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% mein Praktikumsbericht %
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% Erzeugt Titelseite
\title{\Large Ein Experiment zur Vermessung der \\ \huge\textbf{Dichte eines Apfels}}
\author{von\\ Dominik Kostiuk und Christoph Koester \\ Betreuer: Marc Sacher}
\maketitle
\vfill % fügt so viel Platz ein, dass die Seite komplett ausgenutzt wird.

%C
\begin{abstract}
 Ziel des Versuches ist die Bestimmung der Dichte eines Apfels. Dazu wird das Volumen von verschieden großen Apfelquadern sowohl direkt durch Wasserverdrängung als auch indirekt durch Messen der Seitenlängen der Quader bestimmt. Außerdem wird die Masse der Quader durch Wiegen bestimmt. Es ergibt sich eine Dichte von $0.87\pm0.04~g/cm³$ Dies deckt sich mit der Tatsache das ein Apfel auf dem Wasser schwimmt. %Literaturwert
\end{abstract}

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\phantomsection \pdfbookmark[1]{\contentsname}{toc} \tableofcontents{}  % erzeugt das Inhaltsverzeichnig und legt einen Eintrag "Inhaltsverzeichnis" im pdf-Inhaltsverzeichnis (linke Laufleiste) an.

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%C
\section{Motivation} \label{kap:motivation}
Die Dichte eines Objektes ist eine sehr interessante und wichtige Größe. Es lässt sich durch die Dichte nicht nur Masse und Volumen eines Stoffes ineinander umrechnen, sondern auch andere Aussagen treffen. Die Dichte von einem Apfel ist von besonderem Interesse, da es äußerst interessant ist zu Wissen ob dieser beispielsweise in Wasser schwimmt.

\vfill

%D
\section{Grundlagen} \label{kap:grundlagen}
Zunächst werden die physikalischen Grundlagen des Versuchs vorgestellt.\\Bei der direkten Methode wird die Probe in ein mit Wasser gefülltes Gefäß getaucht. Nach dem archimedischem Prinzip entspricht das Volumen des dadurch verdrängtem Wassers dem Volumen der Probe, weshalb es möglich ist, einfach das Volumen des Wassers zu messen.
\\Da die Proben näherungsweise quaderförmig sind, werden die drei Kantenlängen $a$, $b$ und $c$ der Probe vermessen und das Volumen mit der Formel
\begin{eqnarray}
V&=&a \cdot b \cdot c
\end{eqnarray}
berechnet.\\
Die Dichte $\rho$ der Proben lässt sich mit dem Quotienten aus der Masse $m$ und des Volumens $V$ berechnen. Also mit folgender Formel:
\begin{eqnarray}
\rho &=& \frac{m}{V}
\end{eqnarray}

\vfill
%C
\section{Versuchsaufbau und Methodik} \label{kap:methodik}
Der Versuch besteht aus drei verschiedenen Messungen. Es wurden aus einem Apfel unterschiedlich große quaderförmige Stücke geschnitten.\\ Zunächst werden die Seitenlängen der Stücke mit Hilfe eines Messschiebers (Messgenauigkeit 0,05~mm) vermessen. Danach wird die Masse über eine Waage (Messgenauigkeit 0,05~g)bestimmt. Schließlich wird das Volumen der Stücke durch Wasserverdrängung gemessen. Dazu wird die gezeigte Apparatur verwendet (Abbildung 4). Der Überlaufbehälter wird bis zum Überlauf mit Wasser befüllt, welches mit einem Tropfen Spülmittel versetzt ist. Unter der Öffnung wird ein Messzylinder(Messgenauigkeit 0,1~ml) platziert.
% Abbildung
%C

