\[
\mathcal L_\sigma(X) = -n (\log\sqrt{2\pi} + \log\sigma) + \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i = 1}^n (x_i-\mu)^2
\]
Ainsi en dérivant $\mathcal L_\sigma$ par rapport à $\lambda$, on obtient :
\[
{\partial \mathcal L_\sigma(X) \over \partial \sigma } = - \frac{n}{\sigma} - \frac{1}{\sigma^3} \sum (x_i - \mu)^2
\]
La dérivée s'annule en
\[
\hat\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \mu) ^ 2
\]