\documentclass{article}
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\title{Übungsaufgabe 6}
\author{Robin Fröhlich(aqxcz), Sudip Raj Tripathee(annwy)}
\date{10.12.2019}
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\begin{document}
\maketitle

\section*{Aufgabe 1}
Gegeben sind zwei Mengen nämlich Personen und Pizzasorten.\\
Seien,\\
$Personen(x) =\{Anja, Dieter, Horst\}$ \\
$Pizzasorten (y) =\{Salami, Schinken, Napoli, Thunfisch\}$\\
\newline
$U=\{Anja, Dieter, Horst, Salami, Schinken, Napoli, Thunfisch\}$\\
\subsection*{a)}
$f:Personen\longrightarrow Pizzasorten$\\
$Anja\longrightarrow Thunfisch$\\
$Dieter\longrightarrow Thunfisch$\\
$Horst \longrightarrow Salami$\\
\newline
Definitionsbereich: $\{f = (x\in U : x\geq Anja | x\leq Horst)\}$\\
Wertebereich: $ W = \{y \in U: y\geq Salami | y\leq Thunfisch\}$\\
\newline
Diese Funktion ist weder Injektiv noch Surjektiv.

 \subsection*{b)}
 $f:Personen\longrightarrow Pizzasorten$\\
$Anja\longrightarrow Thunfisch$\\
$Dieter\longrightarrow Thunfisch$\\
$Horst \longrightarrow \text{nicht definiert}$\\
\newline
Definitionsbereich: $\{f = (x\in U : x\geq Anja | x\leq Horst)\}$\\
Wertebereich: $ W = \{y \in U: y\geq Salami | y\leq Thunfisch\}$\\
\newline
Diese Funktion ist nicht surjektiv und nicht bijektiv.

\subsection*{c)}
 $f:Personen\longrightarrow Pizzasorten$\\
 $Anja\longrightarrow  Schinken, Napoli, Thunfisch$\\
 $Dieter\longrightarrow Salami, Napoli, Thunfisch$\\
 $Horst\longrightarrow Napoli, Schinken, Thunfisch$\\
 \newline
Definitionsbereich: $\{f = (x\in U : x= Anja, Dieter, Horst)\}$\\
Wertebereich: $ W = \{y \in U: y = Salami, Schinken, Napoli, Thunfisch\}$\\
\newline
Diese Funktion ist nicht injektiv und nicht surjektiv.

\section*{Aufgabe 2}
Funktion $g:\mathbb{R} \backslash\{0,3\} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $g(x) = \frac{2x^3-6x^2-8x+24}{x^3-3x^2} $\\

$g(x) = y =  \frac{2x^3-6x^2-8x+24}{x^3-3x^2} =  \frac{(2x^2-8)(x-3)}{x^2(x-3)}$ \\
$\Rightarrow y = \frac{(2x^2-8)(x-3)}{x^2(x-3)}$\\
Die Variablen werden getauscht,\\
$\Rightarrow x= \frac{(2y^2-8)(y-3)}{y^2(y-3)}$\\
$\Rightarrow x= \frac{(2y^2-8)}{y^2}$\\
$\Rightarrow xy^2={2y^2-8}$\\
$\Rightarrow xy^2-2y^2=-8$\\
$\Rightarrow y^2(x-2)=-8$\\
$\Rightarrow y^2=-\frac{8}{x-2}$\\
$\Rightarrow y=\pm \sqrt{-\frac{8}{x-2}}$\\
$\Rightarrow y= \sqrt{-\frac{8}{x-2}}$ oder $y=-\sqrt{-\frac{8}{x-2}} $\\
Die Umkehrfunktion der Funktion $g:\mathbb{R} \backslash\{0,3\} \rightarrow \mathbb{R}$ ist $g^{-1}(x)=\pm \sqrt{-\frac{8}{x-2}}$
\newline
Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist: $\{x \in \mathbb{R}: x<2\}$

