Matemática 1 resumo geral

O que preciso saber: Matemática 1

01) Apostila 1
-> Medidas de arcos e ângulos
- 1° = comprimento da circunferência / 360
- 1 gr = comprimento da circunferência / 400
- sistema radianos: 180° <=> 200 gr <=> π rad
-> Trigonometria no triângulo plano
- Triângulo com ângulos α, β e 90°, portanto α + β = 90°
- senα = cateto oposto / hipotenusa
- cosα = cateto adjacente / hipotenusa
- tgα = cateto oposto / cateto adjacente
- senα = cosβ <=> cosα = senβ, portanto senα = cos(90-α)
- tgα = senα/cosα
- senα^2 + cosα^2 = 1

          30°     |     45°    |     60°
sen:      1/2     |  2^(1/2)/2 |  3^(1/2)/2
cos:   3^(1/2)/2  |  2^(1/2)/2 |     1/2
tg:    3^(1/2)/3  |      1     |   3^(1/2)

-> Arco orientado (é a explicação de como funcionam os quadrantes do ciclo trigonométrico, ver apostila)
-> Arcos côngruos
- Se a é côngruo a b, então:
a) a - b = 2kπ, sendo k o número de voltas
b) a = b + 2kπ, então todo arco côngruo à α pode ser definido por α + k.2π ou α + k.360°
-> Função seno (eixo y)
- Positivo em: 1° e 2° quadrantes
- Negativo em: 3° e 4° quadrantes
- f(x) = senx
- Df = R -> R
- Imf = [-1;1]
- Período = 2π, sendo período da função f(x) = sen a.x definido por P = 2π/|a|
-> Função cosseno (eixo x)
- Positivo em: 1° e 4° quadrantes
- Negativo em: 2° e 3° quadrantes
- f(x) = cosx
- Df = R -> R
- Imf = [-1;1]
- Período = 2π, sendo período da função f(x) = cos a.x definido por P = 2π/|a|

02) Apostila 2
-> Função Tangente (reta tangente ao ciclo no eixo y)
- Positivo em: 1° e 3° quadrantes
- Negativo em: 2° e 4° quadrantes
- f(x) = tgx
- Df = {x ∈ R // x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}
- Imf = R
- Período = π sendo período da função f(x) = tg a.x definido por P = π/|a|
-> Função cotangente (reta tangente ao ciclo no eixo x)
- Positivo em: 1° e 3° quadrantes
- Negativo em: 2° e 4° quadrantes
- f(x) = cotgx OU f(x) = 1/tgx
- Df = {x ∈ R // x ≠ kπ, k ∈ Z}
- Imf = R
- Período = π
-> Função secante (reta tangente ao ciclo que intersecciona o eixo x)
- Positivo em: 1° e 4° quadrantes
- Negativo em: 2° e 3° quadrantes
- f(x) = secx OU f(x) = 1/cosx
- Df = {x ∈ R // x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}
- Imf = R - ]-1;1[
- Período = 2π
-> Função cossecante (reta tangente ao ciclo que intersecciona o eixo y)
- Positivo em: 1° e 2° quadrantes
- Negativo em: 3° e 4° quadrantes
- f(x) = cossecx OU f(x) = 1/senx
- Df = {x ∈ R // x ≠ kπ, k ∈ Z}
- Imf = R - ]-1;1[
- Período = 2π
-> Redução ao primeiro quadrante (ver apostila)
-> Transformações geométricas
- Soma e diferença de 2 arcos
a) sen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa; sen(a - b) = sena . cosb - senb . cosa
b) cos(a + b) = cosa . cosb - sena . senb; cos(a - b) = cosa . cosb + sena . senb
c) tg(a + b) = tga + tgb/1 - tga . tgb; tg(a - b) = tga - tgb/1 + tga . tgb
- Funções trigonométricas do arco duplo
a) sen2a = 2 . sena . cosa
b) cos2a = cosa^2 - sena^2 (OBS: VAMOS USAR ESSA CONTA MUITO COM sena^2 + cosa^2 = 1)
c) tg2a = 2tga/1 - tga^2

