nmid q$, $-1$ ako nije kvadrat
modulo $p$, i $0$ ako $p|q$.

Neka je $\frak q$ prost ideal koji deli $qO_p$, gde je $O_p$
prsten celih u $\mathbb{Q}(\xi _p)$. Tada $\frak q\supseteq qO_p$.



Kada primenimo Tvrdjenje \ref{mi}, dobijamo da je

$$\sigma _q(\tau)\equiv \tau ^q \; ({\rm mod}\; qO_p),$$

\noindent odnosno $\left( \frac{q}{p}\right) \tau=\sigma
_q(\tau)\equiv \tau ^q \; ({\rm mod}\; \frak q)$. Kako je $\frak
q$ prost ideal, to je

$$\tau \left( \tau^{q-1}-\left( \frac{q}{p}\right)\right)\in \frak
q,$$

\noindent pa ili $\tau$ ili $\left( \tau^{q-1}-\left(
\frac{q}{p}\right)\right)$ pripada tom idealu. Ako bi $\tau$ bilo
u idealu, tada bi njegov kvadrat, $p^{\times}$, bio u idealu, a odatle i
$p\in \frak q$. To bi nam dalo da $p,q\in \frak q$, odakle $\frak
q\supseteq O_pp+O_pq=O_p$, shto je kontradiktorno sa time da je
$\frak q$ prost (dakle maksimalni) ideal u $O_p$. Dakle,

$$\tau ^{q-1}\equiv \left( \frac{q}{p}\right) \; ({\rm mod}\; \frak q).$$

\noindent Sa druge strane,


$$\left( \frac{p^{\times}}{q}\right)\equiv (p^{\times})^{\frac{q-1}{2}}\; ({\rm mod}\; q\lZ)$$

$$\equiv (\tau ^2)^{\frac{q-1}{2}}\; ({\rm mod}\; q\lZ)$$

$$\equiv \tau^{q-1}\; ({\rm mod}\; q\lZ).$$

\noindent Dakle, imamo da je $\left( \frac{p^{\times}}{q}\right)=\left(
\frac{q}{p}\right)$ modulo $\frak q$ (Imamo jednakost, jer bi u
suprotnom $2\in \frak q$, odakle bi $2\in O_p$). Prema tome,

$$\left( \frac{q}{p}\right)=\left( \frac{p^{\times}}{q}\right)=\left( \frac{(-1)^{\frac{p-1}{2}}p}{q}\right)=\left( \frac{-1}{q}\right)^{\frac{p-1}{2}}\left( \frac{p}{q}\right)=\left((-1)^{\frac{q-1}{2}}\right)^{\frac{p-1}{2}}\left( \frac{p}{q}\right).$$

Ovime smo dokazali sledec1u teoremu (Gausov zakon
reciprociteta):\index{Gausov zakon reciprociteta}

\begin{thm}
Za neparne proste brojeve $p$ i $q$ vazhi

$$\left( \frac{q}{p}\right)\left( \frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}.$$
\end{thm}
\begin{posl}
$$x^2 \equiv q (mod p)$$ akko $$x^2 \equiv p (mod q)$$.
\end{posl}
Ova posledica Gausove zlatne teoreme nam govori da dva razlichita prosta broja vide jedan drugog, shto je fascinanto, jer golim okom deluju medjusobno nezavisni.
Namerno smo radili dokaz Gausovog zakon reciprociteta na ovaj nachin, jer nam pomazhe da se on interpretira kao specijalan sluchaj Artinovog zakona reciprociteta. On nas dalje vodi, preko $class field theory$, u Abelov deo Langlandsovog programa.

\subsection{Faktorizacija ideala u rashirenjima prstena celih}\label{ram}


Neka su $K$ i $L$ dva algebarska brojna polja, $L/K$ konachno
rashirenje, $O_K$ i $O_L$ prsteni celih (Dedekindovi domeni), i
$\frak p$ prost ideal u $O_K$. Tada je $\frak pO_L$ ideal u $O_L$,
koji ima jedinstvenu faktorizaciju po prostim idealima od $O_L$:

\begin{equation}\label{faktorizacija}
\frak pO_L=\frak p_1^{e_1}\frak p_2^{e_2}\dots \frak
p_r^{e_r},\end{equation}

\noindent pri chemu je $e_j\geq 1$. Za svaki par $\frak p_i$ i
$\frak p$ dobijamo rashirenje konachnih polja.


\begin{thm}
Neka je $L/K$ konachno rashirenje brojnih polja, i neka su
$\frak p\subseteq O_K$, $\frak P\subseteq O_L$ prosti ideali. Onda
su sledec1i uslovi ekvivalentni:

\begin{enumerate}
\item $\frak P|\frak pO_L$

\item $\frak P\supseteq \frak pO_L$

\item $\frak P\supseteq \frak p$

\item $\frak P\cap O_K=\frak p$

\item $\frak P\cap K=\frak p$.
\end{enumerate}
\end{thm}

$\triangle$
U Dedekindovom domenu, ideal $\frak a$ deli ideal $\frak b$ akko
$\frak a\supseteq \frak b$ (Lema 6.47), pa imamo da je
$1\Leftrightarrow 2$. Kako je $\frak P$ ideal prstena $O_L$, ako
sadrzhi $\frak p$, on sadrzhi i $\frak pO_L$, pa imamo
ekvivalenciju $2\Leftrightarrow 3$. Poshto je
$O_K=\overline{\lZ}\cap K$ (gde je $\lZ$ prsten
algebarskih celih u $\mathbb{C}$), i $\frak P\subseteq
O_L\subseteq \lZ$, to je $4\Leftrightarrow 5$. Implikacija
$4\Rightarrow 3$ je trivijalna. Pokazhimo da vazhi
$3\Rightarrow 4$. Imamo da je $\frak P\cap O_K$ ideal u $O_K$, iz
$3$ vidimo da taj ideal sadrzhi prost ideal $\frak p$. Kako je
$O_K$ Dedekindov domen, $\frak p$ je maksimalan, pa $\frak P\cap
O_K$ mozhe biti ili $\frak p$ ili $O_K$. Ako bi presek bio
jednak $O_K$, onda bi iz $1\in \frak P$ sledilo da je $\frak
P=O_L$, shto je kontradikcija.
$\square$

Sada c1emo uvesti par pojmova:

\begin{defi}
Ako je $\frak p$ prost ideal u prstenu celih $O_K$, $L/K$ konachno rashirenje brojnih polja, (\ref{faktorizacija})
faktorizacija ideala $\frak pO_L$, tada su stepeni $e_j=e_j(\frak
p_j|\frak p)$ \index{indeks ramifikacije} indeksi ramifikacije (grananja).\end{defi}

Dedekindov prost ideal je maksimalan, pa imamo

$$O_K\hookrightarrow O_L\rightarrow O_L/\frak p_j.$$

Poshto je $\frak p\subseteq \frak p_j$, to je $O_K/\frak
p\hookrightarrow O_L/\frak p_j$.

\begin{defi} Sa istim oznakama i pojmovima iz prethodne definicije, sa $f_j=f_j(\frak p_j|\frak p):=[O_L/\frak p_j:O_K/\frak p]$
obelezhavamo indeks inercije,\index{indeks inercije} za svaki par $(\frak p_j|\frak
p)$.
\end{defi}


\begin{defi}
Kazhemo da se prost ideal $\frak p$ ramifikuje u $O_L$ ako je
$e_j\geq 2$ za bar jedno $j$, da se potpuno ramifikuje u $O_L$ ako
je $\frak pO_L=\frak P^n$ (gde je $n=[L:K]$), da se potpuno cepa u
$O_L$ ako je $e_j=f_j=1$, za svako $j$, i da je inertan u $O_L$
ako je $\frak pO_L=\frak P$ prost ideal u $O_L$.
\end{defi}


\begin{defi} Za brojno polje $K$ i za ideal $\frak p\neq 0$ u prstenu
celih $O_K$, norma ideala $\frak p$ je: $N(\frak p)=[O_K:\frak
p]$. Po konvenciji, $N(0)=0$.
\end{defi}

