rachunek zdań [funktory, formuły]

rachunek predyktatów (kwantyfikatorów)
x - zbior f(x) - funcka zdaniowa zmiennej x e X

Kwantyfikator ogólny (duży, generalizujący): dla każdego x e X (zachodzi) f(x)
^tak jak na analizie

Kwantyfikator szczegółowy (egzystencjalny, mały, partykularyzujący) - istnieje takie x e X, dla którego (zachodzi) f(x)
^dalej tak jak na analize

po odwróconym E ! znaczy "istnieje dokładnie jedno..." E!

Jeśli wiadomo/nie ważne jest o jaki zbiór chodzi to jego nazwę się pomija

Ax e R: x^2 > 0 - zdanie fałszywe

E!x e R: x^2 =< 0 - zdanie prawdziwe

E!n e N: n^2 =< x - funkcja zdaniowa zmiennej x

Zasięg kwantyfikatora - pierwsza funkcja zdaniowa (ew. ujeta w nawiasy) występująca za symbolem kwantyfikatora.

Zmienna związana (kwantyfikatorem) - zmienna opisana kwantyfikatorem występująca w funkcji zdaniowej w zasięgu kwantyfikatora.

Zmienna wolna - zmienna niebędąca zmienną związaną.

Ex e R: x > 0 =>(implikacja) x^2 = 0

zasięg dotyczy tylko pierwszej funkcji za kwantyfikatorem - x > 0

zmienna związana - x (jest w zasięgu)

zmienna wolna x^2

powyższe wyrażenie to funkcja zdaniowa zmiennej x

funkcja ma zawsze wartość logiczną 1

Ex e R: (x > 0 =>(implikacja) x^2 = 0) - zdanie prawdziwe

tu x i x^2 są tą samą zmienna związaną bo w tym przypadku są nawiasy, przez to co wyrażenie jest zdaniem

jeśli poprzednik implikacji jest fałszywy to implikacja jest zawsze prawdziwa

Kwantyfikator o ograniczonym zakresie zmienności są to kwantyfikatory, w których zakres zmiennej związanej dotyczy tylko takich wartości, dla których prawdziwa jest pewna funkcja zdaniowa.

^Oznaczenia

Ogólny
dla każdego x e X dla którego prawdziwe jest f(x) zachodzi z(x):
A f(x): z(x)
Ax e X, f(x): z(x)

Szczegółowy
istnieje takie x e X dla którego prawdziwe jest f(x) zachodzi z(x):
E f(x): z(x)
Ex e X, f(x): z(x)

Właściwości:
A f(x): z(x) = Ax e X:(f(x) =>(implikacja) z(x))
E f(x): z(x) = Ex e X:(f(x) i(koniunkcja) z(x))

Przykłady:
Ax e N,x^2 < 15 : x - 3 =< 0
to co samo co
Ax e N: (x^2 < 15 => x - 3 =< 0)

Kwantyfikatory dla skończonych zakresów zmienności:
Niech X = {x1, x2...,xn}
Wtedy:
Ax e X: f(x) = f(x1) i f(x2) i ... i f(xn)
Ex e X: f(x) = f(x1) lub f(x2) lub ... lub f(xn)

Def; Tautologia (rachunku kwantyfikatorów) jest to formuła zawierająca symbole  funkcji zdaniowych i kwantyfikatorów, która zawsze przyjmuje wartość logiczną 1 bez względu na to, jakie zostaną w niej wstawione funkcje zdaniowe w miejsce ich symboli.

Tw; o podstawianiu: Jeśli w tautologii rachunku zdań w miejsce dowolnych zmiennych zdaniowych wstawimy symbole dowolnych funkcji zdaniowych lub formuły rachunku zdań lub rachunku predykatów, to otrzymana formuła będzie tautologią rachunku zdań lub rachunku kwantyfikatorów.

Metody wnioskowania

Def; ciąg formuł fi1, fi2, fi3,..., fin, psi (litery fi i psi z alf. greckiego) nazywamy regułą dowodzenia, co zapisujemy:
fi1, fi2,...,fin/psi
jeżeli wszystko w liczniku jest prawdą, to to co w mianowniku też musi być prawdą.
Formuły fi1, fi2,..., fin nazywamy przesłankami, a formułę psi - wniąskiem.

Tw; Ciąg formuł fi1, fi2,...,fin, psi jest regułą dowodzenia wtedy i tylko wtedy, gdy formuła fi1 i fi2 i ... i fin => psi jest tautologią.

Przyklad(reguly na kartce):

niefi, (psi =>  fi)/niepsi

#tabelka
fi psi niefi psi => fi niepsi
 0   0     1         1      1
 0   1     1         0  <----- tu musi byc 1, zeby nas to obchodziło
 1   0     0  <---- tu też
 1   1     0

#dalsza część tabelki
(niefi) i (psi => fi) [(niefi) i (psi => fi)] => (niepsi)
                    1                                   1
                    0                                   1
                    0                                   1
                    0                                   1

Def jeśli fi => pwi jest twierdzeniem matematycznym, to nazywamy:
fi - założeniem albo warunkiem wystarczającym na to, by psi
psi - teza lub warunek konieczny do tego, by fi