\documentclass[a4paper,12pt]{report} % формат бумаги А4, шрифт по умолчанию - 12pt
% заметь, что в квадратных скобках вводятся необязательные аргументы пакетов.
% а в фигурных - обязательные
\usepackage[T2A]{fontenc} % поддержка кириллицы в Латехе
\usepackage[utf8]{inputenc} % включаю кодировку ютф8
\usepackage[english,russian]{babel} % использую русский и английский языки с переносами
\usepackage{indentfirst} % делать отступ в начале параграфа
\usepackage{amsmath} % математические штуковины
\usepackage{mathtools} % еще математические штуковины
\usepackage{mathtext}
\usepackage{multicol} % подключаю мультиколоночность в тексте
\usepackage{graphicx} % пакет для вставки графики, я хз нахуя он нужен в этом документе
\usepackage{listings} % пакет для вставки кода
\usepackage{geometry} % меняю поля страницы
%из параметров ниже понятно, какие части полей страницы меняются:
\geometry{left=2.5cm}
\geometry{right=1cm}
\geometry{top=2cm}
\geometry{bottom=2cm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1} % меняю ширину между строками на 1.5
\righthyphenmin=2
\begin{document}
\begin{titlepage}
\newpage
\begin{center}
{\large НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ \\
«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»                          \\
Дисциплина: «Дискретная математика»}
\vfill % заполняет длину страницы вертикально
{\large Домашнее задание 1}\\
\bigskip
\underline{Исследование комбинационных схем}\\
Вариант 123
\vfill
\begin{flushright}
Выполнил: Фомин Константин,\\
студент группы 155ПИ.\medskip \\
Преподаватель: Авдошин С.М.,\\
профессор департамента\\
программной инженерии\\
факультета компьютерных наук \\
\end{flushright}
\vfill
Москва \number\year
\end{center}
\end{titlepage}
\newpage
\begin{center}
№1.\\
\end{center}
\begin{flushleft}
$29X_7 + 113X_6 +210X_5+64X_4 +154X_3+6X_2+247X_1+167X_0 = 113$ \\
Переведём коэффициенты уравнения в двоичную систему счисления.
$29_2 = 11101 , $113_2 = 1110001 , $210_2 = 11010010 , $64_2 = 1000000, $154_2 = 10011010,\\
$6_2 = 110 , $247_2 = 11110111 , $167_2 = 10100111 , $113_2 = 1110001.\\
Составим расширенную матрицу коэффициентов соответствующей системы линейных уравнений в GF(2) и решим систему. \\
\bigskip
\bigskip
% определяю новую матрицу с чертой
\newenvironment{amatrix}[1]{
\left(\begin{array}{@{}*{#1}{c}|c@{}}
    }{
\end{array}\right)
    }
%
\scriptsize{
$   \begin{smallmatrix}
\, & \,
    \end{smallmatrix}
$
$\begin{amatrix}{8}
%\fbox{0}
0&0&1&0&1&0&1&1&0\\
0&1&1&1&0&0&1&0&1\\
0&1&0&0&0&0&1&1&1\\
1&1&1&0&1&0&1&0&1\\
1&0&0&0&1&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0&1&1&1&0\\
0&0&1&0&1&1&1&1&0\\
1&1&0&0&0&0&1&1&1\\
\end{amatrix}$
$   \begin{matrix}
    (5)\oplus=(4)\\
    (6)\oplus=(4)\\
    (8)\oplus=(4)\\

    \sim
    \end{matrix}
$
$
\begin{amatrix}{8}
%\fbox{1}
0&0&1&0&1&0&1&1&0\\
0&1&1&1&0&0&1&0&1\\
0&1&0&0&0&0&1&1&1\\
1&1&1&0&1&0&1&0&1\\
0&1&1&0&0&0&1&0&1\\
0&1&1&0&1&1&0&1&1\\
0&0&1&0&1&1&1&1&0\\
0&0&1&0&1&0&0&1&0
\end{amatrix}$
$   \begin{matrix}
    (3)\oplus=(2)\\
    (4)\oplus=(2)\\
    (5)\oplus=(2)\\
    (6)\oplus=(2)\\

