private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
    // this.tableTableAdapter.Update(test_0DataSet3);
    try
    {
        this.Validate();
        this.tableBindingSource.EndEdit();//разрешил изменения
        this.tableTableAdapter.Update(this.test_0DataSet3.Table);
        MessageBox.Show("Данные oбновлены!");
    }
    catch(System.Exception ex)
    {
        MessageBox.Show("Ошибка обновления!");
    }
}

using (SqlConnection con = new SqlConnection())
{
  con.ConnectionString = @"Data Source=(LocalDB)MSSQLLocalDB;AttachDbFilename=|DataDirectory|Test_0.mdf;Integrated Security=True;Connect Timeout=30";
  con.Open();

  SqlCommand cmd = new SqlCommand();
  cmd.Parameters.Clear();
  cmd.Connection = con;
  int recordsAffected = cmd.ExecuteNonQuery();

  if (recordsAffected == 0)
  {
      cmd.CommandText = "INSERT INTO [Table] ([Id], [Test1]) VALUES (@Id, @name)";
      // Добавить параметры
      cmd.Parameters.AddWithValue("@Id", 654);
      cmd.Parameters.AddWithValue("@name", textBox1.Text);//Выполнить
      cmd.ExecuteNonQuery();
  }
  con.Close();
}

using (SqlConnection con = new SqlConnection())
        {
            con.ConnectionString = @"Data Source=(LocalDB)MSSQLLocalDB;AttachDbFilename=|DataDirectory|Test_0.mdf;Integrated Security=True;Connect Timeout=30";
            //con.Open(); - Это лучше перенести в Try {} Catch()

            SqlCommand cmd = new SqlCommand();

            //Убрать
            // cmd.Parameters.Clear(); Комманда новая - список параметров пуст
            cmd.Connection = con;

            //Убрать
            //int recordsAffected = cmd.ExecuteNonQuery(); Это ввобще не должно работать, так у комманды пока нет командного текста

            //Убрать
            /*
            if (recordsAffected == 0)
            {
                cmd.CommandText = "INSERT INTO [Table] ([Id], [Test1]) VALUES (@Id, @name)";
                // Добавить параметры
                cmd.Parameters.AddWithValue("@Id", 654);
                cmd.Parameters.AddWithValue("@name", textBox1.Text);//Выполнить
                cmd.ExecuteNonQuery();
            }
             */


            //Должно быть

            try
            {
                cmd.CommandText = "INSERT INTO [Table] ([Id], [Test1]) VALUES (@Id, @name)";
                // Добавить параметры
                cmd.Parameters.AddWithValue("@Id", 654);
                cmd.Parameters.AddWithValue("@name", textBox1.Text);

                //Выполнить
                con.Open();
                int recordsAffected = cmd.ExecuteNonQuery();

                //Если все в порядке, то recordsAffected==1
            }
            catch (Exception ee)
            {
                //Разбираетесь с исключением
            }
            finally
            {
                con.Close();
            }
        }