\subsubseccion{Spline cúbico}

El Spline cúbico, es decir, cuando $k=3$ es el Spline más empleado, debido a que proporciona un excelente ajuste a los puntos tabulados y su cálculo no es excesivamente complejo.
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Sobre cada intervalo $[t_0,t_1],[t_1,t_2],\cdots,[t_{n-1},t_n]$, $S$ está definido por un polinomio cúbico diferente. Sea $S_i$ el polinomio cúbico que representa a $S$ en el intervalo $[t_i,t_{i+1}]$.
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Además los polinomios $S_{i-1}$ y $S-i$ interpolan el mismo valor en el punto $t_i$, es decir, se cumple:
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\begin{equation}
S_{i-1}(t_i)=y_i=S_i(t_i)
\end{equation}
por lo que se garantiza que $S$ es continuo en todo el intervalo. Además, se supone que $S'$ y $S''$ son continuas, condición que se emplea en la deducción de un expresión para la función del Spline cúbico.\\
Aplicando las condiciones de continuidad del Spline $S$ y de las derivadas $S'$ y $S''$, es posible encontrar la expresión analítica del Spline. La expresión resultante es:
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\figura{Función Spline Cúbico}{\includegraphics[width=12cm]{img/marcoteorico/s3.png}}

En la figura , $h_i = t_i+1$ y $z_0,z_1,\cdots,z_n$ son incognitas. Para determinar sus valores, utilizamos las condiciones de continuidad que deben cumplir estas funciones. Donde finalmente podemos llegar a las siguientes formulas:
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\begin{equation}
h_i = t_i+1-t_i
\end{equation}

\begin{equation}
u_i = 2(h_i+h_{i-1}) - \frac{h_i^2-1}{u_i-1}
\end{equation}

\begin{equation}
b_i = \frac{6}{h_i}(y_{i+1})-y_i)
\end{equation}

\begin{equation}
v_i = b_i-b_{i-1}-\frac{h_{i-1}v_{i-1}}{un_{i-1}}
\end{equation}

Que finalmente se reemplazan en la matriz que se puede ver en la siguiente imagen:
\figura{Matriz tridiagonal de un Spline Cúbico}{\includegraphics[width=10cm]{img/marcoteorico/s4.png}}
de donde se obtienen los valores de $z_0,z_1,\cdots,z_{n-1}$.