Koristic1emo sledec1e tvrdjenje i teoremu, koja se lako
dokazuju (tvrdjenje 9.20 i teorema 9.21)


\begin{tvr} Neka je $K$ brojno polje, i $O_K$ njegov prsten celih. Za svako $\alpha \in O_K\setminus \{0\}$ vazhi

$$N(\alpha O_K)=|N(\alpha)|.$$
\end{tvr}

\begin{thm} Neka je $K$ brojno polje, i neka su $\frak a$ i
$\frak b$ ideali u prstenu celih $O_K$. Tada je

$$N(\frak a\cdot \frak b)=N(\frak a)N(\frak b).$$
\end{thm}

\begin{pri}
\textup{
Neka je $D\in \lZ$ beskvadratno i $K=\mathbb{Q}(\sqrt{D})$.
Neka je $p\in \lZ$ prost broj takav da je $(p,2D)=1$.
Pokazac1emo da ako je $\left(\frac{D}{p}\right)=1$, da se ideal
$p\lZ$ potpuno cepa u $O_K$, tj. da je
$$pO_K=\frak p_1\frak p_2,$$
\noindent za neke proste ideale $\frak p_1\neq \frak p_2$ chiji
su indeksi inercije $1$.}

\bigskip
\textup{
Naime, neka je $a\in \lZ$ reshenje kongruencije
$x^2\equiv D$ modulo $p$. Neka su tada
$$\frak p_1=\langle p,a+\sqrt{D}\rangle,$$
$$\frak p_2=\langle p,a-\sqrt{D}\rangle$$
\noindent ideali koji sadrzhe $pO_K$. Tada oni dele $pO_K$.
}

\textup{
Sa jedne strane,
$$\frak p_1\frak p_2=\langle p,a+\sqrt{D}\rangle \langle p,a-\sqrt{D}\rangle=\langle p^2,p(a+\sqrt{D}),p(a-\sqrt{D}),a^2-D\rangle\subseteq pO_K,$$
\noindent jer $p|a^2-D$, dok sa druge strane $\frak p_1\frak p_2$
sadrzhi i $p^2$ i $p(a+\sqrt{D})+p(a-\sqrt{D})=2ap$. Kako
$p\nmid D$, to $p\nmid a$, pa je $(p,2a)=1$, tj. postoje $u,v\in
\lZ$ takvi da je $pu+2av=1$, pa imamo da je $p=p^2u+2apv\in
\frak p_1\frak p_2$, pa imamo da je
$$pO_K=\frak p_1\frak p_2.$$
}

\textup{
Iz multiplikativnosti norme ideala imamo
$$N(\frak p_1)N(\frak p_2)=N(pO_K)=N_{K/\mathbb{Q}}(p)=p^2.$$
Recimo da je $N(\frak p_1)=p^2=N(pO_K)$. Tada je $\frak p_1=pO_K$,
odnosno da $p|a+\sqrt{D}$ u $O_K$, tj. da postoji $\alpha \in O_K$
takvo da je
$$a+\sqrt{D}=p\alpha .$$
\noindent Ako je $\sigma _2:K\rightarrow \mathbb{C}$ utapanje koje
slika $\sqrt{D}\mapsto -\sqrt{D}$, onda imamo da je
$$a-\sqrt{D}=\sigma _2(a+\sqrt{D})=\sigma
_2(p\alpha)=p\sigma_2(\alpha),$$
\noindent tj. $p|a-\sqrt{D}$. No, onda bi $p$ delilo i
$(a+\sqrt{D})+(a-\sqrt{D})=2a$, shto je nemoguc1e. Na isti nachin je nemoguc1e da bude $N(\frak p_2)=p^2$, pa su norme ova dva
ideala jednake $p$.\\
\indent Odavde vidimo da su ovi ideali prosti (imaju prostu normu), da je
$O_K/\frak p_i$ konachno polje sa $p$ elemenata, tj. $O_K/\frak
p_i\cong \lZ/p\lZ$, pa su indeksi inercije $f(\frak
p_i|p)=[O_K/\frak p_1\; :\; \lZ/p\lZ]=1$. Na kraju,
$\frak p_1\neq \frak p_2$, u suprotnom bismo imali, iz
$a-\sqrt{D}\in \langle p,a+\sqrt{D}\rangle$, da
$2a=(a-\sqrt{D})+(a-\sqrt{D})\in \langle p,a+\sqrt{D}\rangle$, a
zatim da je
$$O_K=\langle 1\rangle =\langle p,2a\rangle \subseteq \langle p,a+\sqrt{D}\rangle=\frak p_1\varsubsetneq O_K,$$
\noindent shto je kontradikcija.}
\end{pri}

\begin{pri}
\textup{
Neka su $D$, $K$ i $p$ kao u prethodnom primeru, osim shto je
$\left(\frac{D}{p}\right)=-1$. Tada c1e ideal
$$\frak p=pO_K$$
\noindent biti prost u $O_K$, indeksa inercije $f(\frak p|p)=2$
(prost ideal $p\lZ$ ostaje inertan u kvadratnom rashirenju $K/\mathbb{Q}$).
\bigskip
Prvo, $N(pO_K)=N_{K/\mathbb{Q}}(p)=p^2$, pa ako neki prost ideal
$\frak p|O_K$, mora biti $N(\frak p)\in \{ p,p^2\}$. Ako je
$N(\frak p)=p^2=N(pO_K)$, mora biti $\frak p=pO_K$, odakle je
$O_K/\frak p$ konachno polje sa $p^2$ elemenata, pa je indeks
inercije
$$f(\frak p|p)=[O_K/\frak p\; :\; \lZ/p\lZ]=2.$$
\indent Ostaje josh da pokazhemo da za bilo koji prost ideal $\frak
p\subseteq O_K$ ne mozhe biti $N(\frak p)=p$, za prosto $p$ za
koje je $\left(\frac{D}{p}\right)=-1$. Prost ideal $\frak p$ je i
maksimalan u $O_K$ (jer je $O_K$ Dedekindov domen), pa je
$O_K/\frak p$ polje. Dovoljno je pokazati da $O_K/\frak p$ nije
izomorfno polju $\lZ/p\lZ$. Medjutim, polinom
$X^2-D$ ima koren u $O_K$, pa i u $O_K/\frak p$, a poshto je
$\left(\frac{D}{p}\right)=-1$, to dati polinom nema koren u
$\lZ/p\lZ$, pa ova dva polja nisu izomorfna.}
\end{pri}

\begin{pri}
\textup{
Neka su $D,K,p$ isti kao u prethodna dva primera, osim shto sada
$p|D$, tj. $\left(\frac{D}{p}\right)=0$. Tada je
$$pO_K=\frak p^2,$$
\noindent za neki prost ideal $\frak p$ (kazhemo da se
$p\lZ$ ramifikuje u kvadratnom rashirenju
$K/\mathbb{Q}$).
\bigskip
 Neka je $\frak p=\langle p,\sqrt{D}\rangle$ ideal u $O_K$. Tada je
$$\frak p^2=\langle ep,\sqrt{D}\rangle =\langle p^2,p\sqrt{D},D\rangle \subseteq pO_K,$$
\noindent jer $p|D$, dok sa druge strane, iz $p^2,D\in \frak p^2$,
kao u prvom primeru, vidimo da $(p^2,D)\in \frak p^2$. Medjutim,
$(p^2,D)=p$, jer je $D$ beskvadratan, pa dobijamo da $p\in \frak
p^2$, a time i $pO_K\subseteq \frak p^2$.
\indent Kako je $pO_K=\frak p^2$, to je $N(\frak p)^2=N(pO_K)=p^2$, tj.
$N(\frak p)=p$, pa kako je $p$ racionalan prost broj, $\frak p$
mora biti prost ideal indeksa inercije $f(\frak p|p)=1$.}
\end{pri}

\begin{tvr}\label{tvr1124}
Neka je $K/\mathbb{Q}$ konachno rashirenje brojnih polja
stepena $n$, $p\lZ\subseteq \lZ$ prost ideal, i
$pO_K=\frak p_1^{e_1}\dots \frak p_r^{e_r}$. Tada vazhi

$$\sum_{j=1}^re_jf_j=[K:\mathbb{Q}]$$
\end{tvr}

$\triangle$
Poshto je norma ideala multiplikativna , imamo da je

$$N(pO_K)=N(\frak p_1^{e_1}\dots \frak p_r^{e_r})=N(\frak p_1)^{e_1}\dots N(\frak p_r)^{e_r}.$$

