Un quiz a risposta multipla con venti domande viene proposto ad una
classe di 50 studenti per testarne la preparazione complessiva. Ogni do-
manda ha una sola risposta esatta sulle cinque proposte, chi risponde esat-
tamente guadagna 4 punti, chi sbaglia o non risponde ne perde 1. Alla ne
della correzione viene attribuito come punteggio all'intera classe la somma
dei punteggi degli studenti. La commissione ritiente la classe preparata se
il punteggio ottenuto e' piu' alto di una soglia K. Calcolare K sapendo che
una classe che risponde casualmente ottiene un punteggio superiore a K con
probabilita' inferiore a 1/10.


Soluzione del mio professore:
Consideriamo una classe che risponde a caso. Ci sono allora n=20x50=1000
prove indipendenti e il risultato all'ima prova e' una variabile aleatoria
Xi che vale 4 con probabilita' 1/5 e -1 con probabilita' 4/5. Allora M(Xi)=0 e
V(Xi)=4. Il risultato della classe casuale e' allora Sn=X1+...+Xn e, dal teorema del limite centrale,
P(Sn/2*sqrt(n)>=t) è circa 1/sqrt(2pi)* Integrale(e^-x^2/2)dx tra t e +inf (insomma integrale gaussiano)
Vogliamo il minimo t per cui questa probabilita' e' inferiore ad 1/10 e dalle tavole otteniamo
t=1,3 e quindi K circa 2*1,3*sqrt(1000) cioè K=82