l22

\documentclass[leqno]{article}
\usepackage[T1, T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english, russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\pagenumbering{gobble}
\setlength{\parindent}{4ex}
\makeatletter
\newcommand*{\rom}[1]{\expandafter\@slowromancap\romannumeral #1@}
\makeatother

\begin{document}
\lhead{104}
\chead{\textit{Глава 7}}
Действительно, мы знаем (пример 3) в начале из гл. 5, \linebreak
что $f'(0)$ не существует; тем не менее, $f(x)$, очевидно, имеет \linebreak
в 0 минимум, так как
\begin{equation*}
    f(0)=0,
\end{equation*}
\begin{equation*}
    f(x)>0 \quad \text{при} \quad x \neq 0.
\end{equation*}
\par
Таким образом, когда мы можем, при теперешнем сотоя-\linebreak
нии наших знаний, заключить из расммотрения $f'(\xi)$, что\linebreak
налицо максимум или налицо минимум или даже, по крайней\linebreak
мере, то или другое? Никогда. Действительно:\par
1)\quadЕсли $f'(\xi)$ не существует - мы не знаем ничего.\par
2)\quadЕсли $f'(\xi)>0$ или $f'(\xi)<0$, то мы знаем, что нет\linebreak
ни максимума, ни минимума.\par
3)\quadЕсли $f'(\xi)=0$ - мы не знаем ничего.\par
Чтобы убедиться в этом, я приведу пять примеров на\linebreak
случай 3): в первом налицо максимум, во втором --- минимум,\linebreak
в третьем --- возрастание, в четвертом --- убывание, в пятом ---\linebreak
ни\quadодна\quadиз\quadэтих\quadчетырех\quadвозможностей.\quadВсюду\linebreak
\begin{equation*}
    \xi = 0, f(0)=f'(0)=0
\end{equation*}
и, соответственно\par
\rom{1})\quad$f(x)=-x^{2}$, следовательно $<0$ для $x \neq 0$;\\
\setlength{\parindent}{2ex}
\indent\;\:\rom{2})\quad$f(x)=x^{2}$, следовательно $>0$ для $x \neq 0$;\\
\indent\,\rom{3})\quad$f(x)=x^{3}$, следовательно $<0$ для $x<0$, $>0$ для $x>0$;\linebreak
\indent\,\rom{4})\quad$f(x)=-x^{3}$, следовательно $>0$ для $x<0$, $<0$ для $x>0$;\linebreak
\indent\;\:\rom{5})\quad$f(x)$ --- функция из примера, следующего за теоре-\linebreak
\setlength{\parindent}{4ex}
мой 124; действительно, для нее
\begin{align*}
    f'(0)=\lim_{h=0} \frac{\pm h^{2}}{h} = 0
\end{align*}
\par
Несмотря на это „не знаю“ (но не „не могу знать“), мы\linebreak
доведем один пример до нахождения всех максимумов и\linebreak
минимумов, однако, будем опираться не только на доказан-\linebreak
ные нами теоремы, но и непосредственно на определения.\linebreak
(Позже мы будем иеть в своем распоряжении большее\linebreak число теорем.)\par
Пример.
\begin{align*}
    f(x)=\frac{1-x}{1+x^{2}}.
\end{align*}

\pagebreak
\lhead{}
\chead{\textit{Возрастание,} \textit{убывание,} \textit{максимум,} \textit{минимум}}
\rhead{105}
Для всех $x$ имеем
\begin{align*}
    f'(x)=\frac{-(1+x^{2})-(1-x) 2x}{(1+x^{2})^{2}}=\frac{-1-2x+x^2}{(1+x^{2})^{2}}.
\end{align*}
f'(x) принимает значение 0 только при
\begin{gather*}
    (x-1)^{2}-2=x^{2}-2x-1=0,
\end{gather*}
т. е. только для пары чисел
\begin{equation*}
    x=1\pm\sqrt{2}.
\end{equation*}\par
Таким образом, максимум или минимум может иметься\linebreak
лишь в $1+\sqrt{2}$ и $1-\sqrt{2}$.\par
Я утверждаю, что в $1+\sqrt{2}$ налицо минимум, а в $1-\sqrt{2}$\linebreak
--- максимум\par
Действительно, положим
\begin{equation*}
    \xi=1\pm\sqrt{2}.
\end{equation*}
Тогда разность
\begin{equation*}
    f(\xi+h)-f(\xi)=\frac{1-(\xi+h)}{1+(\xi+h)^{2}}-\frac{1-\xi}{1+\xi^{2}}
\end{equation*}
для всех $h \neq 0$ положительна, равна нулю или отрицательна,\linebreak
смотря по тому, будет ли положительно, равно нулю или\linebreak
же отрицательно следующее выражение:\\
\begin{equation*}
\begin{split}
    (1-&\xi-h)(1+\xi^{2})-(1-\xi)(1+\xi^{2}+2h\xi+h^{2})=\\
    &= -h(1+\xi^{2})-(1-\xi)(2h\xi+h^{2})=\\
    &=h(-1-\xi^-2\xi+2\xi^{2})-h^{2}(1-\xi)=h^{2}(\xi-1).
\end{split}
\end{equation*}
Таким образом, для всех $h \neq 0$ имеем
\begin{equation*}
\begin{split}
    &f(\xi+h)>f(\xi),\;\;\text{если}\;\;\xi=1+\sqrt{2},\\
    &f(\xi+h)<f(\xi),\;\;\text{если}\;\;\xi=1-\sqrt{2}.
\end{split}
\end{equation*}\par
Рассмотренный пример мог бы ввести в заблуждение\linebreak
тем, что $f(x)$ принимает в $1-\sqrt{2}$ наибольшее, а в $1+\sqrt{2}$\linebreak
наименьшее из всех вообще своих значений, тогда как для\linebreak
максимума и минимума со значением функции в $\xi$ сравни-\linebreak
\end{document}