\noindent Za proizvoljno $\alpha \in O_K$ vazhi $N(\alpha
O_K)=|N(\alpha)|$, pa imamo da je leva strana jednaka

$$N(pO_K)=|N_{K/\mathbb{Q}}(p)|=|\sigma_1(p)\dots \sigma_n(p)|=p^n.$$

\noindent Poshto je $N(\frak p_j)=|O_K/\frak p_j|$, i poshto
je $O_K/\frak p_j$ vektorski prostor nad $\lZ/p\lZ$
dimenzije $f_j$, to je desna strana jednaka

$$p^{f_1e_1+\dots f_re_r}.$$

\noindent Kada izjednachimo koeficijente sa obe strane, dobijamo

$$\sum_{j=1}^re_jf_j=n.$$
$\square$

Indeksi imaju ogranichenja, $f$ mozhe biti najvishe $n$. Za
Galuaova rashirenja vazhi da je $e_j=e$ i $f_j=f$ za svako
$j$, i da je $ref=n$.

\begin{defi}
Prost ideal $p\lZ$ se potpuno cepa u $O_K$ ako $e_j=f_j=1$,
za sve $j=1,2,\dots ,r$.
\end{defi}

\newpage
\setcounter{equation}{0}
\section{Nastavak\ldots (Jelena Jelisavchic1)}

\subsection{Cepanje prostih ideala u $\lO_m$}
Do daljnjeg $p$ oznachava prost broj.
\begin{lem}\label{lema1211}
Ako su $m$ i $n$ prirodni brojevi takvi da $p\nmid m$ i $p^n\equiv 1({\rm mod}\; m)$, onda za svaki $w\in \lO_m$ vazhi $w^{p^n}\equiv w({\rm mod}\; p\lO_m)$.
\end{lem}
$\triangle$
Dokaz je jednostavna kombinacija nekih prethodnih lema:
\\$\triangle$
Znamo iz \ref{tvr1021} da svaki $w\in \lO_m$ postoji $a_j\in\lZ$ tako da je $w\equiv\sum_{j=0}^{\varphi(m)-1}a_j\zeta^j({\rm mod}\; p\lO_m)$.

$$w^p=(\sum_{j=0}^{\varphi (m)-1} a_j\zeta ^{j})^p \equiv \sum_{j=0}^{\varphi(m)-1}a_j^p\zeta^{pj}\overset{\text{(MFT)}}{\equiv} \sum_{j=0}^{\varphi(m)-1}a_j\zeta^{pj}({\rm {\rm mod}\;}\;p\lO_m)$$

\noindent Ponovnim stepenovanjem na $p$ lako se dobijaju sledec1e jednakosti:
 $$w^{p^2}\equiv \ldots \equiv \sum_{j=0}^{\varphi(m)-1}a_j\zeta^{p^2 j}({\rm mod}\; p\lO_m)
$$
$$\ldots$$
$$\ldots$$

$$ w^{p^n}\equiv \ldots \equiv \sum_{j=0}^{\varphi(m)-1}a_j\zeta ^{p^n j}= \sum_{j=0}^{\varphi(m)-1}a_j(\zeta ^{p^n})j\overset{(p^n\equiv _m 1)}{\equiv} \sum_{j=0}^{\varphi(m)-1}a_j\zeta ^j=w ({\rm mod}\; p\lO_m)  $$ .
$\square$
\begin{lem}\label{lema1212}
Ako $p\nmid m$, tada je svaki prost ideal $\frak p \subseteq \lO_m$ koji sadrzhi $p$ (to jest lezhi iznad ideala $p\lZ$) neramifikovan.
\end{lem}

\begin{center}


	\begin{tikzpicture}
	\node (A) at (-1,0) {$\frak p_1$};
	\node (B) at (0,0) {$\frak p_2$};
	\node (C) at (1,0) {$\ldots$};
	\node (D) at (2,0) {$\frak p_r$};
	\node (E) at (0,-2) {$p\lZ$};
\node (F) at (7,-1) {$p\lO_m=\frak p_1 ^{e_1}\frak p_2 ^{e_2}\ldots\frak p_r ^{e_r} $};
	\draw (A) -- (E);
	\draw (B) -- (E);
	\draw (D) -- (E);
	\end{tikzpicture}
\end{center}
 Nashe tvrdjenje zapravo kazhe da je $e_1 = e_2 = \ldots = e_r = 1$.
\\$\triangle$
\\Pretpostavimo suprotno, $\frak p$ je ramifikovan, to jest postoji $e_j\geq 2$. Mozhemo bez umanjenja opshtosti posmatrati $e_1\geq 2$.
Dakle $\frak p ^2\mid p\lO_m$, tj. $p\lO_m\subseteq{\frak p_1}^2\subsetneq\frak p _1$. Setimo se da je $p\lO_m$ jedan glavni ideal, dok je $\frak p _1$ prost ideal. Kako je potonji prost, to psosoji $w\in\frak p_1\backslash {\frak p_1}^2$. Primenimo prethodnu lemu za taj element $w$:
\\Neka je $n\in\mathbb{N}$ takav da je $p^n\equiv 1({\rm mod}\; m)$. Takav postoji jer je $(p,m)=1$. Onda je $w^{p^n}\equiv w ({\rm mod}\; p\lO_m)$ odakle imamo i $w^{p^n}\equiv w ({\rm mod}\; {\frak p_1}^2)$. Medjutim, kako je $p^n\geq 2$, to je $w^{p^n}$ deljivo sa $w^2$.
$$w^2\in {\frak p_1}^2 \text{i } w^{p^n -2}\in\lO_m \Rightarrow w^2w^{p^n -2}\in {\frak p_1}^2 \Rightarrow w \text{ zhivi u }{\frak p_1}^2$$,
shto je kontradikcija sa izborom elementa $w$.
$\square$
\begin{lem}\label{lema1213}
  Ako je $\frak p$ prost ideal u $\lO_m$ koji sadrzhi $p$ (tj zhivi iznad $p\lZ$), onda je $\sigma _p(\frak p)=\frak p$.
\end{lem}
$\triangle$
\\Za svako $w\in\frak p$ vazhi $\sigma _p(w)\equiv w^p {\rm mod}\; p\lO_m)$. I josh vazhi $\frak p\mid p\lO_m \text{ akko }p\lO_m\subseteq\frak p$, te imamo da je $\sigma _p(w)\equiv w^p {\rm mod}\; \frak p)\equiv 0 {\rm mod}\; \frak p)$ (kao shto iz $x\equiv 1{\rm mod}\; 20)\Rightarrow x\equiv 1{\rm mod}\; 4)$). Odavde vidimo da je $\sigma _p(w)\in\frak p$ za sve $w\in\frak p$, te je $\sigma _p(\frak p)\in\frak p$. (Vizuelno, $\sigma _p$ ih pomera unutra $\frak p$, kao dejstvo.)
\\Medjutim, $\sigma _p$ je automorfizam polja, te je injektivan, odakle imamo obrnutu nejednakost za trazhenu jednakost $\sigma _p(\frak p)=\frak p$.
Napomenimo josh da je $\frak p$ maksimalan jer su u prstenima celih svi prosti ujedno i maksimalni.
\\$\square$
\par
Dolazimo do krunske teoreme ovog dela, koja opisuje cepanje ideala prstena celih u ciklotomichnim poljima.