    \sim
    \end{matrix}
$

$   \begin{matrix}
    \sim
    \end{matrix}
$
$\begin{amatrix}{8}
%\fbox{0}
0&0&1&0&1&0&1&1&0\\
0&1&1&1&0&0&1&0&1\\
0&0&1&1&0&0&0&1&0\\
1&0&0&1&1&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&0&0&0\\
0&0&0&1&1&1&1&1&0\\
0&0&1&0&1&1&1&1&0\\
0&0&1&0&1&0&0&1&0\\
\end{amatrix}$
$   \begin{matrix}
    (2)\oplus=(1)\\
    (3)\oplus=(1)\\
    (7)\oplus=(1)\\
    (8)\oplus=(1)\\
    \sim
    \end{matrix}
$
\\
\bigskip
$\begin{amatrix}{8}
%\fbox{0}
0&0&1&0&1&0&1&1&0\\
0&1&0&1&1&0&0&1&1\\
0&0&0&1&1&0&1&0&0\\
1&0&0&1&1&0&0&0&0\\
0&0&0&1&0&0&0&0&0\\
0&0&0&1&1&1&1&1&0\\
0&0&0&0&0&1&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&1&0&0
\end{amatrix}$
$   \begin{matrix}
    (2)\oplus=(3)\\
    (4)\oplus=(3)\\
    (5)\oplus=(3)\\
    (6)\oplus=(3)\\
    \sim
    \end{matrix}
$

$   \begin{matrix}
    \sim
    \end{matrix}
$
$\begin{amatrix}{8}
%\fbox{1}
0&0&1&0&1&0&1&1&0\\
0&1&0&0&0&0&1&1&1\\
0&0&0&1&1&0&1&0&0\\
1&0&0&0&0&0&1&0&0\\
0&0&0&0&1&0&1&0&0\\
0&0&0&0&0&1&0&1&0\\
0&0&0&0&0&1&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&1&0&0
\end{amatrix}$
$   \begin{matrix}
    (1)\oplus=(5)\\
    (3)\oplus=(5)\\
    \sim
    \end{matrix}
$
$\begin{amatrix}{8}
%\fbox{1}
0&0&1&0&0&0&0&1&0\\
0&1&0&0&0&0&1&1&1\\
0&0&0&1&0&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0&0&1&0&0\\
0&0&0&0&1&0&1&0&0\\
0&0&0&0&0&1&0&1&0\\
0&0&0&0&0&1&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&1&0&0
\end{amatrix}$
$   \begin{matrix}
    (6)\oplus=(7)\\

    \sim
    \end{matrix}
$
\\
\bigskip
$   \begin{matrix}
    \sim
    \end{matrix}
$
$\begin{amatrix}{8}
%\fbox{1}
0&0&1&0&0&0&0&1&0\\
0&1&0&0&0&0&1&1&1\\
0&0&0&1&0&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0&0&1&0&0\\
0&0&0&0&1&0&1&0&0\\
0&0&0&0&0&1&0&1&0\\
0&0&0&0&0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&0&0&1&0&0
\end{amatrix}$
$   \begin{matrix}
    (2)\oplus=(8)\\
    (4)\oplus=(8)\\
    (5)\oplus=(8)\\
    \sim
    \end{matrix}
$
$\begin{amatrix}{8}
%\fbox{1}
0&0&1&0&0&0&0&1&0\\
0&1&0&0&0&0&0&1&1\\
0&0&0&1&0&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&1&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&1&0&1&0\\
0&0&0&0&0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&0&0&1&0&0
\end{amatrix}$
$   \begin{matrix}
    (1)\oplus=(7)\\
    (2)\oplus=(7)\\
    (6)\oplus=(7)\\

    \sim
    \end{matrix}

$
$\begin{amatrix}{8}
0&0&1&0&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0&0&0&0&1\\
0&0&0&1&0&0&0&0&0\\
1&0&0&0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&1&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&1&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&1&0\\
0&0&0&0&0&0&1&0&0
\end{amatrix}$

