<form method="POST">
    <input type="hidden" name = "new_cat" value="<?php echo $row['id'] ?>">
    <input type="submit" name="submit" value="Отправить">
</form>

<?php
$data = $_POST;
if (isset($data['submit'])) {
    $sql = ("UPDATE `films` SET `fpublic` = '1' WHERE `id`=".$data['new_cat']);
    $result = $pdo->prepare($sql);
    $result ->execute();
}
?>

<a href="?id=1">Обновить</a>

<?php
if (isset($_GET['id'])) {
    $id = $_GET['id'];
    // Здесь делаете запрос БД
    header('Location: /'); // Переадресация на нужную страницу
    exit();
}

header("Location: ...");