\begin{thm}
Neka $p\nmid m$ i neka su:
$$f:=\text{ red koseta }[p] \text{ u multiplikativnoj grupi } (\lZ \slash m\lZ)^{\times} \text{,}$$ i
$$\lO_m\subseteq\mathbb{Q}(\zeta _m)\text{ prsten celih u $m$-tom ciklotomichnom polju}\text{.}$$
Onda postoji sledec1a faktorizacija u $\lO_m$:
$$p\lO_m=\frak p_1\frak p_2\ldots\frak p_r\text{,}$$ gde je $r=\frac{\varphi(m)}{f}$ (red elementa deli red grupe), i $\frak p_i\neq\frak p_j$ za sve $i\neq j$, i josh, svi ideali $\frak p_j$ su stepena $f$ (tj. $N(\frak p_j)=[\lO_m:\frak p_j]=p^f$).
\end{thm}
Ekvivalentno, kako su $\frak p_j$ prosti u $\lO_m$, te samim tim i maksimalni, onda je $\lO_m\slash\frak p_j$ jedno polje, te teorema kazhe da je stepen sledec1eg rashirenja jednak $f$:
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\node (A) at (0,1) {$\lO_m\slash\frak p_j$};
	\node (B) at (0,0) {$F_p=\lZ\slash p\lZ$};
	\draw (A) -- (B);
	\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{pri}
  Posmatrajmo $m=17$ i $p=2\nmid m$.
\end{pri}
$\lO_{17}\subseteq\mathbb{Q}(\zeta _{17})$, $\varphi(17)=16$, $(\lZ \slash 17\lZ)^{\times}$ je ciklichna grupa reda 16. U ovoj grupi red koseta $[2]$ je $f=8$. $r=\frac{\varphi(17)}{f}=\frac{16}{8}=2$. Sada znamo da se $2\lO_{17}$ faktorishe na dva prosta ideala, oba stepena $8$.
\begin{pri}
Neka je sada  i dalje $m=17$, ali $p=3\nmid m$.
\end{pri}
 $f=16$, $r=1$ te je $3\lO_{17}$ prost ideal stepena $16$. Kazhe se da je $3$ \textbf{inertan} $\mathbb{Q}(\zeta _{17})\slash\mathbb{Q}$.
 \begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\node (A) at (0,2) {$<3>_{\lO_m}$};
	\node (B) at (0,0) {$<3>_{\lZ}$};
	\node (C) at (0,1) {\rotatebox{90}{$\subseteq$}};
	\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{pri}
 $m=17$, ali $p=13\nmid m$.
\end{pri}
$[13]$ je reda $4$, $f=4$, $r=\frac{16}{4}-4$.
$$13\lO_{17}=\frak p_1\frak p_2\frak p_3\frak p_4\text{.}$$
\par \textbf{Primedba} U Teoriji brojeva imamo i kako se dobijaju generatori ovih ideala, ali chesto nam je dovoljan samo ovaj oblik.
\textbf{Primedba } Videli smo samo sluchaj $p\nmid m$, za $p\mid m$ josh uvek nemamo sliku kako se ponasha.
\begin{pri}
 $m=17$,  $p=103\nmid m$.
\end{pri}
$[103]$ je reda $f=1$, dakle $r=16$.
$$103\lO_{17}=\frak p_1\frak p_2\ldots\frak p_16\text{, cepa se na 16 prostih ideala, svaki je stepena $1$.}$$
Videli smo u \ref{tvr1021} da je $\sum_{k=1}^{r}e_rf_r=n=\varphi(m)$. U ovom primeru je $\sum_{k=1}^{r}f_r=16$, to jest $rf=16$.
Kazhe se tada da se $103$ \textbf{ potpuno cepa}, jer se cepa na maksimalan moguc1i broj prostih ideala.
\begin{pri}
$[101]$ je reda $f=2$, dakle $r=\frac{16}{2}=8$.
\end{pri}
\begin{lem}\label{lema1214}
$p=13\nmid m$, neka je $\frak P\subseteq\lO_m$ ideal koji sadrzhi $p$, tj. sadrzhi $p\lZ$. Onda su koseti elemenata $1\text{, }\zeta\text{, }\text{, }\zeta ^2\text{, }\ldots\text{, }\zeta ^{m-1}$ u $\lO_m\slash\frak p$ svi medjusobno razlichiti.
\end{lem}
\begin{posl}\label{posl1211} Ako je $f$ stepen ideala $\frak p$, odnosno $p^f=|\lO_m\slash\frak p|$ , to je $p^f-1$ red multiplikativne grupe $(\lO_m\slash\frak p)^{\times}$. Kako red elementa deli red grupe, i $<\zeta>\leq(\lO_m\slash\frak p)^{\times}$ , imamo $m\mid p^f-1$, to jest $p^f\equiv 1({\rm {\rm mod}\;}\;m)$.
\end{posl}
\par $\triangle$
Podjimo od polinoma $$X^m-1=(X-1)(X-\zeta)(X-\zeta ^2)\ldots(X-\zeta ^{m-1})\text{. Ova faktorizacija je faktorizacija u $\mathbb{|}[X]$.}$$ Deljenjem sa $(X-1)$ dobijamo: $$X^{m-1}+X^{m-2}+\ldots+X+1=(X-\zeta ^2)\ldots(X-\zeta ^{m-1})\text{.}$$
Za $X=1$ dobijamo sledec1u jednakost, koja je i jednakost u $\lO_m$: $$m = \prod_{j=1}^{m-1}(1-\zeta ^j)\text{.}$$
Posmatrajmo sada shta se dogadja po ${\rm {\rm mod}\;}\;p$. Oznachimo sa $\overline{w}$ koset elementa $w\in\lO_m$, $\overline{w}$ zhivi u $w\in\lO_m\slash\frak p$. Kako je koset proizvoda elemenata jednak proizvodu odgovarajuc1ih koseta, to je, rachunato u $\lO_m\slash\frak p$:
$$\overline{m}=\prod_{j=1}^{m-1}(\overline{1-\zeta ^j})=\prod_{j=1}^{m-1}(\overline{1}-\overline{\zeta} ^j)\text{.}$$
$p\nmid m\Rightarrow\overline{m}\neq\overline{0}$ u $\lO_m \Rightarrow$ svi chinioci su razlichiti od nule: $\overline{1}-\overline{\zeta} ^j\neq 0, \forall j\in\overline{1,m-1}$, odnosno $\overline{1}\neq\overline{\zeta} ^j ,\forall j\in\overline{1,m-1}$

