\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}


\title{Типовой расчёт по теории вероятностей}

\author{Дронов Илья, гр. 3537\\Вариант 4}


\begin{document}
\maketitle

\textbf{Задача 1.}\\
Станция метрополитена оборудована тремя независимо работающими экскалаторами. Вероятность безотказной работы в течении дня для первого экскалатора равна 0.9, для второго 0.8, для третьего - 0.85. Найти вероятность того, что в течении дня произойдёт поломка не более одного экскалатора.\\

\textbf{Решение:}\\
Переформулируем условие задачи. Найдём вероятность того, что в течении дня будут работать хотябы три экскалатора\\
Пусть $A_{i}$ - событие, что $i$-ый эскалатор работает. Тогда \\
        $P(A_1)$=0.9, $P(A_2)$=0.8, $P(A_3)$=0.85 \\
Пусть $B$ - событие, что хотя бы 2 эскалатора работают. Тогда \\
$P(B)$ = $P(A_1A_2)$ + $P(A_1A_3)$ + $P(A_2A_3)$ - 2$P(A_1A_2A_3)$ = $P(A_1)P(A_2)$ + $P(A_1)P(A_3)$ + $P(A_2)P(A_3)$ - 2$P(A_1)P(A_2)P(A_3)$ \\
$P(B)$ = 0.9 * 0.8 + 0.9 * 0.85 + 0.8 * 0.85 - 2 * 0.9 * 0.8 * 0.85 = 0.941\\
\textbf{Ответ:} 0.941\\

\textbf{Задача 2.}\\
В равносторонний треугольник случайным образом бросается точка. Какова вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанной в треугольник окружности?\\

\textbf{Решение:}\\
Мера Лебега области равностороннего треугольника равна площади этого треугольника со стороной $x$ : $\mu(\Omega)$ = $\frac{\sqrt{3}}{4}x^{2}$. Интересующая нас область обозначим буквой $A$:\\
$\mu(A)$ = $\pi r^{2}$ = $\pi * (\frac{x}{2\sqrt(3)})^2$ = $\pi * \frac{x^{2}}{12}$ \\
Согласно формуле, искомая вероятность $P(A)$ = $\frac{\mu(A )}{\mu(\Omega)}$ = $\frac{\pi}{3\sqrt(3)}$


\textbf{Ответ:} $\frac{\pi}{3\sqrt(3)}$\\

\textbf{Задача 3.}\\
Студент едет в университет на первом подошедшем виде транспорта. Автобус приходит первым с вероятностью 0.2, маршрутное такси - с вероятностью 0.5, для троллейбуса и трамвая эти вероятности одинаковы и равны 0.15. Вероятность застрять в пробке для них равны 0.4, 0.3, 0.4, 0.1 соответственно. Найти вероятность того, что студент застрянет в пробке.\\

\textbf{Решение:}\\
Пусть B - событие, что студент не застрянет в пробке, $A_i$ - события, что он доедет до университета $i$-ым типом транспорта. Тогда \\
$P(A_1)$ = 0.2, $P(A_2)$ = 0.5, $P(A_3)$ = 0.15, $P(A_4)$ = 0.15\\
$P(B|A_1)$ = 0.2 * 0.6 = 0.12 \\
$P(B|A_2)$ = 0.5 * 0.7 = 0.35 \\
$P(B|A_3)$ = 0.15 * 0.6 = 0.09 \\
$P(B|A_4)$ = 0.15 * 0.9 = 0.135 \\
Подставляю эти значения в формула полной вероятности, получаем искомую вероятность : \\
P(B) = 0.2 * 0.12 + 0.5 * 0.35 + 0.15 * 0.09 + 0.15 * 0.135 = 0.23275\\
\textbf{Ответ:} 0.13275\\

\textbf{Задача 4.}\\
Накопитель снабжает деталями 8 станков с ЧПУ. В течении 20 минут от каждого станка может поступить заявка на деталь с вероятностью 1/5. Найти вероятность того, что за 20 минут на накомитель поступит не более трех заявок. \\

\textbf{Решение:}\\
Задачу решаем с применением формулы Бернулли : \\
$P(B_n(m))$ = $C_{n}^{m}$$p^m$$q^{n-m}$, где \\
$q$ - вероятность того, что событие не наступит.\\
Вероятность того, что наступит заявка в течении 20 минут p = 1/5.\\
Вероятность того, что не наступит заявка в течении 20 минут q = 1 - 1/5 = 4/5 \\
Вероятность того, что за 20 минут на накопитель поступит не более трех заявок будет складываться из вероятностей того, что не поступит ни одного заказа, поступит один, два или три заявки.
Искомая вероятность равна : \\
$P(A)$ = $C_{8}^{0}$ * $\left(\frac{1}{5} \right)^{0}$ * $\left(\frac{4}{5} \right)^{8}$ + $C_{8}^{1}$ * $\left(\frac{1}{5} \right)^{1}$ * $\left(\frac{4}{5} \right)^{7}$ + $C_{8}^{2}$ * $\left(\frac{1}{5} \right)^{2}$ * $\left(\frac{4}{5} \right)^{6}$ + $C_{8}^{3}$ * $\left(\frac{	1}{5} \right)^{3}$ * $\left(\frac{4}{5} \right)^{5}$ = 0.168 + 0.336 + 0.294 + 0.147 = 0.945


\textbf{Ответ:} 0.945\\



\end{document}