\section*{Aufgabe 3}
Seien $A_1, A_2 \subseteq D$ nichtleere Mengen und $f:D\rightarrow B$ eine Funktion.\\
zu Beweisen: $f(A_1) \cap f(A_2) \subseteq f(A_1 \cap A_2) $\\
\newline
Sei $x \in f(A_1 \cap A_2)$\\
dann existiert ein $y\in A_1 \cap A_2, damit f(y)=x$ ist.\\
Da $y \in A_1$, dann gilt auch $x\in f(A_1)$.\\
Da $y \in A_2$, dann gilt auch $x\in f(A_2)$.\\
Da $x\in f(A_1)$ und $x\in f(A_2)$, gilt auch $x \in f(A_1) \cap f(A_2)$\\
$\Longleftrightarrow f(A_1) \cap f(A_2) \subseteq f(A_1 \cap A_2) $\\
q.e.d

\newpage
\section*{Aufgabe 4}

\subsection*{a)}

$Port = \{\{1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,5,5,10,10,10,20,20,20,50,50,100\}\}$\\
\newline
$U = \{1,2,5,10,20,50,100,200,500\}$\\
\newline
$Port = \{(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(5,0),(5,1),(5,2),\\
(10,0),(10,1),(10,2),(10,3),(20,0),(20,1),(20,2),(20,3),\\
(50,0),(50,1),(50,2),(100,0),(100,1)\}\cup\{(n,0):n\inU,n>100\}$

\subsection*{b)}

$x_{Port} : U\longrightarrow{\mathbb{N}}$\\
\newline
$x_{Port}(n) = \begin{cases}
     \text{1 falls n=100} \\
     \text{2 falls n=5 oder n=50} \\
     \text{3 falls n=10 oder n=20} \\
     \text{4 falls n=2} \\
     \text{7 falls n=1} \\
     \text{0 sonst}
  \end{cases}$
\newpage
\subsection*{c)}

$Schwein = \{\{5,5,5,50,50,50,50,50,50,50,100,100\}\}$\\
\newline
$x_{Schwein} : U\longrightarrow{\mathbb{N}}$\\
\newline
$x_{Schwein}(n) = \begin{cases}
     \text{2 falls n=100} \\
     \text{3 falls n=5} \\
     \text{7 falls n=50} \\
     \text{0 sonst}
  \end{cases}$\\
\newline
$Port\cup Schwein = \{\{1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,5,5,5,5,5,10,10,10,20,20,20,50,50,50,50,50,50,50,50,50,100,100,100\}\}$\\
\newline
$x_{Port\cup Schwein} : U\longrightarrow{\mathbb{N}}$\\
\newline
$x_{Port\cup Schwein}(n) = \begin{cases}
     \text{3 falls n=10 oder n=20 oder n=100} \\
     \text{4 falls n=2} \\
     \text{5 falls n=5} \\
     \text{7 falls n=1} \\
     \text{9 falls n=50} \\
     \text{0 sonst}
  \end{cases}$\\
\newline
$Port\cap Schwein = \{\{1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,5,5,5,10,10,10,20,20,20,50,50,50,50,50,50,50,100,100\}\}$\\
\newline
$x_{Port\cap Schwein} : U\longrightarrow{\mathbb{N}}$\\
\newline
$x_{Port\cap Schwein}(n) = \begin{cases}
     \text{2 falls n=100} \\
     \text{3 falls n=10 oder n=20} \\
     \text{4 falls n=2} \\
     \text{7 falls n=1 oder n=50} \\
     \text{0 sonst}
  \end{cases}$\\

\subsection*{d)}

$D = \{\{1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,5,5,10,10,10,20,20,20,50,50\}\}$\\
\newline
$x_{Port} : U\longrightarrow{\mathbb{N}}$\\
\newline
$x_{Port}(n) = \begin{cases}
     \text{2 falls n=5 oder n=50} \\
     \text{3 falls n=10 oder n=20} \\
     \text{4 falls n=2} \\
     \text{7 falls n=1} \\
     \text{0 sonst}
  \end{cases}$\\
\newline
Urbildbereich: $\{f=(n\in U:n\leq 50)\}$\\
Bildbereich: $\{x_{Port}\in \mathbb{N}: x_{Port}\geq 2\}$


\end{document}