$\square$
\newpage \textbf{Dokaz teoreme:}
\par $\triangle$
Sada nam se sve sklopilo da dokazhemo nashu krunsku teoremu.
\par Znamo iz $\ref{posl724}$ da je $\lQ(\zeta_m)\slash\lQ$ stepena $\varphi(m)$ i da je $Gal(\lQ(\zeta_m)\slash\lQ)\cong (\lZ/m\mathbb{Z})^{\times}$. Iz teoreme Gaus-Dedekind videli smo da se pri ovoj korespodenciji jedni drugima pridruzhuju koseti $[p]$ i Frobenijusovi automorfizmi $\sigma_p$. Kako je $[p]$ reda $f$, to je onda i red od $\sigma_p$ u $Gal(\lQ(\zeta_m)|\lQ)$.
\par Neka je $w\in\lO_m$ proizvoljan element ciklotomichnog polja. Tada je $(\sigma_p(w))^f=\sigma_p^f(w)=\mathbb{Id}(w)=w$.
$$\ref{lema1211} \Rightarrow \sigma_p^f(w)\equiv w^{p^f}\equiv w ({\rm {\rm mod}\;}\;\frak p_1)$$
Iz $\ref{lema1212}$ imamo $p\lZ=\frak p_1\frak p_2\ldots\frak p_r$. Posmatrajmo bez umanjenja opshtosti stepen $f_1$ ideala $\frak p_1$. $p^{f_1}=|\lO_m\slash\frak p_1|$. Ovo poslednje je polje, i to konachno, te primenom Ojlerove teoreme dobijamo $w^{p^{f_1}-1}=w^{|\lO_m\slash\frak p_1|}\equiv 1({\rm {\rm mod}\;}\;\frak p_1)$. Iz definicije, $f_1$ je najmanji koji zadovoljava poslednju kongruenciju, te, kako smo vec1 videli da vazhi $w^{p^f}\equiv w ({\rm {\rm mod}\;}\;\frak p_1$, imamo i da je $f_1\leq f$.
\par Dokazhimo sada obrnutu nejednakost, $f \leq f_1$.
Ako $w=\zeta$ onda imamo $\zeta ^{p^{f_1}}\equiv\zeta({\rm {\rm mod}\;}\;\frak p_1)$, odnosno koseti od $\zeta ^{p^{f_1}}$ i $\zeta$ su isti u $\lO_m\slash\frak p_1$. Podelimo $p^{f_1}$ sa $m$: $p^{f_1}=mk+s$.
$$\overline\zeta^{p^{f_1}}=\overline{\zeta ^{mk+s}}=\overline{(\zeta ^m)^k\zeta ^s}=\overline{\zeta ^s}=\overline{\zeta}\text{.}$$
$$\text{\ref{posl1211}} \Rightarrow s=1\text{, tj. }p^{f_1}=mk+1\text{, tj. }p^{f_1}\equiv1({\rm {\rm mod}\;}\;m)\text{, a poslednje je bash }|\lO_m\slash\frak p_1|\text{.}$$
Kako red elementa deli red grupe, to mora biti $f\mid f_1$, te je $f\leq f_1$.
\par Dobili smo da je stepen od $\frak p_1$ bash jednak $f$. Izabrali smo $\frak p_1$ nasumichno, isti argument vazhi za proizvoljan $\frak p_j$, te je $f_1 = f_2 = \ldots = f_r=f$. Iz $\ref{lema1212}$ imamo da je i $e_1 = e_2 = \ldots = e_r = 1$.
$$\ref{tvr1124} \Rightarrow \varphi(m) = [\lQ(\zeta_m\slash\lQ)] = \sum_{k=1}^{\varphi(m)}e_kf_k = r  1  f \Rightarrow r=\frac{\varphi(m)}{f}\text{.}$$
$\square$

\section{Cepanje ideala [dodatak], grupe dekompozicije i inercije, Frobenijusov automorfizam, Chebotareva teorema  (Natasha Dobrijevic1)}
\subsection{Cepanje ideala [dodatak]}

Posmatrajmo konachna rashirenja algebarskih brojnih polja  i odgovarajuc1e prstene celih:

 \hspace{6cm}\begin{tikzpicture}
    \node (A) at (0,0) {$\L$};
    \node (B) at (1,0) {$\supseteq$};
    \node (C) at (2,0) {$O_L$};
    \node (D) at (0,-1.5) {$K$};
    \node (E) at (1,-1.5) {$\supseteq$};
    \node (F) at (2,-1.5) {$O_K$};
    \node (G) at (0,-3) {$\mathbb{Q}$};
    \node (I) at (1,-3) {$\supseteq$};
    \node (J) at (2,-3) {$\mathbb{Z}$};
    \draw (A) -- (D);
    \draw (D) -- (G);
    \draw (C) -- (F);
    \draw (F) -- (J);

\end{tikzpicture}

Neka je $L/K$ Galuaovo rashirenje i $G:=Gal(L/K)$ odgovarajuc1a Galuaova grupa.
Pokazali smo da $G\circlearrowright L$ i da $G\circlearrowright O_L$. \ref{nap921}\\
Neka je $\alpha\in L$ proizvoljan element, a $m(X)$ minimalan polinom za $\alpha$ nad poljem $K$. Kako je $m(\alpha)=0$, svi $\sigma(\alpha)$ se nalaze u prstenu celih $O_L$ tj. za svako $\sigma\in G$ vazhi:

$$0=\sigma(m(\alpha))=m(\sigma(\alpha)).$$

Vazhi i obrnuto.
$$\sigma^{-1}(O_L)\subseteq O_L \Leftrightarrow O_L\subseteq\sigma(O_L)$$
tj.
$$\sigma(O_L)=O_L,\hspace{0.1cm}\forall\sigma\in G$$

\begin{tvr}
Neka je $\mathfrak{P}\in O_L$ prost ideal koji lezhi nad prostim idealom $\mathfrak{p}\in O_K$ tj. $\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}O_L$.
Tada za svako $\sigma\in G$ vazhi:

\begin{enumerate}
    \item $\sigma(\mathfrak{P})$ je ideal u prstenu celih $O_L$,
    \item  $\sigma(\mathfrak{P})$ je prost.
\end{enumerate}

$\triangle$
 \hspace{6cm}\begin{tikzpicture}
    \node (A) at (0,0) {$\mathfrak{P}$};
    \node (B) at (1,0) {$\subseteq$};
    \node (C) at (2,0) {$O_L$};
    \node (D) at (0,-1.5) {$\mathfrak{p}$};
    \node (E) at (1,-1.5) {$\subseteq$};
    \node (F) at (2,-1.5) {$O_K$};
    \draw (A) -- (D);
    \draw (C) -- (F);

\end{tikzpicture}
\end{tvr}


\begin{enumerate}
    \item Neka su $\sigma(\alpha)\in\sigma(\mathfrak{P})$ (tj. $\alpha\in\mathfrak{P}$) i $\beta\in O_L$ proizvoljni elementi. Kako je $\sigma$ surjektivan, postoji $\beta_1\in\mathfrak{P}$ tako da $\beta=\sigma(\beta_1)$. Tada vazhi:
    $$\sigma(\alpha)\cdot\beta=\sigma(\alpha)\cdot\sigma(\beta_1)=\sigma(\alpha\cdot\beta_1)\in\sigma(\mathfrak{P}),$$ pa odatle sledi da je $\sigma(\mathfrak{P})$ zaista ideal.
    \item Neka su $\alpha,\beta\in O_L$
 proizvolnji elementi tako da $\alpha\cdot\beta\in\sigma(\mathfrak{P})$. Iz surjektivnosti $\sigma$ sledi da postoje elementi $\alpha_1, \beta_1\in \mathfrak{P}$ tako da $\sigma(\alpha_1)=\alpha$ i $\sigma(\beta_1)=\beta.$
 $$\Rightarrow\sigma(\alpha_1)\cdot\sigma(\beta_1)\in\sigma(\mathfrak{P})$$
 $$\Rightarrow\sigma(\alpha_1\cdot\beta_1)\in\sigma(\mathfrak{P})$$
 $$\Rightarrow\alpha_1\cdot\beta_1\in\mathfrak{P}$$
 Kako je $\mathfrak{P}$ prost, jedan od $\alpha_1,\beta_1\in\mathfrak{P}$. Bez umanjenja opshtosti neka $\alpha_1\in\mathfrak{P}\Rightarrow\alpha\in\sigma(\mathfrak{P})$.\hfill$\square$

 \end{enumerate}

\begin{posl}
Za svako $\sigma\in G$, $\sigma(\mathfrak{P})$ je prost ideal u $O_L$ koji takodje lezhi nad $\mathfrak{p}\in O_K.$
\end{posl}

$$\sigma(\mathfrak{P})\cap O_K=\sigma(\mathfrak{P})\cap\sigma(O_K)=\sigma(\mathfrak{P}\cap O_K)=\sigma(\mathfrak{p})=\mathfrak{p}$$

\begin{tvr}
Ako je
$\{\mathfrak{P}_1,\mathfrak{P}_2,\dots,\mathfrak{P}_r\}$ skup svih prostih ideala koji lezhe nad prostim elementom  $\mathfrak{p}\in O_K$ i vazhi \ref{ram}: $$\mathfrak{p}O=\mathfrak{P}_1^{e_1}\cdot\mathfrak{P}_2^{e_2}\cdot\dots\cdot\mathfrak{P}_r^{e_r},$$
 tada Galuaova grupa $G$ dejstvuje na $\{\mathfrak{P}_1,\mathfrak{P}_2,\dots,\mathfrak{P}_r\}$ tj. $ G\circlearrowright\{\mathfrak{P}_1,\mathfrak{P}_2,\dots,\mathfrak{P}_r\}.$