03) Apostila 3
-> Equações trigonométricas (aplicação das leis vistas nas apostilas anteriores, ver apostila): sen,cos,tgx = K
- Lembrar que K deve pertencer ao intervalo [-1;1] no caso de sen e cos
-> Inequações trigonométricas (também ver apostila): sen,cos,tgx < K ou sen,cos,tgx > K
- Lembrar que K deve pertencer ao intervalo [-1;1] no caso de sen e cos
-> Matriz
- Matriz linha: apenas uma única linha, do tipo 1 x n
- Matriz coluna: apenas uma única coluna, do tipo m x 1
- Matriz nula: todos os elementos iguais a zero
- Matriz quadrada: número de linhas e colunas iguais
- Matriz identidade: é toda matriz quadrada do tipo m x n (n > ou igual a 2) tal que seus elementos são:
aij{1 se i = j
   {0 se i ≠ j
Exemplo:
   {1 0 0}
   {0 1 0}
   {0 0 1}
- Matriz transposta: Quando as linhas de uma matriz A tornam-se as colunas de uma matriz B, e as colunas de A tornam-se as linhas de B. Podemos chamar A de A^t. Algumas propriedades:
a) A = B <=> A^t = B^t
b) (A^t)^t = A
c) (A+B)^t = A^t + B^t
d) (K.A)^t = K.A^t
f) (A.B)^t = B^t.A^t
-> Operações com matrizes
- Adição: normal
- Subtração: normal
- Multiplicação de uma matriz por um número real: normal
-> Multiplicação entre matrizes: (1° membro da linha da primeira matriz x o 1° da coluna da segunda matriz...) Exemplo:

{1 4 2} {1 3}   {1.1 + 4.2 + 2.0     1.3 + 4.1 + 2.1}
{2 1 5}.{2 1} = {2.1 + 1.2 + 5.0     2.3 + 1.1 + 5.2}
        {0 2}

OBS: Para que A seja multiplicável por B, devemos seguir o seguinte modelo
1- A m x p // B p x n, ou seja: o n° de colunas de A deve ser igual ao n° de linhas de B
2- O resultado será uma matriz C m x n, ou seja: a matriz C vai ter o n° de linhas de A e n° de colunas de B
- Propriedades da multiplicação:
a) A(BC) = (AB)C
b) A(B + C) = AB + AC
c) (B + C)A = BA + CA
d) AB ≠ BA, não existe propriedade comutativa
e) Podemos ter AB = 0 sendo que A ≠ 0 e B ≠ 0
f) Podemos ter AB = AC sendo que A ≠ 0 e B ≠ C
g) Se AB = BA, dizemos que as matrizes A e B comutam

04) Apostila 4
-> Determinantes
- Ordem 1: Det = a11
- Ordem 2: Det = produto dos membros da diagonal principal menos produto dos membros da diagonal secundária
- Ordem 3: Repetir 2 linhas (ou colunas), multiplicar (ver melhor na apostila)
-> Cofator (Mij): Cofator do membro aij é (-1)^i + j . Dij, sendo Dij o determinante da matriz quadrada eliminando a linha e a coluna do membro selecionado (ver melhor na apostila também)
- Calculamos Det de matrizes de ordem 2 ou maior com o Teorema de Laplace, onde Det (A) =  soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores
-> Propriedades dos determinantes
a) Se elementos de uma fila de A forem iguais a zero, Det A = 0
b) Se a matriz tiver duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente iguais, Det A = 0
c) Se a matriz tiver duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente proporcionais, Det A = 0
d) Se uma fila é igual a soma de uma ou mais filas paralelas a ele, então Det A = 0
e) Sendo A^t a matriz transposta de A, tem-se Det A = Det A^t
f) Se B é uma matriz igual a A mas com duas filas paralelas trocadas de lugar, Det B = Det -A
g) Multiplicando os elementos de A por um número K formando a matriz B, Det A.K = Det B
h) Det (AB) = (Det A).(Det B), desde que A e B sejam da mesma ordem
i) Se todos os elementos de 1 lado da diagonal principal forem iguais a 0, o Det é igual ao produto dos elementos da diagonal principal
-> Determinante de Vandermonde: Quando os elementos de uma mesma fila são potências de mesma base com expoente variando de 0 a n-1, temos um determinante de Vandermonde. Os elementos da segunda linha são chamados de elementos característicos
Exemplo:
|1  1  1  1|
|1  2  3  4| = (2 - 1)(3 - 1)(3 - 2)(4 - 1)(4 - 2)(4 - 3) = 12
|1  4  9 16|
|1  8 27 64|

