*GxG -> G (onde * é uma operação estrela)
Para qualquer a,b,c pertencentes a G
(a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c
Generalize a propriedade associativa para qualquer número de elementos.

( [] := índices )

Demonstração: Utilizaremos o Princípio da Indução Completa.
Para n=3, g1*(g2*g3) = (g1*g2)*g3 (pela associatividade de G) = g1*g2*g3 é válida, para todo g1,g2,g3 pertencentes a G.
Supondo que vale para n elementos, isto é:
(g1*g2*g3*...*g[n-1])*gn = (g1*g2*...*g[n-2])*(g[n-1]*gn) = ... = g1*(g2*g3*...*g [n-1])*gn = g1*g2*g3*...*g [n-1]*gn, em que (g1, g2, ..., gn) são elementos de G

Vamos demonstrar que também é válido para n+1 elementos.

Como para todo a,b pertencentes a G, a*b pertencem a G (por definição), temos que:

(g1*g2*...*g[n-1]) pertence a G e que (gn*g[n+1]) também pertence a G. Logo, podemos fazer:

(g1*g2*...*gn)*g[n+1] = ((g1*g2*...*g[n-1])*gn)*g[n+1] = (g1*g2*...*g[n-1])*gn*g[n+1]. Pela nossa hipótese de indução, temos que (g1*g2*g3*...*g[n-1])*gn = g1*g2*g3*...*g [n-1]*gn, logo,

(g1*g2*...*g[n-1])*gn*g[n+1] = g1*g2*...*gn*g[n+1]

Sejam (g1*...*g[k-1])*(g[k]*...*g[n]) e (g1*...*g[j-1])*(g[j]*...*g[n]) duas formas de distribuir os parênteses. Se k>2, então, pela hipótese de indução, (g[k]*...*g[n-1])*g[n] = (g[k]*...*g[n]), de forma que (g1*...*g[k-1]) * (g[k]*...*g[n]) = (g1*...*g[k-1])*(g[k]*...*g[n-1])*g[n~] = (g1*...*g[n-1])*g[n] (pela demonstração feita anteriormente). Se j< n-2, então, pela hipótese de indução, (g[j]*...*g[j-1])*g[n] = (g[j]*...*g[n]), de forma que (g1*...*g[j-1])*(g[j]*...*g[n]) = (g1*...*g[j-1])*(g[j]*...*g[n-1])*g[n] = (g1*...*g[n-1])*g[n] (pela demonstração feita anteriormente). Logo, as duas formas são iguais.

Portanto, para qualquer g1,g2,g3,...,g[n-1],g[n] € G, a propriedade

(g1*g2*g3*...*g[n-1])*gn = (g1*g2*...*g[n-2])*(g[n-1]*gn) = ... = g1*(g2*g3*...*g [n-1])*gn = g1*g2*g3*...*g [n-1]*gn

é válida.



				q.e.d.