\end{tvr}

 \begin{tvr}
 Dejstvo $ G\circlearrowright\{\mathfrak{P}_1,\mathfrak{P}_2,\dots,\mathfrak{P}_r\}$ je tranzitivno.\hfill$(1)$
 \end{tvr}
 $\triangle$
 Neka su $\mathfrak{P}\neq\mathfrak{P}'\in O_L$ dva proizvoljna, prosta ideala koja lezhe nad prostim elementom $\mathfrak{p}\in O_K.$

 \hspace{6cm}\begin{tikzpicture}
    \node (A) at (0,0) {$\mathfrak{P}$};
    \node (B) at (0.5,0) {$\neq$};
    \node (C) at (1,0) {$\mathfrak{P}'$};
    \node (D) at (0.5,-2) {$\mathfrak{p}$};
    \node (F) at (1.5,-2) {$\subseteq$};
    \node (G) at (1.5,0) {$\subseteq$};
    \node (H) at (2,-2) {$O_K$};
    \node (H) at (2,0) {$O_L$};
    \draw (A) -- (D);
    \draw (C) -- (D);

\end{tikzpicture}

Pretpostavimo suprotno, da za svako $\sigma\in G$ vazhi $\sigma(\mathfrak{P})\neq\mathfrak{P}'.$
Po Kineskoj teoremi o ostacima\footnote{{\label{note1}}Kineska teorema o ostacima govori o reshenju sistema linearnih kongruencija sa jednom nepoznatom. Iako je poseban sluchaj Kineske teoreme o ostacima naveo kineski matematichar i astronom $Sun\hspace{0,1cm}Tzu$ u 3. veku nove ere, opshte reshenje je 1247. godine objavio $Ch'in\hspace{0.1cm}Chiu-shao$ .
} postoji $\alpha\in O_L$ koje reshava sledec1i sistem kongruencija:

$$\begin{cases}
\alpha \equiv\ 0&  (mod\hspace{0.3cm}\mathfrak{P}')\\
\alpha \equiv\ 1 &(mod\hspace{0.3cm} \sigma(\mathfrak{P}))\hspace{0.3cm}\forall\sigma\in G.
\end{cases}$$

Iz prve kongruencije sledi da norma $N_{L/K}(\alpha)=\prod\limits_{\sigma\in G}\sigma(\alpha)=\alpha\cdot\prod\limits_{\sigma\neq id}\sigma(\alpha)\in\mathfrak{P'},$\hfill $(2)$\\
a iz druge, specijalno, $\alpha\notin\sigma(\mathfrak{P})
\Longrightarrow\sigma^{-1}(\alpha)\notin\mathfrak{P},\hspace{0.3cm}\forall\sigma\in G.$\\
\\Kako je $\mathfrak{P}$ prost, vazhi:
$$N_{L/K}(\alpha)=\prod\limits_{\sigma\in G}\sigma(\alpha)=\prod\limits_{\sigma\in G}\sigma^{-1}(\alpha)\notin\mathfrak{P}.$$
Iz $(2)$ sledi da
$$N_{L/K}(\alpha)\in\mathfrak{P}'\Longrightarrow N_{L/K}(\alpha)\in\mathfrak{P}'\cap O_K=\mathfrak{p}\subseteq\mathfrak{P}$$
tj. dobili smo da $N_{L/K}(\alpha)\in\mathfrak{P}$ i $N_{L/K}(\alpha)\notin\mathfrak{P}$, shto daje kontradikciju, pa je dejstvo\\ tranzitivno.$\hfill\square$

\begin{tvr}
Neka su zadrzhane sve prethodne oznake. Ako je $L/K$ Galuaovo rashirenje, onda za indekse ramifikacije $e_i$ i indekse inercije $f_i$ vazhi:
$$e_1=e_2=\dots=e_r=e$$
$$f_1=f_2=\dots=f_r=f$$
i vazhi \hypertarget{label}{$e\cdot f\cdot r=[L:K]$.}
\end{tvr}

$\triangle$
Uochimo faktorizaciju $\mathfrak{p}O_L=\mathfrak{P}_1^{e_1}\cdot\mathfrak{P}_2^{e_2}\dots\mathfrak{P}_r^{e_r}$.\ref{ram}\hfill$(3)$
\\Kako je dejstvo $(1)$ tranzitivno, postoji neko $\sigma\in G$ tako da  $\mathfrak{P_j}=\sigma(\mathfrak{P_1})$.\\
Primenom $\sigma$ na $(3)$:
$$\mathfrak{p}O_L=\sigma(\mathfrak{p})\cdot\sigma(O_L)=\sigma(\mathfrak{p}\cdot O_L)\overset{(3)}{=}\sigma(\mathfrak{P_1})^{e_1}\cdots\sigma(\mathfrak{P_j})^{e_j}\cdots\sigma(\mathfrak{P_r})^{e_r}=\mathfrak{P_j}^{e_1}\cdots\mathfrak{P_1}^{e_j}\cdots\sigma(\mathfrak{P_r})^{e_r},$$
Zbog jedinstvenosti faktorizacije ideala u Dedekindovim domenima, vazhi $e_1=e_j$, pa to vazhi za svako $j\geq2.$\\

Neka je $p$ prost ideal u $\mathbb{Z}$, gde vazhi $p\mathbb{Z}=\mathfrak{p}\cap\mathbb{Z}$. Obelezhimo sa $l:=O_L/\mathfrak{P}$ i sa $k:=O_K/\mathfrak{p}$, tada je rashirenje $l/k$ konachno rashirenje konachnih polja karakteristike $p$.

 \hspace{6cm}\begin{tikzpicture}
    \node (A) at (0,0) {$O_L/\mathfrak{P}$};
    \node (D) at (0,-2) {$O_K/\mathfrak{p}$};
    \draw (A) -- (D) node[midway,right] {stepen rashirenja $f$};


\end{tikzpicture}

Dakle, $f=f(\mathfrak{P}/\mathfrak{p})=[l/k]$.
Ako je $f_1=f(\mathfrak{P_1}/\mathfrak{p})$ i $f_j=f(\mathfrak{P_1}/\mathfrak{p})$, tada $\sigma$ indukuje izomorfizam:

\hspace{3cm}\begin{tikzpicture}
    \node (A) at (0,0) {$O_L/\mathfrak{P_1}$};
    \node (B) at (4,-0) {$\sigma(O_L)/\sigma(\mathfrak{P_1})$};
    \node (C) at (8,-0) {$O_L/\mathfrak{P_j}$};
    \draw[->] (A) -- (B) ;
    \draw [->](B) -- (C);
\end{tikzpicture}

Kako su rashirenja izomorfna, sledi da je $f_1=f_j.$
Direktno iz tvrdjenja \ref{11.2.4.} sledi $[L:K]=e\cdot f\cdot r.$\hfill$\square$

\subsection{Grupa dekompozicije i grupa inercije}

\begin{nap}
U ovom delu primenjujemo rezultate dokazane u delu o ramifikaciji, ali se bavimo iskljuchivo brojnim poljima.
\end{nap}

\begin{defi}\index{grupa dekompozicije}

Neka je $L/K$ konachno Galuaovo rashirenje brojnih polja i neka je $\mathfrak{P}$ prost ideal u $O_L$ koji lezhi nad prostim idealom $\mathfrak{p}$ iz $ O_K.$
Definishemo $\textbf{grupu dekompozicije}$ ideala $\mathfrak{P}$ kao:
$$D_{\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}}:=\{\sigma\in Gal(L/K)\mid
 \sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}.$$