\bigskip
\begin{flushleft}
В описаниях преобразований строки обозначены как (1), (2), ..., (8), а выражение $ (i)\oplus{=(j)} $ обозначает «заменить все числа в строке ($i$) на их сумму по модулю $2$ с соответствующими числами строки ($j$)». \\
Получаем решение: $X_7$ = 0, $X_6$ = 1, $X_5$ = 0, $X_4$ = 0, $X_3$ = 0, $X_2$ = 0, $X_1$ = 0, $X_0$ = 0.
\end{flushleft}
\newpage
\begin{flushleft}
Составим таблицу истинности функции F. \\
\bigskip
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A &0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 &0 \\
\hline
B &0 &0 &1 &1 &0 &0 &1 &1 \\
\hline
C &0 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &1 \\
\hline
F &0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\\
\bigskip
Десятичный номер функции F равен $2^6 = 64$.
\end{flushleft}
\begin{multicols}{2}
\bigskip
\centering
№4.\\
\bigskip
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A &0 &0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 \\
\hline
B &0 &0 &1 &1 &0 &0 &1 &1 \\
\hline
C &0 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &1 \\
\hline
F &0 & 1 & 0 & 0 & 0 &0&0&0 \\
\hline
$F_A^{\prime}$ &0&1&0&0&0&1&0&0\\
\hline
$F_B^{\prime}$ &0&1&0&1&0&0&0&0\\
\hline
$F_C^{\prime}$ & 1&1&0&0&0&0&0&0\\
\hline
$F_{A,B}^{\prime\prime}$ &0&1&0&1&0&1&0&1\\
\hline
$F_{B,C}^{\prime\prime}$ &1&1&1&1&0&0&0&0\\
\hline
$F_{A,C}^{\prime\prime}$ &1&1&0&0&1&1&0&0\\
\hline
$F_{A,B,C}^{\prime\prime\prime}$ &1&1&1&1&1&1&1&1\\
\hline
\end{tabular}\\
\bigskip
№6.\\
\bigskip
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A &0 &0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 \\
\hline
B &0 &0 &1 &1 &0 &0 &1 &1 \\
\hline
C &0 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &1 \\
\hline
F &0 & 1 & 0 & 0 & 0 &0&0&0 \\
\hline
$F_{(A,B)}^{\prime}$ & 0&1&0&0&0&0&0&1\\
\hline
$F_{(B,C)}^{\prime}$ & 0&1&1&0&0&0&0&0\\
\hline
$F_{(A,C)}^{\prime}$ & 0&1&0&0&1&0&0&0\\
\hline
\end{tabular}
\\
\bigskip
№8.\\
\bigskip
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
A &0 &0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 \\
\hline
B &0 &0 &1 &1 &0 &0 &1 &1 \\
\hline
C &0 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &1 \\
\hline
F &0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\hline
$F_{(A,B,C)}^{\prime}$ & 0&1&0&0&0&0&1&0\\
\hline
\end{tabular}\\
\bigskip
\columnbreak
№5. \\
% РЕШЕНО
\bigskip
$ F_A^{\prime} = (C\not\Rightarrow B $) \\
$ F_B^{\prime} = (C\not\Rightarrow A $) \\
$ F_C^{\prime} = (B \downarrow A $) \\
$ F_{A,B}^{\prime\prime} =  C$ \\
$ F_{B,C}^{\prime\prime} =  \overline{A}$ \\
$ F_{A,C}^{\prime\prime} =  \overline{B}$ \\
$ F_{A,B,C}^{\prime\prime\prime} = 1 $ \\
\bigskip
\bigskip
№7. \\
% Решено
\bigskip
$ F_{(A,B)}^{\prime} =  (C \not\Rightarrow (B \oplus A)$) \\
