Соснила про теорию Галуа (часть 1)

Мне здесь несколько недель назад написали "раз ты такой умный, то напиши что-нибудь интересное", поэтому расскажу что-нибудь про математику. Не очень понятно, что рассказывать, потому что не очень понятно, что людям интересно в математике. Но я буду считать, что все если и не любят, то по крайней мере считают в полезность банального решения уравнений.

Например, возьмем многочлен f(x) с коэффициентами из поля F и найдем все его корни. Понятно, что может оказаться, что корней в поле F нет, тогда можно попробовать разрешить операцию взятия корня n-ной степени и попробовать поискать решение в виде последовательного применения такой операции, а также стандартных умножения/деления и сложения/вычитания, к элементам поля F. Оказывается, что все равно может найтись многочлен, у которого корни не представляются в таком виде. Этими вопросами люди задавались примерно в 19м веке, и пока задумывались, придумали теорию Галуа, про которую я и хочу затереть сегодня.
Теперь понятно, что ни в каком адекватном виде корни записать не получается, и хочется как-то переформулировать задачу, а то не очень ясно, что вообще корень такое. По многочлену можно формально построить минимальное абстрактное поле F(f), над которым f будет иметь все корни. Корни в этом поле, которое мы абстрактно строим, конечно, выглядят по-идиотски в качестве ответа на изначальный вопрос (типа, какие у меня корни — вот корни сами и есть формально корни, отвяжитесь), но фишка в том, что изучая это поле, можно понять, какие связи есть между этими корнями, понять, какими они точно не могут быть, если мы на них смотрим каким-то не абстрактным способом (например, если корни все-таки представляются в виде последовательного взятия корней разных степеней, умножений и делений, можно понять, какая структура вложенных взятий операции корня там может быть).

Окей, вроде убедились в том, что нужно изучать поля F(f) вместо многочленов f. Как их изучать-то вообще?
Ну по крайней мере поле F(f) является векторным пространством над F, и у него есть размерность, которую можно явно считать. Например, для многочлена x^p = 1 эта размерность равна p, а для многочлена x^p = 2 она равна 2*p (p — простое, большее двух). Но есть и более интересный инвариант — группа автоморфизмов поля F(f) над F, которая называется группой Галуа. В первом примере это будет циклическая группа порядка p, во втором — диэдральная группа порядка 2p. Ну офигенно же, взяли уравнение, получили инвариант — группу, ассоциированную с этим уравнением, — который помнит то, как корни друг с другом взаимодействуют.

Но этот инвариант сам по себе все еще не помнит всю информацию о корнях F(f). Например, для уравнения x^p = 3 ответ такой же как для уравнения x^p = 2, хотя поля как и корни уравнений, понятно, разные. Но оказывается есть еще один кусок информации, который можно учесть. Сейчас я сформулирую теорему, которая содержит ровно две (если я не обсчитался) ошибки, которые я сознательно не хочу исправлять, ибо это усложнит экспозицию.

Теорема. Пусть Field(F) — множество классов изоморфизма полей K, содержащих F и конечные над ним как векторные пространства. Существует абстрактная группа Gal(F), такая что подгруппы Gal(F) находятся во взаимно-однозначном соответствии с множеством Field(F). И при этом нормальным подгруппам N соответствуют поля вида F(f) для какого-то многочлена f, а группой Галуа многочлена f является фактор Gal(F)/N.

Короче, теперь есть какая-то стремная и огромная группа и каждому многочлену соответствует какое-то сюръективное отображение из этой огромной группы в группу Галуа этого многочлена. И это реально помнит всю информацию о поле F(f), а поле в свою очередь помнит примерно всю информацию о многочлене f и его корнях.
Обычно эту огромную группу посчитать очень сложно, и тому, чтобы выяснить про нее хоть что-нибудь (особенно в случае F = Q), посвящены целые разделы теории чисел и алгебраической геометрии. Но даже сама группа Галуа многочлена хранит дофига интересной информации,
и ее тоже хорошо бы научиться считать.

Но я вообще не об этом хотел рассказать, это классическая и многим, наверное, известная вещь. Так что я продолжу через некоторое время.