\end{defi}
Uzimajuc1i u obzir tranzitivnost dejstva grupe $G=Gal(L/K)$ na skup prostih ideala iz $O_L$ koji lezhe nad $\mathfrak{p}$,  mozhemo zakljuchiti da je
$$D_\mathfrak{P}=Stab(\mathfrak{P})\leqslant G.$$

Ako je broj elemenata u jednoj orbiti $r$, tada je na osnovu Teoreme o orbiti i stabilizatoru i tvrdjenja \hyperlink{label}{13.1.5}:
$$r=\hspace{0.1cm}\mid G : D_\mathfrak{P}\mid= [L : K]/\mid D_\mathfrak{P}\mid = efr/\mid D_\mathfrak{P}\mid$$
tj.
$$\mid D_\mathfrak{P}\mid = \frac{efr}{r} = ef.$$

\hspace{6cm}\begin{tikzpicture}
    \node (A) at (0,0) {$O_L$};
    \node (B) at (2,0) {$O_L/\mathfrak{P}$};
    \node (C) at (0,-2) {$O_K$};
    \node (D) at (2,-2) {$O_K/\mathfrak{p}$};
    \node (E) at (3,0) {$:=$};
    \node (F) at (3,-2) {$:=$};
    \node (G) at (4,0) {$l$};
    \node (H) at (4,-2) {$k$};
    \draw[->>] (A) -- (B);
    \draw[->>] (C) -- (D);
    \draw (A) -- (C);
    \draw (B) -- (D);

\end{tikzpicture}

\begin{nap}\
Svaki automorfizam $\sigma\in D_\mathfrak{P}$ indukuje automorfizam $\overline{\sigma}\in Gal(l/k)$
na prirodan nachin.
\end{nap}
Ako je $\overline{x}=x+\mathfrak{P}$ jedan predstavnik klase u $l$, jasno je da c1e
$$\overline{\sigma}(\overline{x}):= \sigma(x)+\mathfrak{P}$$ biti homomorfizam grupa.
\newline Za $x,x' \in O_L$ izabrane tako da $x+\mathfrak{P}=x'+\mathfrak{P}=\overline{x}$, vazhi:
$$x-x'\in \mathfrak{P}\hspace{0.1cm}/\sigma$$
$$\sigma(x)-\sigma(x')\in \sigma(\mathfrak{P})$$
$$\sigma(x-x')\in\sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}.$$
Kako $\sigma\in D_\mathfrak{P}$, sledi dobra definisanost.


\begin{thm}
Homomorfizam $\varphi: D_\mathfrak{P}\to Gal(l/k)$ koji slika $\sigma \mapsto \overline{\sigma}$ je surjektivan.
\end{thm}
$\triangle$\hspace{1cm}
Kako je $l/k$ konachno rashirenje konachnih polja, ono je separabilno. Na osnovu Teoreme  o primitivnom elementu postoji $\overline{\alpha}\in l=O_L/\mathfrak{P}$, takav da $l=k[\overline{\alpha}]$ tj. svaki $k-$automorfizam polja $l$ je odredjen slikom od $\overline{\alpha}$.
Dakle, dovoljno je da pokazhemo da c1e svaki $Gal(l/k)-$kon$\mathrm{j}$ugat elementa $\overline{\alpha}$ biti oblika $\overline{\sigma}(\overline{\alpha})$ za neko $\overline{\sigma}\in D_\mathfrak{P}$.\\
\\Sistem kongruencija u prstenu celih $O_L$, za sve proste $\mathfrak{P'}$ nad $\mathfrak{p}$, $\mathfrak{P'}\neq\mathfrak{P}$,
$$\begin{cases}
\alpha \equiv\overline{\alpha}&  (mod\hspace{0.3cm}\mathfrak{P})\\
\alpha \equiv\ 0 &(mod\hspace{0.3cm} \mathfrak{P'})
\end{cases}$$
ima reshenje po Kineskoj teoremi o ostacima\footnote{Vidi \ref{note1}.}. Na osnovu Teoreme o podizanju homomorfizma
$$m(X)=\prod\limits_{\sigma\in H}(X-\sigma(\alpha))$$
je minimalni polinom za $\alpha$ nad $H\subseteq G=Gal(L/K)$. Neka je $H'=H\cap D_\mathfrak{P}$, tada
$$m(X)=\prod\limits_{\sigma\in H'}(X-\sigma(\alpha))\cdot\prod\limits_{\sigma\notin H'}(X-\sigma(\alpha)).\hspace{3cm}(4)$$
Ako $\sigma\notin D_\mathfrak{P}$ tj. $\sigma(\mathfrak{P})\neq\mathfrak{P}\Rightarrow\sigma^{-1}(\mathfrak{P})\neq\mathfrak{P}$, gde $\sigma^{-1}(\mathfrak{P})$ lezhi nad $\mathfrak{p}$.\\
\\Zbog izbora $\alpha$ vazhi da $\alpha\in \sigma^{-1}(\mathfrak{P})$, pa odatle $\sigma(\alpha)\in\mathfrak{P}$.\\
\newline Sa primenom $O_L\to O_L/\mathfrak{P}$ po $ mod\hspace{0.1cm}  \mathfrak{P}$ na $(4)$, dobijamo:
$$\overline{m}(X)=\prod\limits_{\sigma\in H'}(X-\overline{\sigma}(\overline{\alpha}))\cdot\prod\limits_{\sigma\notin H'}(X-\overline{\sigma(\alpha)}).$$
Kako $\sigma(\alpha)\in \mathfrak{P}\Rightarrow\overline{\sigma(\alpha)}=0$ kad $\sigma\notin H'$, pa vazhi:
$$\overline{m}(X)=X^g\prod\limits_{\sigma\in H'}(X-\overline{\sigma}(\overline{\alpha})).$$
Sa druge strane, $\overline{\alpha}$ ponishtava $\overline{m}$ jer
$$\overline{m}(\overline{\alpha})=\overline{m(\alpha)}=0.$$
Neka je $\overline{g}(X)$ minimalni polinom za element $\overline{\alpha}$ nad $k$. Tada:
$$\overline{g}\mid\overline{m}$$
$$\Rightarrow\overline{g}\mid\prod\limits_{\sigma\in H'\subsetneq D_\mathfrak{P}}(X-\overline{\sigma}(\overline{\alpha})),$$
jer je $\overline{g}$ ireducibilan, pa $X\nmid\overline{g}(X).$\\
\\Svi $Gal(l/k)-$ kon\textrm{$j$}ugati elementa $\overline{\alpha}$ nad $k$ su koreni $\overline{g}(X)$, dakle, moraju biti oblika $\overline{\sigma}(\overline{\alpha})$ za neko $\sigma\in D_\mathfrak{P}$.\hfill$\square$\\

\begin{defi}\index{grupa inercije}
 \textbf{Grupa inercije} pridruzhena prostom elementu $\mathfrak{P}\in O_L$ koji lezhi nad prostim $\mathfrak{p}$, definishe se kao:
$$I_{\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}}:=ker(\varphi:D_\mathfrak{P}\to Gal(l/k)).$$
\end{defi}
$$I_\mathfrak{P}\leqslant D_\mathfrak{P}\leqslant Gal(L/K)$$

\begin{posl}Neka vazhe sve prethodne oznake. Tada:

\begin{enumerate}
    \item $D_\mathfrak{P}/I_\mathfrak{P}\cong Gal(l/k)$
    \item
    $\lvert I_\mathfrak{P}\rvert = e$
    \item Prost ideal $\mathfrak{p}$ je neramifikovan u $L \Leftrightarrow I_\mathfrak{P}=1$, za sve ideale $\mathfrak{P}$ koji lezhe nad $\mathfrak{p}$.
\end{enumerate}
\end{posl}