\newpage

\section{Durchführung und Messwerte} \label{kap:ergebnisse}
Zunächst wird ein Apfel mit einem Küchenmesser in fünf quaderförmige Stücke geschnitten. Dabei wird darauf geachtet, möglichst rechtwinklig zu schneiden und nur das Fruchtfleisch ohne Schale und Kern zu verwenden. Dadurch erzielt man eine möglichst homogene und gleiche Dichte der Proben, was wichtig für den Vergleich, der Proben ist (für das fitten der Messwerte).\\
Als erstes werden die drei Seitenlängen der fünf Apfelproben jeweils drei mal gemessen, wobei zwei Messungen möglichst an beiden Enden einer Seite und eine mittig ist, um den Einfluss von Schneidungenauigkeit zu reduzieren (vgl Abbildung 4). Dabei wird darauf geachtet, dass das Obst nicht mit dem Messschieber zerquetscht wird, weil dies das Ergebnis verfälschen kann.\\
Danach wird jede Probe zweimal mit der Waage gewogen.\\
Schließlich wird die Wasserverdrängung der einzelnen Quader gemessen. Das Überlaufgefäß wird dabei über den Überlauf hinaus befüllt, damit, nachdem der Überstand abgelaufen ist, das Gefäß genau bis zu Öffnung gefüllt ist. Nun wird ein leerer Messzylinder unter der Öffnung platziert. Dann wird ein Apfelquader in das Überlaufgefäß gegeben. Sollte es schwimmen, wird es mit einem Holzstab einmal komplett unter Wasser gedrückt, wobei darauf geachtet wird, möglichst wenig vom Holzstab unterwasser zu halten, damit die Wasserverdrängung durch ihn nicht erhöht wird. Nun wartet man bis kein Wasser mehr in den Messzylinder tropft. Da dies aber sehr langsam geschieht, kann es sein, dass die Experimentatoren zu früh den Messwert ablesen. Diese Fehlerquelle kann durch mehrfache Messung in ihrem Einfluss verringert werden. Es wurden in diesem Experiment die Wasserverdrängung allerdings nur zweimal gemessen.\\
Für zu kleine Apfelquader funktioniert diese Messmethode nicht besonders gut, da das verdrängte Volumen kaum abzulesen ist. Alternativ kann man den Messzylinder dann bis zu einer bekannten ablesbaren Höhe befüllen. Dann ist der Messwert die Volumendifferenz zum vorherigen  befüllten Wert. Es wurden nur 3 Proben (die Proben A,B,C) mit der erstgenannten Methode vermessen. Die kleineren (D und E) wurden mit der Volumendifferenz vermessen. Aufgrund der Fehlerquellen liegt der Fehler bei diesen Methoden weit über 5\% .  Die Messwerte stehen im beigefügten Laborbuch.\\
Es wurde genau diese Reihenfolge der Messreihen ausgeführt, um das Gewicht oder sogar eventuell die Seitenlängen nicht durch Aufsagen des Wassers vom Apfel zu erhöhen.%Diagramme eintragen
%GROBER FEHLER NACHTROPFEN
%D
\section{Diskussion der Messergebnisse} \label{kap:diskussion}
Die Auswertung der Messergebnisse beginnt damit, die arithmetischen Mittel der Größen Masse $m$, Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und des verdrängten Volumens $V_{direkt}$ und die zugehörigen Fehler zu berechnen. Neben der Standardabweichung gibt es noch weitere Fehler. Der Fehler durch die Quetschung des Apfels beim vermessen kann vernachlässigt werden, das darauf geachtet wurde. Auch das ungenaue Schneiden der Proben wird als statistischer Fehler erfasst und wird durch das mehrfache messen einer Seitenlänge relativiert. Daher lässt sich der Fehler bei allen Messgrößen bis auf zwei Ausnahmen mit der Formel
\begin{eqnarray}
\Delta x &=& \frac{t \cdot s}{\sqrt{n}}
\end{eqnarray}
berechnen, wobei $s$ die Standardabweichung, $n$ Die Anzahl an Messungen und $t$ der Student-t Faktor ist.\\
Die zwei Ausnahmen sind die direkt gemessenen Volumen der kleinsten Proben E und D, da dort nur eine Messung getätigt wurde. Somit dient die Messungenauigkeit des Messzylinders von $0,1~ml$ als Fehler für die beiden Werte.\\
Mit den errechneten Seitenlängen lassen sich nun der Mittelwert des Volumens $V_{indirekt}$ mit der Formel (2.1) und der Fehler gemäß Gaußscher Fehlerfortpflanzung mit der Formel

\begin{eqnarray}
\Delta V &=& \sqrt{(\overline{a}\cdot\overline{b}\cdot\Delta{c})^2(\overline{a}\cdot\overline{c}\cdot\Delta{b})^2(\overline{b}\cdot\overline{c}\cdot\Delta{a})^2}
\end{eqnarray}

errechnen.\\
Mit den beiden Volumina lässt sich nun ein Graph plotten, auf dem $V_{direkt}$ gegen $V_{indirekt}$ aufgetragen wird:\\

%GRAPH
%Bildunterschrift: BLA BLA Y FEHLER BLA BLA FITTEN

Die gefittete Gerade hat die Steigung $0,9 \pm 0,2$ mit dem Y-Achsenabschnitt bei $-0,1 \pm 0,2$.\\
Die tatsächliche Steigung sollte allerdings 1 sein und die Gerade sollte durch den Ursprung gehen, da bei beiden Messmethoden das selbe Volumen vermessen wird.
Der verschobene Y-Achsenabschnitt deutet auf einen systematischen Fehler, undzwar ist dies möglicherweise das zuvor genannte Nachtropfen des Überlaufs.\\
Da die direkten Messwerte für das Volumen aufgrund des großen Fehlers, werden weiterhin nur die indirekt bestimmten Volumina verwendet.

%%GRAPH
%Unterschrift: M GEGEN V BLA BLA

Die auf dem Diagramm zusehende gefittete Funktion ist eine Gerade durch den Ursprung, da angenommen wird, dass ein Apfelstück ohne räumliche Ausdehnung auch keine Masse besitzt. Der Proportionalitätsfaktor der Geraden entspricht dem Kehrwert der Dichte des Apfels.\\
Bildet man nun von der Steigung den Kehrwert ist für den Fehler wieder die Gaußsche Fehlerfortpflanzung zu verwenden derer Formel wie folgt aussieht:

\begin{eqnarray}
\Delta\rho &=& % ?????????????????????????
\end{eqnarray}



%D
\section{Fazit}
%Die bestimmt Reaktionszeit stimmt im Rahmen der Messfehler mit der durchschnittlichen Reaktionszeit junger Physiker überein. Die verwendete Methode scheint ein geeignetes Verfahren für die zu bearbeitende Fragestellung zu sein.



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%%% Literaturverzeichnis %%%
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\bibliography{Bibo} %hier wird das File Bibo.bib verwendet. In dieses können alle Literaturhinweise hineingepackt werden, die man im Leben so sammelt.


\appendix
\section{Anhang}

%Lange Tabellen und aufwändige Rechnungen können hier platziert werden.



\end{document}