EDC 24/04/2012

   # # # # # # # # # # # # #
  # EDC                     #
  # Gastão                  #
  # notasdogarcia.blog.com  #
   # # # # # # # # # # # # #

  NOTAÇÃO Pessoal (é mais fácil de digitar):
    - y´t    = dy/dt
    - y´´t   = d²y/dt²
    - y´10´t = d¹⁰y/dt¹⁰
    - y´n´t  = d^ny/d t^n
    - int(a,b) f(x) = integral de a até b de f(x)
    - int f(x) = integral de f(x)
    - i,j,k são os 3 vetores unitários no sentido x,y e z.
    - v> indica que v é um vetor (é como a setinha encima do v).
    - [ f(x) ] (a, b) = f(a) - f(b)
    - ð(t-t0) = delta de dirac no ponto t0.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Tabela de Transformadas Notáveis até agora:

      f ( t )      | L ( f )
1)    1            | 1/s, s>0
2)    e^(at)       | 1/(s-a), s>a
3)    cosh(at)     | s/(s²-a²), s>|a|
4)    senh(at)     | a/(s²-a²), s>|a|
5)    y'           | s L(y) - y(0)
6)    sen(at)      | a/(s²+a²)
7)    cos(at)      | s/(s²+a²)
8)    y''          | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
9)    Uc(t)        | e^(-sc)/s
10)   Uc(t) f(t-c) | e^(-sc) L(f(t))
12)   e^(ct) f(t)  | L(f(s-c))                 --> A professora usou isso nessa aula.

// Lembrando que eu não garanto que a ordem dos itens nessa tabela seja identica à da tabela do professor.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Hoje uma professora foi chamada para substituir o Gastão.
  O nome dela é Camila =].

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  A aula começou com uma revisão da ultima aula.

  No finalzinho da última aula definimos o conceito de "Delta de Dirac"
  e eu digito essa função com o caractere ð(t), enquanto o professor usa um delta minusculo.

  Essa função é tal que a integral de - à + infinito = 1, e ela é igual a 0 para todo valor de t menos t=0.

  Ou seja para essa integral ser verdadeira o valor em 0 da função deve tender à infinito para que sua integral resulte em 1.

  Essa é uma função de tipo "impulso", mais especificamente a função chamada "impulso unitário".

  Para expressar que o impulso ocorreu em t=3, nós usamos a expressão: ð(t-3), e de forma mais generica para o ponto t0 usamos: ð(t-t0)

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  // Hoje vamos começar a aula descobrindo a transformada de laplace de ð(t-t0).

  Formalmente falando mais um pouco sobre ð
  nota-se que ele não é uma função comum segundo as definições matemáticas.
  Ela só faz sentido se voce pensar que para um T (Tau) tendendo a 0 ao redor do ponto 0 ela é diferente de 0.

  Assim vamos dizer que a função DT(t-t0) = { 1/(2(T+t0)), se t0-T < t < t0+T.
                                            { 0,           caso contrário.

  Assim para expressar o laplace de ð vamos usar:

    L( ð(t-t0) ) = lim T->0 L( DT(t-t0) )

  Calculando então o laplace de DT temos:

    L( DT(t-t0) ) = int (t0-T, t0+T) e^(-st) 1/(2T) dt

  Ou

    1/(2T) [e^(-st)/s] (t0-T,t0+T)

  Saindo disso podemos escrever:

    1/(2Ts) ( e^(-s(t0+T)) - e^(-s(t0-T)) )

  ou destacando e^(-st0):

   -1/(Ts) (  e^(-st0) ( -e^(-sT) + e^(sT) )/2 )

  Agora note que a expressão mais a direita é o seno hiperbólico, vamos substituir?

   -1/(Ts) ( e^(-st0) * senh (sT) )

  E assim temos o resultado de L(DT(t-t0))

    e^(-s t0) * senh (Ts)/(Ts)

  Agora lembram-se que

    L(ð(t-t0)) = lim T->0 L(DT(t-t0))

  Então para descobrir o laplace de ð temos de aplicar o limite:

    lim T->0 [ e^(-s t0)/(Ts) * senh (sT) = e^(-s t0)]

  Vai dar um lopital:

    lim T->0 [ senh(sT)/(sT) * e^(-s t0) ]

  Derivando pelo lopital:

    lim T->0 [ s cosh(sT)/(sT) = 1 ]

  Cortando:

    lim T->0 [ cosh(sT)/T = 1 ]

  Conclusão:

    L( ð(t-t0) ) = e^(-s t0)