-> Matriz inversa: uma matriz quadrada se diz invertível, ou não singular (quando Det ≠ 0), se existir uma matriz que indicamos por A^-1, tal que:
- A.A^-1 = A^1.A
- A.A^-1 = In, ou seja, igual a matriz identidade de mesma ordem
- Det(A^-1) = 1/Det(A)
- Propriedades:
a) (M^-1)^-1 = M
b) (M^-1)^t = (M^t)^-1
c) (M.N)^-1 = N^-1 . M^-1

05) Apostila 5
-> Equação linear: É toda a equação da forma:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + .... + anxn = K
- onde:
a) a1, a2, a3,..., an são os coeficientes
b) x1, x2, x3,..., xn são as incógnitas
c) k é o termo independente

-> Sistema linear: é todo conjunto de m equações lineares nas incógnitas x1, x2, x3,..., xn, representado por:
{a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... a1nxn = k1
{a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... a2nxn = k2
{......................................
{am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... amnxn = k3
- Se Ki = 0 (i, i ≡ 1, 2, 3...), o sistema linear é dito homogêneo
-> Solução de um sistema linear: substituição
-> Classificação de um sistema linear

                          / Determinado (uma única solução) - Det ≠ 0
Sistema linear { Possível
               {          \ Indeterminado (infinitas soluções) - Det = 0, Dx = 0, Dy = 0 e Dz = 0
               {
               { Impossível (não admite solução) - Det = 0 e Dx ≠ 0

-> Teorema de Cramer (possível apenas com Det ≠ 0)
- Exemplo:
{a11x + a12y = b1
{a21x + a22y = b2, sendo D = |a11 a12|  Dx = |a12 b1|  Dy = |a11 b1|
                             |a21 a22|,      |a22 b2|,      |a21 b1|, temos: x = Dx/D; Y = Dy/D

-> Sistema escalonado
a) Número de equações igual ao número de incógnitas
- Resolve o sistema de baixo para cima
b) Número de equações é menor que o de incógnitas
- é um sistema possível e indeterminado (SPI), podendo escolher vários valores para a variável livre (aquela que não aparece no começo da equação)
-> Sistemas equivalentes: Dois sistemas S1 e S2 são equivalentes quando apresentam o mesmo conjunto solução
-> Escalonamento de um sistema: Ver apostila para ver o passo a passo
-> Sistema linear homogêneo: em toda equação que o termo independente das variáveis for 0
- Soluções formadas por zeros são chamas de soluções triviais, nulas ou impróprias
- Um sistema homogêneo nunca é impossível
- Se Det ≠ 0, é um sistema possível
- Se Det = 0, é um sistema possível indeterminado, que sempre terá a solução trivial e outras soluções diferentes de nulas (chamadas de solução própria)
-> Progressão Aritmética
- Podem ser crescentes, decrescentes, constantes
- an = a1 + (n - 1).r, sendo a1 o termo inicial, an o termo n, n o número de termos, r a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos (razão)
- Soma de uma P.A. é definida por Sn = (a1 + an).n/2
-> Progressão Geométrica
- Podem ser crescentes, decrescentes, estacionária, oscilante
- an = a1.q^n-1, sendo a1 o termo inicial, an o termo n, n o número de termos, r o quociente entre quaisquer dois temos consecutivos (razão)