\subsection{Frobenijusov automorfizam}

\begin{defi}\index{Frobrenijusov automorfizam za par ideala}
 Neka je $\mathfrak{p}\in O_K$ neramifikovan u $L$ tj. $\lvert I_{\mathfrak{P}}\rvert=1$ za sve proste $\mathfrak{P}$ koji lezhe nad $\mathfrak{p}$. Tada:
 $$D_{\mathfrak{P}}/\mathfrak{p}\cong Gal(l/k)$$.

i postoji jedinstveni element u $D_\mathfrak{P}$ koji se ovim izomorfizmom slika u Frobrenijusov automorfizam $l/k$. Taj element nazivamo \textbf{Frobrenijusovim automorfizmom za par ideala $\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}$} i obelezhavamo ga sa
 $Frob_{\mathfrak{P}\mid\mathfrak{p}}=Frob_{\mathfrak{P}}\in D_\mathfrak{P}.$
\end{defi}
\begin{nap}
 Frobenijusov automorfizam $x\mapsto x^{\lvert k\rvert}$, $\lvert k\rvert=\lvert O_k/\mathfrak{p}\rvert=\lVert\mathfrak{p}\rVert$ zhivi u $Gal(l/k)$.
 \end{nap}

\begin{defi}

 $$Frob_\mathfrak{p}=\{Frob_\mathfrak{P}\mid \mathfrak{P}\textrm{ prost ideal u } O_L\textrm{ koji lezhi nad prostim }\mathfrak{p}\}$$
 predstavlja jednu klasu \textit{kon$j$ugacije} u $G=Gal(L/K)$.
\end{defi}

Ako je $\mathfrak{P}'=\sigma(\mathfrak{P})$ za neko $\sigma\in G$, onda vazhi:
$$D_\mathfrak{P'}=\sigma\cdot D_\mathfrak{P}\cdot\sigma^{-1}$$
(stabilizatori su \textit{kon$j$ugovani}) i $$I_\mathfrak{P'}=\sigma\cdot I_\mathfrak{P}\cdot\sigma^{-1}.$$

\begin{pri}

Tipovi faktorizacije polinoma 4. stepena:
\begin{itemize}
    \item $1+1+1+1$
    \item $2+1+1$
    \item $3+1$
    \item $2+2$
    \item $4$
\end{itemize}

Posmatrajmo sledec1u tabelu, gde je $\triangle(f)$ diskriminanta polinoma $f$, a $N$ broj elemenata skupa $\{p\leq p_0\mid p\hspace{0.1cm} prost,\hspace{0.1cm}p\nmid\triangle(f)\}.$\\

\begin{tabular}{cccc|c|c|c|c|c|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{$f$} & \multicolumn{1}{c|}{$p_0$} & \multicolumn{1}{c|}{$\triangle(f)$}&  $N$ & $4$ & $3+1$ & $2+2$ & $2+1+1$ & $1+1+1+1$ \\ \hline
  \multicolumn{1}{|c|}{$X^4-X^2-1$  }       & \multicolumn{1}{c|}{ $7933$}    & \multicolumn{1}{c|}{$-2^4\cdot5^2$}  &  $1000$ & $254$  &$0$  & $3794$ & $251$ & $116$ \\ \hline
  \multicolumn{1}{|c|}{$X^4-X-1$ }       & \multicolumn{1}{c|}{$7927 $}    & \multicolumn{1}{c|}{$-283$}  & $1000$  & $258$  & $337$ &$117$  &$253$ & $35$ \\ \hline\\
\hline

\multicolumn{1}{|l}{}&\multicolumn{2}{c}{$\textrm{priblizhno }(\sim)$}&& {$\dfrac{1}{4}\cdot1000$}  &$0$  & $\dfrac{3}{8}\cdot1000$ & $\dfrac{1}{4}\cdot1000$ & $\dfrac{1}{8}\cdot1000$ \\ \cline{5-9}
 \multicolumn{1}{|l}{}&&&& $\dfrac{1}{4}\cdot1000$  & $\dfrac{1}{3}\cdot1000$ &$ \dfrac{1}{8}\cdot1000$  &$\dfrac{1}{4}\cdot1000$ & $\dfrac{1}{24}\cdot1000$ \\ \hline
\end{tabular}\\
\\
\\Pitamo se zashto bash ovi brojevi.\\ Mozhemo da primetimo da je $\lvert Gal(X^4-X^2-1/\mathbb{Q})\rvert=8=\lvert\mathbb{D}_4\rvert$ i $\lvert Gal(X^4-X-1/\mathbb{Q})\rvert=24=\lvert\mathbb{S}_4\rvert$.
Ove kolichnike objashnjava teorema u sledec1em delu.
\end{pri}

\subsection{Chebotareva teorema}
\begin{thm}\textbf{(Chebotareva, 1922.)}\index{Teorema Chebotareva}\\
\\Neka je $L/K$ Galuaovo rashirenje brojnih polja, $G=Gal(L/K)$ odgovarajuc1a Galuaova grupa i neka je $\mathscr{C}\subseteq G$ bilo koja \textit{Frobenijusova klasa kon$j$ugacije}. Tada skup:
$$S_\mathscr{C}=\{ p\in O_K\textrm{ prost ideal}\mid Frob_\mathfrak{p}=\mathscr{C}\textrm{ i }\mathfrak{p}|\triangle_{L/K}\textrm{ tj. }\mathfrak{p}\textrm{ je neramifikovan u }L\}$$
ima \textbf{gustinu}
$d(S)=\dfrac{\lvert\mathscr{C}\rvert}{\lvert G\rvert}.$

\end{thm}

\begin{defi}
Za bilo koji podskup prostih ideala u $O_K$ definishemo \\\textbf{prirodnu gustinu}:\index{prirodna gustina skupa prostih ideala}
$$d(S):=\lim_{x\to\infty}\dfrac{\#\{p\textrm{ prost u }S\mid\lVert p\rVert\leq x\}}{\#\{p\textrm{ prost u }O_K\mid\lVert p\rVert\leq x\}},$$
i \textbf{analitichku gustinu}\index{analitichka gustina skupa prostih ideala}:
$$d_{an}(S):=\lim_{s\to 1+}\dfrac{\sum\limits_{p\in S\textrm{ prost}}\dfrac{1}{\lVert p\rVert^s}}{\sum\limits_{p\in O_K\textrm{ prost}}\dfrac{1}{\lVert p\rVert^s}},$$
ako ovi limesi postoje.
\end{defi}

\begin{nap}
 Teorema Chebotareva vazhi i za prirodnu i za analitichku gustinu.
\end{nap}

\begin{posl}
Neka je $L=\mathbb{Q}(\xi_m)$, a $K=\mathbb{Q}$. Tada je $Gal(L/K)$ Abelova grupa i $Gal(L/K)\cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$, na osnovu poledice \ref{posl724}. Klase kon$\mathrm{j}$ugacije su jednochlane jer su Abelove: $$\mathscr{C}=\{[a]\mid(a,m)=1\}.$$
\end{posl}
Iz teoreme sledi da skup prostih brojeva $p$ u $\mathbb{Z}$, chiji Frobenijus $Frob_p=[a]$, ima gustinu $\dfrac{\lvert\mathscr{C}\rvert}{\lvert G\rvert}=\dfrac{1}{\varphi(m)}$.\\
Setimo se, Frobenijus u $\mathbb{Q}(\xi_m)$ je bash $\sigma_p:\hspace{0.1cm}\xi_m\mapsto\xi^p$.\\ Dakle,
$$\lim_{x\to\infty}\dfrac{\#\{p\leq x\mid p\nmid m,\hspace{0.1cm}p\equiv a(\mod{m})\}}{\#\{p\leq x\}}=\dfrac{1}{\varphi(m)}.\footnote{Dirihle, 1840.}$$

\printindex

\end{document}