  // Depois tenho que passar a limpo esse finalzinho, num entendi nada agora que re-li.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Atualizando nossa tabela:

      f ( t )      | L ( f )
1)    1            | 1/s, s>0
2)    e^(at)       | 1/(s-a), s>a
3)    cosh(at)     | s/(s²-a²), s>|a|
4)    senh(at)     | a/(s²-a²), s>|a|
5)    y'           | s L(y) - y(0)
6)    sen(at)      | a/(s²+a²)
7)    cos(at)      | s/(s²+a²)
8)    y''          | s²L(y) - s y(0) - y'(0)
9)    Uc(t)        | e^(-sc)/s
10)   Uc(t) f(t-c) | e^(-sc) L(f(t))
12)   e^(ct) f(t)  | L(f(s-c))
14)   ð(t-t0)      | e^(-s t0)

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Exemplo 1:

  Encontre a soluçào do PVI:

    { 2y'' + y' + 2y = ð(t-5)
    { y (0) = 0
    { y'(0) = 0

  Transformando o lado esquerdo é fácil ver pelos métodos que já conhecemos que vai ficar:

    L(y) (2s² + s + 2) = L( ð(t-5) )

  A transformada do lado direito vamos fazer usando nossa nova entrada da tabela e assim substituindo teremos:

    L(y) (2s² + s + 2) = e^(-5s)

  Isolando L(y):

    L(y) = e^(-5s) / ( 2s² + s + 2 )

  Para achar y precisamos da transformada inversa da fraçào à direita.
  Porém como o denominador é complexo precisaremos separa-lo com o método das frações parciais.
  Mas não funcinoa porque as raizes do polinomio denominador são complexas.

  Para contornar isso então usaremos o método de completar quadrados dicutido na última aula.

  Completando teremos:

    1/(2s² + s + 2) = raiz(15/16) / ( (s+1/4)² + 15/16)

  Fazendo L⁻¹ disso temos: sen(raiz(15/16)t)

  Agora já sabemos terminar a conta usando a regra 13 da tabela.

    U5(t) * (2/raiz(15)) e^(1/4(t-5)) sen (raiz(15/16)) (t-5)

  // Vou ver se explico isso melhor quando passar a limpo.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  Exercicio 2:

  Encontre a solução e senhe o gráfico:

    { y'' + 3y' + 2y = ð (t-5) + U10(t)
    { y(0) = 0, y'(0) = 1/2

  Transformando o lado esquerdo temos:

    L(y'') = s²L(y) - s y(0) - y'(0)
    L(y')  = sL(y) - y(0)

  Substituindo:

    s² L(y) + 3 s L(y) + 2 L(y) -s y(0) - 3 y(0) - y'(0) = L( ð(t-5) + U10(t) )

  Cortando y(0) = 0:

    s² L(y) + 3 s L(y) + 2 L(y) - y'(0) = L( ð(t-5) + U10(t) )

  Substituindo y'(0) = 1/2:

    s² L(y) + 3 s L(y) + 2 L(y) - 1/2 = L( ð(t-5) + U10(t) )

  Realizando o laplace do lado direito:

    L( ð(t-5) ) = e^(-5s)
    L( U10(t) ) = e^(-10s)/s

  Substituindo:

    s² L(y) + 3 s L(y) + 2 L(y) - 1/2 = e^(-5s) + e^(-10s)/s

  Isolando L(y):

    L(y) ( s² + 3s + 2 ) = 1/2 + e^(-5s) + e^(-10s)/s

    L(y) = ( 1/2 + e^(-5s) + e^(-10s)/s ) / ( s² + 3s + 2 )

  Faremos equações parciais sobre essa fração para que seja possível encaixa-la na tabela.

  Fatores de (s² + 3s + 2) são:

    ( s+2 ) e ( s+1 )

  Fazendo o sistema:

    1 = A * (s+1) + B * (s+2)

  Sistema:

    { A+B  = 0
    { A+2B = 1

    A = -1
    B =  1

  Assim nossa equação fica:

    L(y) = ( 1/2 + e^(-5s) + e^(-10s)/s ) / (s+1)
         - ( 1/2 + e^(-5s) + e^(-10s)/s ) / (s+2)

  Calculando a inversa de laplace para cada um dos 6 termos temos:

    1/2 L⁻¹( 1/(s+1) ) = e^-t
    1/2 L⁻¹( 1/(s+2) ) = e^(-2t)

    L⁻¹(e^(-5s)/(s+1)) =
    L⁻¹(e^(-5s)/(s+2)) =

    L⁻¹(e^(-10s)/(s²+s ) ) =
    L⁻¹(e^(-10s)/(s²+2s) ) =

  Bem não terminei os calculos mas ficou:

    y = 1/2 ( e^-t - e^(-2t) ) + U5(t) ( e^(5-t) - e^(10-2t) ) + U10(t) ( 1/2 - e^(10-t) + 1/2 e^(20-2t) )

  De acordo com o resultado da professora.

 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

  // Fim da aula.