$ F_{(B,C)}^{\prime} =  ((C \oplus B) \not\Rightarrow A$) \\
$ F_{(A,C)}^{\prime} = ((C \oplus A) \not\Rightarrow B$) \\
\bigskip
\bigskip
№9. \\
% Решено
\bigskip
$ F_{(A,B,C)}^{\prime} = (( C\oplus A) \not\Rightarrow (B \oplus A))$  \\
\end{multicols}
\newpage
\begin{center}
№10.
\end{center}
\begin{flushleft}
$ F(A,B,C)  = C \oplus BC \oplus AC \oplus ABC$
\end{flushleft}
\bigskip
\begin{center}
№11.
\end{center}
$ (0,0,0): F(A,B,C) = C \oplus BC \oplus AC \oplus ABC$   \\
$ (0,0,1): F(A,B,C) = 1 \oplus A \oplus B \oplus (C\oplus 1)\oplus AB \oplus B(C\oplus 1) \oplus A(C \oplus 1) \oplus AB(C\oplus1) $ \\
$ (0,1,0): F(A,B,C) = (B \oplus 1)C \oplus AC(B \oplus 1)$ \\
$ (0,1,1): F(A,B,C) = (B \oplus 1) \oplus A(B \oplus 1) \oplus (B \oplus 1)(C \oplus 1) \oplus A(B \oplus1)(C \oplus 1) $ \\
$ (1,0,0): F(A,B,C) = (A \oplus 1)C \oplus (A \oplus1)BC $ \\
$ (1,0,1): F(A,B,C) = (A \oplus 1) \oplus (A \oplus 1)B \oplus (A \oplus 1)( C \oplus 1) \oplus B(A \oplus 1)(С \oplus 1) $ \\
$ (1,1,0): F(A,B,C) = (A \oplus 1)(B \oplus 1)C$\\
$ (1,1,1): F(A,B,C) = (A \oplus 1)(B \oplus 1) \oplus (A \oplus 1)(B \oplus1)(C \oplus 1) $ \\
\begin{center}
№12.
% Решено
\end{center}
\begin{flushleft}
$ F(A,B,C) = 0 \equiv (A + B) \equiv (A + B + C) $ \\
\end{flushleft}
\begin{center}
№13.
% Решено
\end{center}
\begin{flushleft}
$ (0,0,0): F(A,B,C) = 0 \equiv ( C \equiv 0) \equiv ((B \equiv 0) + (C \equiv 0)) \equiv ((A \equiv 0) + (C \equiv 0)) \equiv ((A \equiv 0) + (B \equiv 0) + (C \equiv 0))$ \\
$ (0,0,1): F(A,B,C) = (A \equiv 0) \equiv (B \equiv 0) \equiv C \equiv ((A \equiv 0) + (B \equiv 0)) \equiv ((B \equiv 0) + C) \equiv ((A \equiv 0) + C) \equiv ((A \equiv 0) + (B \equiv0) +C)$ \\
$ (0,1,0): F(A,B,C) = 0 \equiv (B + (C \equiv 0)) \equiv ((A \equiv 0) + B+ (C \equiv 0))$ \\
$ (0,1,1): F(A,B,C) = 0 \equiv B \equiv ((A \equiv 0)+B)\equiv (B + C)\equiv((A \equiv 0)+ B + C)$ \\
$ (1,0,0): F(A,B,C) = 0 \equiv(A+( C \equiv 0)) \equiv(A + (B \equiv 0) +(C \equiv 0)) $ \\
$ (1,0,1): F(A,B,C) =0 \equiv A \equiv(A +(B \equiv 0)) \equiv (A + C) \equiv (A + (B \equiv 0) +C)$ \\
$ (1,1,0): F(A,B,C) = 0 \equiv (A + B + (C \equiv 0))$ \\
$ (1,1,1): F(A,B,C) = 0 \equiv ( A + B) \equiv (A + B + C)$ \\
\end{flushleft}
\begin{center}
№14.
% Решено
\end{center}
\begin{flushleft}
$F \in{T_0}, \text{т.к.}\; F(0,0,0)=0 $ \\
$F \notin{T_1},\text{т.к.}\; F(1,1,1)=0 $ \\
$F \notin{T_*}, \text{т.к.}\; F(1,1,1)=F(0,0,0) = 0 $ \\
$F \notin{T_\leq}, \text{т.к.}\; F(0,0,1)=1>F(0,1,0)=0 $ \\
$F \notin{T_L}, \text{т.к.}\; F(0,0,0)= C \oplus BC \oplus AC \oplus ABC $ \\
\end{flushleft}
\begin{center}
№15.
\end{center}
$0=F(A,A,A)$\\
$(A\& B) = F(F(A,A,B),0,B)$\\
$(A \not\Rightarrow B) = F(B,B,A)$\\
$ A = F(F(A,A,A),F(A,A,A),A)$\\
$(A\not\Leftarrow B) = F(A,A,B)$\\
$ B = F(F(A,A,A),F(A,A,A),B)$\\
\end{document}