Страх перед нулём и единицей.
Наша жизнь полна предрассудков и необоснованных страхов.
Однако не все знают, что предрассудки и страхи
во множестве присутствуют в математике.
Сегодня я расскажу всего лишь про один такой
предрассудок — страх перед нулём и единицей.

Древнегреческие математики не считали единицу числом,
а понятия нуля у них вовсе не существовало.
По этой причине утверждения о целых числах содержали в себе
несколько аналогичных формулировок для случаев,
когда рассматриваемые числа равны или не равны единице,
что можно видеть у Эвклида, когда он излагает свой алгоритм нахождения
наибольшего общего делителя («Начала», книга 7, предложения 1 и 2) — он вынужден
формулировать два предложения вместо одного (предложение 1 излагает случай,
когда наибольший общий делитель равен 1, а предложение 2 — когда не равен).

За прошедшие две тысячи лет люди освоили понятия нуля и единицы,
но страх перед ними остался.

Далее я привожу список разнообразных верных утверждений,
вызывающих отторжение под влиянием этого страха.

У пустого множества есть ровно один эндоморфизм — пустая функция.
Вообще, из пустого множество в произвольное есть ровно одна функция — функция
с пустой областью определения.
(А из произвольного непустого множества в пустое функций нет.)

Натуральные числа — это те, которые используются при счёте.
Это определение я услышал в пятом классе.
Счёт — это вычисление мощностей конечных множеств.
Пустое множество конечное, стало быть число 0 — натуральное.
По-другому думают только ретрограды и мракобесы.

Классическое проявление страха перед нулём — нумерация всего и вся с единицы,
хотя зачастую более естественно нумерация последовательными натуральными
числами, начиная с минимального — нуля, а часто наиболее естественным вариантом
является отказ от нумерации.

Некоторые сумасшедшие продолжают утверждать, будто 0^0 не определено.
Особенно популярно это мнение в среде жёстких аналитиков.
(И вообще, жёсткий анализ (в противоположность мягкому) — это один
из основных источников мракобесия в математике,
как отметил один из моих знакомых.)
Обосновывают они его следующим аргументом:
функция (x,y) → x^y не является непрерывной в точке (0,0).
Однако запись многочленов и рядов в форме ∑_k a_k x^k
возможна только и исключительно при условии, что 0^0 = 1.
Формула бинома (x+y)^n = ∑_k {n\choose k} x^k y^{n-k}
верна для всех n≥0 и произвольных x и y
также только при условии, что 0^0 = 1
(иначе надо потребовать, что x≠0, y≠0 и если n=0, то x+y≠0).
Количество отображений из n-элементного множества
в m-элементное равно m^n — смотри замечание
выше про эндоморфизмы пустого множества.
Отсюда тоже получаем, что 0^0 = 1.
Список можно продолжать до бесконечности.

Сумма пустого множества чисел есть 0.
Произведение пустого множества чисел есть 1.
Упражнение: вычислите значение башни степеней
x^{y^{z^…}} для пустого семейства чисел.

Нулевое векторное пространство имеет пустой базис
и обладает ровно одним эндоморфизмом — нулевым.
Определитель эндоморфизма нулевого векторного пространства равен 1,
а его матрицей будет пустая матрица
(матрица с пустым множеством строк и столбцов).
Морфизмы из нулевого или в нулевое векторное пространство
будут иметь пустое множество столбцов или строк.

Произведение пустого семейства объектов
(или предел пустой диаграммы) есть терминальный объект,
копроизведение пустого семейства объектов
(или копредел пустой диаграммы) есть начальный объект.
Тензорное произведение (в моноидальной структуре)
пустого семейства объектов есть моноидальная единица.
В частности, тензорное произведение пустого семейства
векторных пространств есть основное поле.

Норму гомоморфизма нормированных пространств f: X→Y часто
определяют как sup_{x∈X: x≠0} ‖f(x)‖/‖x‖ или как sup_{x∈X: ‖x‖=1} ‖f(x)‖.
Эти определения не работают в случае X=0,
а также, если допускаются полунормы, в случае если полунорма нулевая.
Правильное определение, работающее во всех случаях, в том числе и для полунорм:
‖f‖=sup_{x∈X: ‖x‖≤1} ‖f(x)‖.

Конъюнкция пустого семейства утверждений истинна,
дизъюнкция пустого семейства утверждений ложна.
Объединение пустого семейства множеств есть пустое множество.
Пересечение пустого семейства множеств есть класс всех множеств
(или универсум, или другой аналогичный объект — зависит
от используемых теоретико-множественных оснований).
Например, топология на множестве X — это семейство его подмножеств,
замкнутое относительно произвольных объединений и конечных пересечений внутри X.

Забывающий функтор из категории пунктированных множеств
в категорию морфизмов множеств, интерпретирующий пунктированное множество A
как морфизм из одноэлементного множества в A, имеет левый сопряжённый функтор.
Значение этого функтора на объекте A→B обозначается B/A
и называется фактормножеством множества B по множеству A.
(Здесь имеет место очевидная волность речи.)
В случае A=∅ имеем B/∅=B⊔*, объединение B и одноэлементного множества,
тем самым фактормножество иногда может быть больше исходного множества,
а факторотображение может не быть сюръективным.

Весьма показательна ошибка, которую сделал Hartshorne в своём
учебнике алгебраической геометрии в определении предпучка — он определяет
предпучок абелевых групп как предпучок абелевых групп в обычном смысле,
удовлетворяющий дополнительному условию F(∅)=0.
Это вызывает проблемы уже на элементарном уровне
(нельзя определить постоянный предпучок обычным образом,
непонятно как определить предпучок со значениями в произвольной категории),
а куча утверждений про предпучки (например, про универсальные копополнения)
становятся просто неверными.
На самом деле это условие является следствием аксиом пучка.
Действительно, для произвольной категории C предпучок
со значениями в C — это контравариантный функтор
из противоположной категории открытых множеств
данного топологического пространства в C,
а пучок — это предпучок, удовлетворяющий свойству спуска:
конус спуска произвольного покрытия произвольного открытого множества
является предельным конусом.
Если взять пустое покрытие пустого множества, получаем,
что значение пучка на пустом множестве является терминальным объектом.

Желаю всем читателям избавиться от своего страха перед нулём и единицей,
если он у них есть, и пользоваться этими понятиями свободно,
без дополнительных оговорок.

Поводом к написанию записи послужило одно замечание одного математика,
в котором он использовал пучки абелевых групп, обладающие свойством F(∅)=0,
и весьма обрадовался, когда я объяснил ему, что это свойство
является тривиальным следствием определения пучка.