<div class="number">
    <input type="submit" value="Обновить">
</div>

<div id="sum" align="center"> //див с переменной
    {$cart_content[i].cost|replace:'&':'&'}
</div>

$('.number').find('input').on('click',function(){
    $.ajax({
        type:'POST',
        url:'path/to/handler.php',
        dataType:'json',
        success:function(response){
            $('#sum').find('/*блок, где хранится переменная */').html(response);
        },
        error:function(response){
            alert('error, response - ' + response);
        }
    });
});

<?php
    $var = //тут производим выборку из БД, если нужна
    echo json_encode($var);
?>