При нажатии на кнопку надо скопировать текст из TextField в буфер обмена. Есть вариант на Swing, который подходит идеально, но надо на JavaFX.
    public static void setClipboard(String str) {
        StringSelection ss = new StringSelection(str);
        Toolkit.getDefaultToolkit().getSystemClipboard().setContents(ss, null);
    }